人教版新课标A必修11.1.1集合的含义与表示学案

平面向量基本定理及坐标表示

知识点一  平面向量基本定理及其应用

平面向量基本定理

如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

知识点二  平面向量的坐标运算[来源:

1. 平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．[来源:Zxxk.Com]

2．平面向量的坐标表示

(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．

(2)若，则．

3．平面向量的坐标运算

(1)若，则；

(2)若，则．

(3)设，则，.

知识点三  平面向量共线的坐标表示

向量共线的充要条件的坐标表示

若，则⇔.

1.向量共线的充要条件有两种：

（1）⇔.

（2）若，则⇔.

当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便.

2.两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.

【重难点例题启发与方法总结】

考点1  平面向量基本定理及其应用

【题组全面展示】

【1-1】    如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝，＝，若＝2，则＝________(用向量和表示)．

【方法规律技巧】

1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．

2.特别注意基底的不唯一性：

只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．

【新题变式探究】要求试题必须新颖。

【变式一】如图，已知＝，用，表示，则等于(　　)

A.－   B.＋   C.－＋   D.－－

考点2 平面向量的坐标运算[来源:学。科。网Z。X。X。K]

【题组全面展示】

【2-1】已知平面向量=，=，则2+3=（  ）.

A．（﹣4，﹣8）           B．（﹣5，﹣10）

C．（﹣3，﹣6）           D．（﹣2，﹣4）

【2-2】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为         .

【方法规律技巧】要求丰富，资料中有很多，结合到一起，进行整合.

注意向量坐标与点的坐标的区别：

要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．

【新题变式探究】[来源:学+科+网Z+X+X+K]

【变式一】已知向量，，则（    ）

  A.                B.                 C.               D.

【变式二】在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（   ）

A．        B．      C．        D．

考点3  平面向量共线的坐标表示

【题组全面展示】

【3-1】已知平面向量，且，则(    ) 

（A）    （B）   （C）      （D）

【3-2】设向量=，=，则“”是“//”的(   ).

（A）充分而不必要条件                  （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件                      （D）既不充分也不必要条件

【新题变式探究】

【变式一】已知向量，,,且三点共线，则=_________．

【变式二】设平面向量，，若，则等于（   ）

A．  　　    B．　　     C．　　　    D．

考点4  平面向量共线的应用

【题组全面展示】

【4-1】已知平面向量=（2，-1），=（1，1），=（-5，1），若∥，则实数k的值为

A．2        B.        C.        D.

【4-2】如图，在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为(   )

A．          B．        C．       D．

【方法规律技巧】

当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件（2）解题较为方便.

【新题变式探究】

【变式一】设与是不共线向量，，若且，则实数的值为（    ）.

A．0               B．1           C．           D．

【变式二】如图所示，在▱ABCD中，已知＝，AC与BE相交于点F，＝λ，则λ＝________.

易错试题常警惕

易错典例：如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量           ．

易错分析：不能结合图形特征，灵活建立直角坐标系，将向量用坐标表示，将问题转化成三角问题求解．

温馨提醒：涉及几何图形问题，要注意分析图形特征，利用已有的垂直关系，建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，利用向量共线的充要条件，应用函数方程思想解题.

1.在△ABC中，点P在BC上，且＝，点Q是AC的中点，若＝，＝，则等于(　　)

A．(－2,7)　　　　　　　　 B．(－6,21)

C．(2，－7)      D．(6，－21)

2. 在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（    ）

1.       B .  

C.     D.     [来源:Z,xx,k.Com]

3.已知向量、满足，，且（），则          .

4. 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．

5. 已知．求：

(1) ；

(2)当k为何实数时，平行，平行时它们是同向还是反向？

6在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝____________(用b，c表示)．

7 已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.

8  已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.

1.已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为____________．

2.已知四边形ABCD的顶点A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1），且则顶点D的坐标为________．

3 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线．(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．

4 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．

5 设=(1,-2), =(a,-1), =(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A、B、C三点共线,则的最小值是

6已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若＝2，求点C的坐标．