初中数学鲁教版 (五四制)九年级上册1 锐角三角函数教学设计

锐角三角函数

【课时安排】

2课时

【第一课时】

【教学目标】

（一）教学知识点。

1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系。

2．能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算。

（二）能力训练要求。

1．经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。

2．体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。

3．体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。

（三）情感与价值观要求。

1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。

2．形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。

【教学重点】

1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系。

2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。

【教学难点】

理解正切的意义，并用它来表示两边的比。

【教学方法】

引导——探索法。

【教学过程】

一、创设问题情境，引入新课

用动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：

问题1：在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？

问题2：随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起。70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？

通过本章的学习，相信大家一定能够解决。

这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起。（板书：从梯子的倾斜程度谈起）

二、讲授新课

演示如下内容：

师：梯子是我们日常生活中常见的物体。我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题。

（一）在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？

生：梯子AB比梯子EF更陡。

师：你是如何判断的？

生：从图中很容易发现∠ABC＞∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡。

生：我觉得是因为AC＝ED，所以只要比较BC、FD的长度即可知哪个梯子陡。BC＜FD，所以梯子AB比梯子EF陡。

师：我们再来看一个问题。

（二）在下图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？

师：我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了。能不能从第（一）问中得到什么启示呢？

生：在第（一）问的图形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平宽度BC和FD不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡。

师：这位同学的想法很好。的确如此，在第（二）问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB和EF的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断。那么请同学们算一下梯子AB和EF哪一个更陡呢？

生：；

。

∵＜。

∴梯子EF比梯子AB更陡。

（三）演示：

想一想：

如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度。你同意小亮的看法吗？

1．直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？

2．和有什么关系？

3．如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？师：我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度。

下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法。

生：在上图中，我们可以知道Rt△AB1C1和Rt△AB2C2是相似的。因为∠B2C2A＝∠B1C1A＝90°，∠B2AC2＝∠B1AC1，根据相似的条件，得Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2。

生：由图还可知：B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得B2C2∥B1C1，Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2。

生：相似三角形的对应边成比例，得：

，即。

如果改变B2在梯子上的位置，总可以得到Rt△B2C2A∽Rt△B1C1A，仍能得到；因此，无论B2在梯子的什么位置（除A外），总成立。

师：也就是说无论B2在梯子的什么位置（A除外），∠A的对边与邻边的比值是不会改变的。

现在如果改变∠A的大小，∠A的对边与邻边的比值会改变吗？

生：∠A的大小改变，∠A的对边与邻边的比值会改变。

师：你又能得出什么结论呢？

生：∠A的对边与邻边的比只与∠A的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关。也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定。

师：这位同学回答得很棒。现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价？

生：小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B1、B2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关。

生：但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B1C1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成。

师：这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡。我们学习数学就是为了更好地应用数学。

由于直角三角形中的锐角A确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：

如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即：tanA＝。

（四）注意：

1．tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。

2．tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比。

3．tanA不表示“tan”乘以“A”。

4．初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切。

（五）思考：

1．∠B的正切如何表示？它的数学意义是什么？

2．前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图的梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？

生：1．∠B的正切记作tanB，表示∠B的对边与邻边的比值，即tanB＝。

2．我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在课本图中，梯子越陡，tanA的值越大；反过来，tanA的值越大，梯子越陡。

师：正切在日常生活中的应用很广泛。例如建筑、工程技术等，正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度。

如图，有一山坡在水平方向上每前进100m，就升高60m，那么山坡的坡度（即坡角α的正切——tanα）就是：tanα＝。

这里要注意区分坡度和坡角。坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度。坡度越大，坡面就越陡。

三、例题讲解

演示：

例1：如图是甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？

分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tanα、tanβ的值，比较大小，越大，扶梯就越陡。

解：甲梯中，

tanα＝

乙梯中，

tanβ＝

因为tanβ＞tanα，所以乙梯更陡。

例2：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，AB＝20cm，求tanA和tanB的值。分析：要求tanA，tanB的值，根据勾股定理先求出直角边AC的长度。

解：在△ABC中，∠C＝90°

所以AC＝＝16（cm）

tanA＝

tanB＝

所以tanA＝，tanB＝。

四、随堂练习

（一）如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？

分析：

要求tanC，需从图中找到∠C所在的直角三角形。

因为BD⊥AC，所以∠C在Rt△BDC中。

然后求出∠C的对边与邻边的比，即的值。

解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC

∴CD＝AC＝×3＝1.5

在Rt△BDC中，tanC＝＝1

（二）如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度。（结果精确到0.001）

分析：由图可知，∠A是坡角，∠A的正切即tanA为山的坡度。

解：根据题意：

在Rt△ABC中，AB＝200m，BC＝55m

AC＝≈5×38.46＝192.30（m）

tanA＝≈0.286

所以山的坡度为0.286。

五、课时小结

本节课从梯子的倾斜程度谈起，经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“Rt△”中定义了tanA＝。

接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念。

六、活动与探究

（江苏盐城）如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1∶1.5的斜坡AD，求DB的长。（结果保留根号）

过程：要求DB的长，需分别在Rt△ABC和Rt△ACD中求出BC和DC。根据题意，在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝12m，则可根据勾股定理求出BC；在Rt△ADC中，坡比为1∶1.5，即tanD＝1∶1.5，由BC＝AC，可求出CD。

结果：根据题意，在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形。设BC＝AC＝xm，则

x2＋x2＝144

x＝6

所以BC＝AC＝6

在Rt△ADC中，tanD＝

即＝，CD＝9

所以DB＝CD－BC＝9－6＝3(m)

【第二课时】

【教学目标】

（一）教学知识点。

1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义。

2．能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比。
3．能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算。

4．理解锐角三角函数的意义。

（二）能力训练要求。

1．经历类比、猜想等过程。发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

2．体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力。

（三）情感与价值观要求。

1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。

2．形成合作交流的意识以及独立思考的习惯。

【教学重点】

1．理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明。

2．能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比。

3．能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算。

【教学难点】

用函数的观点理解正弦、余弦和正切。

【教学方法】

探索——交流法。

【教学过程】

一、创设情境，提出问题，引入新课

师：我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定。也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关。并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切。

现在我们提出两个问题：

问题1：当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？

问题2：梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？

二、讲授新课

1．上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：

在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定。如图，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即sinA＝。

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即cosA=。

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数（trigonometric function）。

师：你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是∠A的三角函数”呢？

生：我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A确定时。∠A的对边与斜边的比值，∠A的邻边与斜边的比值，∠A的对边与邻边的比值也都唯一确定。在“∠A的三角函数”概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<A<90°；三个比值是因变量。当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应。

2．梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系。

师：我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系：tanA的值越大，梯子越陡。由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA、cosA有关系呢？如果有关系，是怎样的关系？

生：如图所示，AB＝A1B1，在Rt△ABC中，sinA=，在Rt△A1B1C中，sinA1=。

∵＜，

即sinA<sinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡，

所以梯子的倾斜程度与sinA有关系。sinA的值越大，梯子越陡。正弦值也能反映梯子的倾斜程度。

生：同样道理cosA=，cosA1＝。

∵AB=A1B1

＞

即cosA>cosA1，所以梯子的倾斜程度与cosA也有关系。cosA的值越小，梯子越陡。

师：同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切。

3．例题讲解。

例1：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200。sinA＝0.6，求BC的长。

分析：sinA不是“sin”与“A”的乘积，sinA表示∠A所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA＝0.6，＝0.6。

解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200。

sinA＝0.6，即=0.6，BC＝AC×0.6＝200×0.6=120。

思考：

（1）cosA＝？

（2）sinC＝？cosC＝？

（3）上面计算，你能猜想出什么结论？

解：根据勾股定理，得：

AB＝=160。

在Rt△ABC中，CB＝90°

cosA＝＝0.8

sinC==0.8

cosC＝＝0.6

由上面的计算可知：

sinA＝cosC＝0.6

cosA＝sinC＝0.8

因为∠A+∠C＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”。

例2：做一做：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少？sinB呢？cosB、sinA呢？你还能得出类似例1的结论吗？请用一般式表达。

分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)=sinA．

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10，cosA＝，cosA＝

∴AB=

sinB＝

根据勾股定理，得

BC2＝AB2－AC2＝()2－102=

∴BC＝

∴cosB＝

sinA＝

可以得出同例1一样的结论。

∵∠A+∠B=90°

∴sinA：cosB=cos(90－A)，即sinA＝cos(90°－A)；

cosA＝sinB＝sin(90°－A)，即cosA＝sin(90°－A)。

三、随堂练习

（一）在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB。

分析：要求sinB，cosB，tanB，先要构造∠B所在的直角三角形。根据等腰三角形“三线合一”的性质，可过A作AD⊥BC，D为垂足。

解：过A作AD⊥BC，D为垂足。

∴AB=AC，∴BD=DC=BC=3

在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3

∴AD＝4

sinB＝

cosB＝

tanB=

（二）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC=20，求△ABC的周长和面积。

解：sinA=

∵sinA=，BC＝20

∴AB＝＝＝25

在Rt△BC中，AC＝=15

∴ABC的周长＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60

△ABC的面积：AC×BC=×15×20＝150

（三）补充练习。

在△ABC中。∠C=90°，若tanA=，则sinA=     。

解：如图，tanA==

设BC=x，AC=2x，根据勾股定理，得：

AB=

∴sinA=

四、课时小结

本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A的三角函数概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°＜∠A＜90°；三个比值是因变量。当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应。

类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题。

五、活动与探究

已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD。（用正弦、余弦函数的定义证明）

过程：根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值（或余弦值）就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt△ABC中，CD⊥AB．所以图中含有三个直角三角形。例如∠B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，涉及线段BC、BD、AB，由正弦、余弦的定义得cosB＝，cosB=。

结果：在Rt△ABC中，cosB＝

又∵CD⊥AB

∴在Rt△CDB中，cosB＝

∴=BC2＝AB·BD