初中数学鲁教版 (五四制)九年级上册4 解直角三角形教学设计

解直角三角形

【教学目标】

1．让学生感受通过作辅助线，把非直角三角形转化为直角三角形来解决问题的方法。

2．让学生经历观察、操作、实践，培养学生运用所学知识解决未知问题的能力，实现从感性到理性，从已知到新知的矛盾特征的转化过程，形成新的知识网络。

3．通过课堂为学生提供的充分从事数学活动的机会，让学生理解并掌握基本数学知识与技能，了解数形结合的思想方法，培养转化、化归的思想方法，进而获得广泛的数学活动的经验。

4．通过学习，让学生在学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难，战胜困难的意志，建立自信心。

5．在学生充分参与知识形成过程中，学会与人合作、交流的学习方法，形成大胆质疑、实事求是的科学态度，感受数学的严谨性及数学结论的确定性。

【教学重点】

非直角三角形的解法。

【教学难点】

通过作辅助线，把非直角三角形转化为直角三角形。

【教学方法】

谈话法、小组合作法、指导练习法。

【教学准备】

三角板

【教学过程】

一、探索新知

（一）问题：

1．在一个三角形中共有几条边？几个内角？（引出“元素”这个词语）

2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

讨论复习：

师：Rt△ABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？

总结：直角三角形的边、角关系（板书）

（1）两锐角互余∠A＋∠B＝90°；

（2）三边满足勾股定理a2＋b2＝c2；

（3）边与角关系sinA＝cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝，tanB=。

利用上面这些关系，如果知道直角三角形中的两个元素，就可以求出其他元素。由直角三角形中已知的元素，求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a=4、c=8，求这个三角形的其他元素。

（出示问题，小组研讨后，找生板书过程）

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理，a2+b2=c2，a=4，c=8

∴b=

在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=

∴∠A=30°，∠B=90°－30°=60°

师：我们已知直角三角形的两边长，求出其他未知元素，这个过程叫做什么呢？

师：在直角三角形中，已知两边，我们可以求出其他未知元素，在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c=128，∠B=60°，解这个直角三角形。

（出示问题，同学们各抒己见，然后找生黑板上书写过程）

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，

∴∠A=30°，c=128

∴b= a=

设计意图：通过直角三角形中，已知一锐角和一边，求出其他未知元素的过程，让学生自主探究。

我们已经知道只要已知条件适当，直角三角形可解，那么对于非直角三角形中的线段与角怎么求呢？

5．在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角（如图）。

这是一个锐角三角形的解法问题，我们只需作出BC边上的高（想一想：作其它边上的高为什么不好？），问题就转化为两个解直角三角形的问题。

在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了。解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

又，在Rt中，有

∴

又

∴

于是，有

锐角三角形的解法问题可转化为可解的直角三角形问题，那么，钝角三角形的解法又如何呢？

6．如图：在三角形ABC中，AC=40，BC=25，∠A=30°，求AB的长。

由题5知，作出一边上的高可把锐角三角形分割成两个直角三角形，那么在钝角三角形中，这种方法是否可行呢？与同伴交流进行解答。

思考：在上述条件不改变的情况下，如果没有给出图形，那么上述解法是否完整？与同伴交流。

二、巩固新知

（一）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，求sinB、cosB的值。

（二）在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，AC=6 ，求平行四边形ABCD的面积。

三、拓广与归纳

（一）非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法：

1．作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形。

2．作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形。

3．连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形。

四、畅谈收获，归纳升华

（一）师生共同回顾本节课所学。

1．解直角三角形的定义？

2．解直角三角形所用到的知识？

3．解直角三角形必须知道几个元素？

4．我们解直角三角形中常常用到的方法？等等。

五、当堂达标

（一）如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8。求：△ABC的面积（结果可保留根号）。

（二）某型号飞机的机翼形状如图所示，AB∥CD，根据数据计算AC、BD和CD的长度（精确到0.1米，≈1.414，≈1.732）。

（三）试一试。

在四边形ABCD中，∠ADC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=5，CD=3。求四边形ABCD的面积。