鲁教版 (五四制)九年级上册3 二次函数y=ax2的图象和性质教案

二次函数y=ax2的图象与性质

【课时安排】

2课时

【第一课时】

【教学目标】

（一）教学知识点

1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质。

2．猜想并能作出y=－x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同。

（二）能力训练要求

1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。

2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝－x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维。

（三）情感与价值观要求

1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解。

2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质。

【教学重点】

1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质。

2．能够作出二次函数y=－x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同。

【教学难点】

经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。并把这种经验运用于研究二次函数y=－x2的图象与性质方面，实现“探索——经验——运用”的思维过程。

【教学方法】

探索——总结——运用法。

【教学过程】

一、创设问题情境，引入新课

师：我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征。知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线。上节课我们学习了二次函数的一般形式为y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数且a≠0），那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题。

二、新课讲解

（一）作函数y＝x2的图象。

师：一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数y＝x2。

大家还记得画函数图象的一般步骤吗？

生：记得，是列表，描点，连线。

师：非常正确，下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象。

生：

1．列表：

2．在直角坐标系中描点。

3．用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象。

师：画得非常漂亮。

（二）议一议。

展示例题：

对于二次函数y＝x2的图象：
1．你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流。

2．图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？

3．当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？

4．当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？

5．图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流。

生：1．图象的形状是一条曲线。就像抛出的物体所行进的路线的倒影。

2．图象与x轴有交点，交于原点，交点坐标是（0，0）。

3．当x<0时，图象在y轴的左侧，随着x值的增大，y的值逐渐减小；当x>0时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大。

4．观察图象可知，当x＝0时，y的值最小，最小值是0。

5．由图可知，图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴，从刚才的列表中可找到对应点（－1，1）和（1，1）；（－2，4）和（2，4）；（－3，9）和（3，9）。

师：大家的分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下。

（三）y=x2的图象的性质。

展示例题：

师：从图象来看抛物线的开口方向向上。

下面请大家讨论之后系统地总结出y＝x2的图象的所有性质。

生：

1．抛物线的开口方向是向上。

2．它的图象有最低点，最低点坐标是（0，0）。

3．它是轴对称图形，对称轴是y轴。在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。

4．图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）。

5．因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝0时，y最小=0。.

（四）做一做。

展示例题：

二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象。它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流。

师：请大家按照画图象的步骤作出函数y=－x2的图象。

生：y=－x2的图象如右图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与y=x2的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看成是关于x轴对称。

师：下面我们试着讨论y=－x2的图象的性质。

生：

1．它的开口方向向下。

2．它的图象有最高点，最高点坐标为（0，0）。

3．它是轴对称图形，对称轴是y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小。

4．图象与x轴有交点，也叫抛物线的顶点，还是图象的最高点，这点的坐标为（0，0）。

5．因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=0时，y最大＝0。

师：大家总结得非常棒。

（五）函数y=x2与y＝－x2的图象的比较。

我们分别作出函数y=x2与y=－x2的图象，并对图象的性质作系统的研究。现在我们再来比较一下它们图象的异同点。

展示：

不同点：

1．开口方向不同，y=x2开口向上，y=－x2开口向下。

2．函数值随自变量增大的变化趋势不同，在y＝x2图象中，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大。在y=－x2的图象中正好相反。

3．在y=x2中y有最小值，即x=0时。y最小＝0，在y=－x2中y有最大值。即当x＝0时，y最大＝0。

4．y=x2有最低点，y=－x2有最高点。

相同点：

1．图象都是抛物线。

2．图象都与x轴交于点（0，0）。

3．图象都关于y轴对称。

联系：

它们的图象关于x轴对称。

三、课堂练习

（一）在同一直角坐标系中画出函数y=x2与y=－x2的图象。

（二）下列函数中是二次函数的是（    ）

A．y=2+5x2

B．y=

C．y＝3x(x+5)2

D．y=

（三）分别说出抛物线y=4x2与y＝－x2的开口方向，对称轴与顶点坐标。

四、课时小结

（一）本节课我们学习了如下内容：

1．画函数y=x2的图象，并对图象的性质作了总结。

2．画函数y＝－x2的图象，并研究其性质。

3．比较y＝x2与y=－x2的图象的异同点及联系。

【第二课时】

【教学目标】

（一）教学知识点。

1．能作出y=ax2的图象。并研究它们的性质。

2．比较y=ax2与y=x2的异同。理解a对二次函数图象的影响。

（二）能力训练要求。

1．经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验。

2．通过比较y＝ax2与y=x2的图象和性质的比较。培养学生的比较、鉴别能力。

（三）情感与价值观要求。

1．由“刹车距离”与二次函数的关系。体会二次函数是某些实际问题的数学模型。

2．由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。

【教学重点】

1．能作出y＝ax2的图象，并能够比较它们与y＝x2的异同，理解a对二次函数图象的影响。

2．能说出y＝ax2图象的开口方向；对称轴和顶点坐标。

【教学难点】

能作出函数y＝ax2的图象，并总结其性质，还能和y=x2作比较。

【教学方法】

类比学习法。

【教学过程】

一、创设问题情境，引入新课

师：在前两节课我们学习了二次函数的定义，会画函数y＝x2与y=－x2的图象，知道它们的图象是抛物线，并且还研究了抛物线的有关性质。与图象x轴是否有交点，交点坐标是什么？y随x的增大而如何变化。抛物线是否为轴对称图形等。

那么二次函数是否只有y＝x2与y＝－x2这两种呢？本节课我们继续学习其他形式的二次函数。

二、新课讲解

（一）刹车距离与二次函数的关系。

师：大家知道两辆车在行驶时为什么要保持一定距离吗？

生：怕发生“迫尾”事故。

师：汽车刹车时向前滑行的距离与什么因素有关呢？

生：与汽车行驶的速度有关系。

师：究竟与什么有关，关系有多大呢？

展示：

影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数。有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的汽车的刹车距离s（m）可以由公式s＝v2确定，雨天行驶时，这一公式为s＝v2。

师：引刹车距离s与速度v之间的关系是二次函数吗？

生：根据二次函数的定义可知，它们都是二次函数。

师：与上节课中学习的二次函数y＝x2和y＝－x2有什么不同吗？

生：y＝x2中的a为1。

s＝v2中的a为。

所以它们的不同之处在于a的取值不同。

师：很好。

既然s＝v2和s=v2与y=x2，y=－x2它都是二次函数，且都是只含二次项的二次函数，所以它们有相同之处；又因为它们中的a值的不同。所以它们肯定还有不同之处。比如在y＝x2中自变量x可以取正数或负数，在s＝v2中，因为v是速度，能否取负值呢？由实际情况可知，不可以取负值。

下图是s＝v2的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐标系内作出函数s=v2的图象。

（二）比较s=v2和s＝v2的图象。

师：从上图中，大家可以互相讨论图象有什么相同与不同？

生：

1．相同点：

（1）它们都是抛物线的一部分

（2）二者都位于s轴的右侧。

（3）函数值都随v值的增大而增大。

2．不同点：

（1）s=v2的图象在s=v2的图象的内侧。

（2）s=v2的s比s＝v2中的S增长速度快。

师：如果行车速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？

生：已知v＝60km/h。分别代入s＝v2与s＝v2中。相应地求出各自的刹车距离，再求它们的差，即s1＝×602=72，s2=×602＝36．则s1－s2＝72－36＝36（m）。

所以在雨天行驶和在晴天行驶相比，雨天的刹车距离较长，相差36m。

（三）做一做。

展示例题：

1．作二次函数y＝2x2的图象。

（1）完成下表：

（2）在下图中作出y＝2x2的图象。

（3）二次函数y＝2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？

生：

（1）略。

（2）如图。

（3）二次函数y=2x2的图象是抛物线。

它与二次函数y＝x2的图象的相同点：

开口方向相同，都向上。

对称轴都是y轴。

顶点都是原点，坐标为（0，0）。

在y轴左侧，都是y值随x值的增大而减小；在y轴右侧，都是y值随x值的增大而增大。

都有最低点，即原点。

函数都有最小值。

不同点：y＝2x2的图象在y＝x2的图象的内侧。

y＝2x2中函数值的增长速度较快。

（四）议一议。

展示例题：

1．在同一直角坐标系内作出函数y＝－2x2与y＝－x2的图象。并比较它们的性质。

2．由上可得出什么？

生：1．图象如下：

比较性质如下：

相同点：

开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是原点。

不同点：

开口程度不同，x2的系数越大，抛物线的开口越大。

2．总结：

函数y=ax2（a≠0）的图象和性质。

一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点。当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大抛物线开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大抛物线开口越大。

|a|越大，开口越小。

三、课堂练习

画出函数y＝x2与y＝2x2的图象。（在同一直角坐标系内）并比较它们的性质。

分析：画函数图象的步骤有列表、描点、连线。

解：

分别描点画图。

相同点：图象都是抛物线，开口方向相同、顶点相同，都有最低点，函数有最小值。y的值随x的增大而变化情况相同。

不同点：抛物线的开口大小不同，函数值的增长速度不同。

四、课时小结

本节课巩固了画函数图象的步骤：列表、描点、连线；学习了刹车距离与二次函数的关系；并比较了函数y＝2x2与y=x2、y＝－2x2与y＝－x2的图象的性质。