2018年济南市天桥区中考三模数学试卷

这是一份2018年济南市天桥区中考三模数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题；共60分）
1. −4 的绝对值是
A. −4B. 4C. −14D. 14

2. 下列计算正确的是
A. a−b2=a2−b2B. x6÷x2=x3
C. 5a2b−2a2b=3D. 2x23=8x6

3. “山东半岛蓝色经济区”规划主体区包括的海域面积共 159500 平方公里．159500 用科学记数法表示为
A. 1595×102B. 159.5×103C. 15.95×104D. 1.595×105

4. 如图，桌子上放着一个长方体的茶叶盒和一个圆柱形的水杯，则它的主视图是
A. B.
C. D.

5. 某校九年级一班体育委员在一次体育课上记录了六位同学托排球的个数分别为（单位：个）37，25，30，35，28，25，这组数据的中位数为
A. 25B. 28C. 29D. 32.5

6. 菱形 ABCD 的周长是 16，∠A=60∘，则对角线 BD 的长度为
A. 2B. 23C. 4D. 43

7. 下列图形中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

8. 化简：m2m−n−n2m−n 的结果是
A. m+nB. m−nC. n−mD. −m−n

9. 某校为举办“庆祝建党 90 周年”的活动，从全校 1400 名学生中随机调查了 280 名学生，其中有 80 名学生希望举办文艺演出，据此估计该学校希望举办文艺演出的学生人数为 名．
A. 1120B. 400C. 280D. 80

10. 如图，正三角形 ABC 内接于 ⊙O，动点 P 在圆周的 AB 上，且不与 A，B 重合，则 ∠BPC 等于
A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 45∘

11. 世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：
1112121316131411211214151201301201516130160160130161714211051140110514217⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
则排在第 10 行从左边数第 3 个位置上的数是
A. 1132B. 1360C. 1495D. 1660

12. 如图，抛物线 y=−12x2+x+32 与坐标轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，CD∥AB．如果直线 y=kx−2k≠0 平分四边形 OBDC 的面积，那么 k 的值为
A. 105B. 115C. 125D. 135

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 4−20180= ．

14. 因式分解：x2−4y2= ．

15. 如图，直线 l 与直线 a，b 分别交于点 A，B，a∥b，若 ∠1=70∘，则 ∠2= ∘．

16. 如图，半径为 1 的小圆在半径为 9 的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为 ．

17. 规定：lgab（a>0，a≠1，b>0）表示 a，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：lgaan=n，lgNM=lgnMlgnN（a>0，a≠1，N>0，N≠1，M>0）．例如：lg223=3，lg25=lg105lg102，则 lg1001000= ．

18. 如图所示，点 A1，A2，A3 在 x 轴上，且 OA1=A1A2=A2A3，分别过点 A1，A2，A3 作 y 轴的平行线，与反比例函数 y=8xx>0 的图象分别交于点 B1，B2，B3，分别过点 B1，B2，B3 作 x 轴的平行线，分别与 y 轴交于点 C1，C2，C3，连接 OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 先化简，再求值：a+ba−b+2b2，其中 a=3，b=−1．

20. 解不等式组 2x+1≤7,3+2x≥1+x, 并把解集表示在数轴上．

21. 如图，点 M 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上．求证：AM=CM．

22. 某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台 30 元，40 元，商场销售 5 台A型号和 1 台B型号计算器，可获利润 76 元；销售 6 台A型号和 3 台B型号计算器，可获利润 120 元．
（1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元?（利润 = 销售价格 − 进货价格）
（2）商场准备用不多于 2500 元的资金购进A，B两种型号计算器共 70 台，问最少需要购进A型号的计算器多少台?

23. 如图，在等腰 △ABC 中，∠A=30∘，O 和 D 为线段 AC 的三等分点，以 O 为圆心，线段 OC 的长为半径画圆．
（1）求证：AB 是 ⊙O 的切线；
（2）若 ⊙O 的半径为 1，求阴影部分面积是多少?

24. 济南某中学组织七、八、九年级学生参加“创建文明城，点赞新济南”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计绘制了如图 1 和如图 2 两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题：
（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 度，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校有 4 篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，一篇来自八年级，两篇来自九年级，学校准备从特等奖作文中任远两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出被选登在校刊上的文章均来自九年级的概率．

25. 如图，一次函数 y=kx+bk≠0 与反比例函数 y=axa≠0 的图象在第一象限交于 A，B 两点，A 点的坐标为 m,4，B 点的坐标为 3,2，连接 OA，OB，过 B 作 BD⊥y 轴，垂足为 D，交 OA 于 C．若 OC=CA．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求 △AOB 的面积；
（3）在直线 BD 上是否存在一点 E，使得 △AOE 是直角三角形，求出所有可能的 E 点坐标．

26. （1）发现：如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=a，AB=b．填空：当点 A 位于 时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 （用含 a，b 的式子表示）．
（2）应用：点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=4，AB=2，如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE．
①请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段 BE 长的最大值．
（3）拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 2,0，点 B 的坐标为 5,0，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA=2，PM=PB，∠BPM=90∘，请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标．

27. 抛物线 y=ax2+bx−5 过 A2,3，B4,3，C6,−5 三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，抛物线上一点 D 在线段 AC 的上方，DE⊥AB，交 AC 于点 E，若满足 DEAE=52，求点 D 的坐标；
（3）如图②，F 为抛物线顶点，过 A 作直线 l⊥AB，若点 P 在直线 l 上运动，点 Q 在 x 轴上动，是否存在这样的点 P，Q，使得以 B，P，Q 为顶点的三角形与 △ABF 相似?若存在，求 P，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. D【解析】A．a−b2=a2−2ab+b2，错误；
B．x6÷x2=x4，错误；
C．5a2b−2a2b=3a2b，错误；
D．2x23=8x6，正确．
3. D【解析】159500=1.595×105．
4. B【解析】长方体的主视图是长方形，而圆柱的主视图是矩形．
5. C
【解析】把数据按从小到大排列：25，25，28，30，35，37，
共有 6 个数，最中间两个数的平均数 =28+30÷2=29，
所以这组数据的中位数为 29．
6. C
7. C【解析】A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
8. A【解析】m2m−n−n2m−n=m2−n2m−n=m+nm−nm−n=m+n.
9. B【解析】由题意知从全校 1400 名学生中随机调查了 280 名学生，其中有 80 名学生希望举办文艺演出，
∴ 希望举办文艺演出的学生所占的百分比为：80÷280=27，
∴ 该学校希望举办文艺演出的学生人数为：1400×27=400（名）．
10. B
【解析】∵△ABC 为正三角形，
∴∠A=60∘，
∴∠BPC=60∘．
11. B【解析】分子总是 1，第 n 行的第一个数的分母就是 n，第二个数的分母是第一个数的 n−1 倍，第三个数的分母是第二个数的分母的 n2−1 倍．
根据规律可得，第 10 行从左边数前三个数为 110，110×9，110×9×4=1360．
12. B【解析】设直线 y=kx−2 交 x 轴于点 E，交线段 CD 于点 F，如图所示．
∵ 抛物线 y=−12x2+x+32 与坐标轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，
∴A−1,0，B3,0，C0,32．
当 y=32 时，有 −12x2+x+32=32，
解得：x1=0，x2=2，
∴D2,32，
∴CD=2．
∵ 直线 y=kx−2 交 x 轴于点 E，交线段 CD 于点 F，
∴E2k,0，F72k,0．
∵ 直线 y=kx−2k≠0 平分四边形 OBDC 的面积，
∴2k+72k=CD+OB2=52，
解得：k=115，
经检验，k=115 是原方程的解，且符合题意．
第二部分
13. 3
【解析】原式=4−1=3.
14. x+2yx−2y
15. 110
【解析】∵a∥b，∠1=70∘，
∴∠3=∠1=70∘，
∵∠2+∠3=180∘，
∴∠2=110∘．
16. 32π
【解析】根据图形得：小圆扫过的阴影部分的面积是 π×92−π×9−1−12=32π．
17. 32
【解析】先由公式 lgNM=lgnMlgnN 得：lg1001000=lg101000lg10100，由公式 lgaan=n 得：① lg101000=lg10103=3；② lg10100=lg10102=2；
∴lg1001000=lg101000lg10100=lg10103lg10102=32．
18. 499
【解析】如图所示，设 A1B1 交 B2C2 于点 M，交 OB2 于点 N．A2B2 交 B3C3 于点 P，交 OB3 于点 Q．
∵ OA1=A1A2=A2A3，
∴ S△MNB2=14S△OB2C2，S△PQB3=19S△OB3C3．
∵ B1，B2，B3 在 y=8x 图象上，
∴ S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=12×8=4．
∴ S阴影=4+14×4+19×4=499．
第三部分
19. 原式=a2−b2+2b2=a2+b2,
当 a=3，b=−1 时，
原式=9+1=10.
20.
2x+1≤7, ⋯⋯①3+2x≥1+x, ⋯⋯②∵
解不等式 ① 得：
x≤3.
解不等式 ② 得：
x≥−2.∴
不等式组的解集为
−2≤x≤3.
在数轴上表示如图所示：
21. ∵BD 是正方形 ABCD 的对角线，
∴∠ABD=∠CBD，AB=BC，
在 △ABM 和 △CBM 中，
AB=CB,∠ABM=∠CBM,BM=BM,
∴△ABM≌△CBMSAS，
∴AM=MC．
22. （1） 设A种型号计算器的销售价格是 x 元，B种型号计算器的销售价格是 y 元，
由题意得：
5x−30+y−40=76,6x−30+3y−40=120.
解得：
x=42,y=56.
答：A种型号计算器的销售价格是 42 元，B种型号计算器的销售价格是 56 元．
（2） 设购进A型计算器 a 台，则购进B型计算器：70−a 台，
则
30a+4070−a≤2500.
解得：
a≥30.
答：最少需要购进A型号的计算器 30 台．
23. （1） 连接 OB，如图，
∵ 等腰 △ABC 中，∠A=30∘，
∴∠C=30∘，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C=30∘，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60∘，
∵∠OBA=180∘−60∘−30∘=90∘，
∴OB⊥AB，
∴AB 是 ⊙O 的切线．
（2） 在 Rt△OBA 中，AB=3OB=3，
∴阴影部分面积=S△AOB−S扇形BOD=12×1×3−60×π×12360=32−π6.
24. （1） 20÷20%=100，
九年级参赛作文篇数对应的圆心角 =360∘×35100=126∘；
100−20−35=45，
补全条形统计图如图所示：
（2） 画树状图如图所示：（用 A，B，C 分别表示七年级、八年级和九年级的学生）
共有 12 种等可能的结果数，其中被选登在校刊上的文章均来自九年级的结果数为 2 种，
所以被选登在校刊上的文章均来自九年级的概率为 212=16．
25. （1） ∵B3,2 在反比例函数 y=ax 的图象上，
∴a=3×2=6，
∴ 反比例函数的表达式为 y=6x，
∵ 点 A 的纵坐标为 4，
∵ 点 A 在反比例函数 y=6x 图象上，
∴A32,4，
∴3k+b=2,32k+b=4,
∴k=−43,b=6,
∴ 一次函数的表达式为 y=−43x+6．
（2） 如图 1，过点 A 作 AF⊥x 轴于 F 交 OB 于 G，
∵B3,2，
设直线 OB 的解析式为 y=k1x，
可得：2=3k1，解得：k1=23，
∴ 直线 OB 的解析式为 y=23x，
∴G32,1，A32,4，
∴AG=4−1=3，
∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=12×3×3=92．
（3） 如图 2 中，
①当 ∠AOE1=90∘ 时，
∵ 直线 AC 的解析式为 y=83x，
∴ 直线 OE1 的解析式为 y=−38x，
当 y=2 时，x=−163，
∴E1−163,2．
②当 ∠OAE2=90∘ 时，可得直线 OE2 的解析式为 y=−38x+7316，
当 y=2 时，x=416，
∴E2416,2．
③当 ∠OEA=90∘ 时，易知 AC=OC=CE=734，
∵C32,2，
∴ 可得 E36−734,2，E46+734,2，
综上所述，满足条件的点 E 坐标为 −163,2 或 416,2 或 6−734,2 或 6+734,2．
26. （1） CB 的延长线上；a+b
【解析】∵ 点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=a，AB=b，
∴ 当点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 BC+AB=a+b．
（2） ① CD=BE，
理由：
∵△ABD 与 △ACE 是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60∘，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即 ∠CAD=∠EAB，
在 △CAD 与 △EAB 中，
AD=AB,∠CAD=∠EAB,AC=AE,
∴△CAD≌△EAB，
∴CD=BE；
② 6．
【解析】② ∵ 线段 BE 长的最大值 = 线段 CD 的最大值，
由（1）知，当线段 CD 的长取得最大值时，点 D 在 CB 的延长线上，
∴ 最大值为 BD+BC=AB+BC=6．
（3） 满足条件的点 P 坐标为 2−2,2 或 2−2,−2，AM 的最大值为 22+3．
【解析】如图 1，
∵ 将 △APM 绕着点 P 顺时针旋转 90∘ 得到 △PBN，连接 AN，
则 △APN 是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2，BN=AM，
∵A 的坐标为 2,0，点 B 的坐标为 5,0，
∴OA=2，OB=5，
∴AB=3，
∴ 线段 AM 长的最大值 = 线段 BN 长的最大值，
∴ 当 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值，最大值 =AB+AN，
∵AN=2AP=22，
∴ 最大值为 22+3；
如图 2，过 P 作 PE⊥x 轴于 E，
∵△APN 是等腰直角三角形，
∴PE=AE=2，
∴OE=BO−AB−AE=5−3−2=2−2，
∴P2−2,2．
如图 3 中，
根据对称性可知当点 P 在第四象限时，P2−2,−2 时，也满足条件．
综上所述，满足条件的点 P 坐标为 2−2,2 或 2−2,−2，AM 的最大值为 22+3．
27. （1） 根据题意，设抛物线表达式为 y=ax−32+h．
把 B4,3，C6,−5 代入得：a+h=3,9a+h=−5, 解得：a=−1,h=4,
故抛物线的表达式为：y=−x−32+4=−x2+6x−5．
（2） 设直线 AC 的表达式为 y=kx+n，
则：2k+n=3,6k+n=−5, 解得：k=−2,n=7,
∴ 直线 AC 的表达式为 y=−2x+7，
设 Dm,−m2+6m−5，2