2019年上海市静安区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2019年上海市静安区中考二模数学试卷（期中），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列二次根式中，与 3 是同类二次根式的是
A. 6B. 9C. 13D. 18

2. 计算 1−a−1−a 的结果是
A. a2−1B. 1−a2C. a2−2a+1D. −a2+2a−1

3. 函数 y=−2xx>0 的图象位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

4. 如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么 ∠1 的大小是
A. 8∘B. 15∘C. 18∘D. 28∘

5. 小明和小丽暑期参加工厂社会实践活动，师傅将他们工作第一周每天生产的合格产品的个数整理成如表两组数据．那么关于他们工作第一周每天生产的合格产品个数，下列说法中正确的是
小明26778小丽23488
A. 小明的平均数小于小丽的平均数B. 两人的中位数相同
C. 两人的众数相同D. 小明的方差小于小丽的方差

6. 下列说法中正确的是
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的矩形是正方形
C. 顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形
D. 正多边形都是中心对称图形

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：a2⋅a4= ．

8. 如果 xx 有意义，那么 x 的取值范围是 ．

9. 程：x−1=3 的解为 ．

10. 如果关于 x 的二次三项式 x2−4x+m 在实数范围内不能分解因式，那么 m 的取值范围是 ．

11. 某商店三月份的利润是 25000 元，要使五月份的利润达到 36000 元，假设每月的利润增长率相同，那么这个相同的增长率是 ．

12. 已知正比例函数 y=−2x，那么 y 的值随 x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）

13. 从 0，1，2，3 这四个数字中任取 3 个数，取得的 3 个数中不含 2 的概率是 ．

14. 为了解某校九年级男生 1000 米跑步的水平情况，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D，C，B，A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，那么扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 度．

15. 已知 △ABC 中，G 是 △ABC 的重心，则 S△ABGS△ABC= ．

16. 已知在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC=2，如果以点 C 为圆心的圆与斜边 AB 有且只有一个交点，那么 ⊙C 的半径是 ．

17. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 是 AB 的三等分点，点 G 是 AD 的中点，连接 EC，FG 交于点 M．已知 AB=a，BC=b，那么向量 MC= ．（用向量 a，b 表示）．

18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A23,0，B0,6，M0,2．点 Q 在直线 AB 上，把 △BMQ 沿着直线 MQ 翻折，点 B 落在点 P 处，连接 PQ．如果直线 PQ 与直线 AB 所构成的夹角为 60∘，那么点 P 的坐标是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：4−12+2−12+13+2+1−2．

20. 解方程组：x−y=6,x2+3xy−10y2=0.

21. 一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续 5 小时内 6 个时间点的水位高度，其中 x 表示时间，y 表示水位高度．
x小时012345⋯y米⋯
（1）通过观察数据，请写出水位高度 y 与时间 x 的函数解析式（不需要写出定义域）；
（2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到 8 米时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报．

22. 已知：如图，在矩形 ABCD 中，过 AC 的中点 M 作 EF⊥AC，分别交 AD，BC 于点 E，F．
（1）求证：四边形 AECF 是菱形；
（2）如果 CD2=BF⋅BC，求 ∠BAF 的度数．

23. 已知：如图，△ABC 内接于 ⊙O，AB=AC，点 E 为弦 AB 的中点，AO 的延长线交 BC 于点 D，连接 ED．过点 B 作 BF⊥DE 交 AC 于点 F．
（1）求证：∠BAD=∠CBF；
（2）如果 OD=DB．求证：AF=BF．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 经过原点，与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P−3,4．
（1）求这条抛物线表达式；
（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为 Q，它与 y 轴交点为 B，连接 PB，PQ．设点 B 的纵坐标为 m，用含 m 的代数式表示 ∠BPQ 的正切值；
（3）连接 AP，在（2）的条件下，射线 PB 平分 ∠APQ，求点 B 到直线 AP 的距离．

25. 已知：如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=CD=6．动点 P 在射线 BA 上，以 BP 为半径的 ⊙P 交边 BC 于点 E（点 E 与点 C 不重合），连接 PE，PC．设 BP=x，PC=y．
（1）求证：PE∥DC；
（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）连接 PD，当 ∠PDC=∠B 时，以 D 为圆心半径为 R 的 ⊙D 与 ⊙P 相交，求 R 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】与 3 是同类二次根式的是 13．
2. A【解析】原式=−a2−12=a2−1.
3. D【解析】函数 y=−2xx>0 的图象位于第四象限．
4. C【解析】∵ 正五边形的内角的度数是 15×5−2×180∘=108∘，
又 ∵ 正方形的内角是 90∘，
∴∠1=108∘−90∘=18∘．
5. D
【解析】A、小明的平均数为 2+6+7+7+8÷5=6，小丽的平均数为 2+3+4+8+8÷5=5，故本选项错误；
B、小明的中位数为 7，小丽的中位数为 4，故本选项错误；
C、小明的众数为 7，小丽的众数为 8，故本选项错误；
D、小明的方差为 4.4，小丽的方差为 6.4，小明的方差小于小丽的方差，故原题说法正确．
6. B【解析】A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以B选项正确；
C、顺次联结矩形各边中点所得四边形是菱形，所以C选项错误；
D、边数为偶数的正多边形都是中心对称图形，所以D选项错误．
第二部分
7. a6
【解析】a2⋅a4=a2+4=a6．
8. x>0
【解析】由题意可知：x≥0,x≠0,
解得：x>0．
9. 10
【解析】两边平方得：x−1=9，
移项得：x=10．
10. m>4
【解析】关于 x 的二次三项式 x2−4x+m 在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程 x2−4x+m=0 无实数根，
∴Δ=−42−4m=16−4m<0，
∴m>4．
11. 20%
【解析】设每月的利润增长率为 x，
依题意，得：250001+x2=36000，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（不合题意，舍去）．
12. 减小
【解析】因为正比例函数 y=−2x 中的 k=−2<0，
所以 y 的值随 x 的值增大而减小．
13. 14
【解析】从 0，1，2，3 这四个数字中任取 3 个数有 0，1，2；0，1，3；0，2，3；1，2，3 四种等可能的结果数，所以取得的 3 个数中不含 2 的概率 =14．
14. 72
【解析】扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为：360∘×812÷30%=72∘．
15. 13
【解析】设 △ABC 边 AB 上的高为 h，
∵G 是 △ABC 的重心，
∴△ABG 边 AB 上的高为 13h．
∴S△ABGS△ABC=12AB⋅13h12AB⋅h=13．
16. 2
【解析】∵ 在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC=2，
∵ 以点 C 为圆心的圆与斜边 AB 有且只有一个交点，
∴CD⊥AB，
∴CD=12AB=12×22=2，
即 ⊙C 的半径是 2．
17. 59a+56b
【解析】如图，延长 FG 交 CD 的延长线于 H．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CH，
∴AFDH=AGDG=1，
∴AF=DH，
设 AE=EF=FB=a，则 AB=CD=3a，AF=DH=2a，CH=5a，
∵EF∥CH，
∴EMCM=EFCH=15，
∴CM=56CE，
∵EC=EB+BC=23a+b，
∴MC=56EC=59a+56b．
18. 23,4 或 0,−2 或 −23,0
【解析】∵A23,0，B0,6，M0,2，
∴OA=23，OB=6，OM=2，BM=OB−OM=4，
∴tan∠BAO=OBOA=623=3．
∴∠BAO=60∘．
∵∠AOB=90∘，
∴∠ABO=30∘．
∴AB=2OA=43．
∵ 直线 PQ 与直线 AB 所构成的夹角为 60∘，
∴∠PQB=120∘ 或 ∠PQB=60∘．
（1）当 ∠PQB=120∘ 时，分两种情况：
① 如图 1 所示：延长 PQ 交 OB 于点 N，则 ∠BQN=60∘，
∴∠QNB=90∘，即 QN⊥BM．
由折叠得：BM=MP=4，∠BQM=∠PQM，
∵∠PQB=120∘，
∴∠BQM=∠PQM=120∘．
∴∠BQN=∠MQN=60∘．
∵QN⊥BM，
∴BN=NM=12BM=2．
在 Rt△PNM 中，NP=MP2−NM2=42−22=23，ON=OM+NM=4，
∴P 点的坐标为：23,4；
② 如图 2 所示：QM⊥OB，BM=MP，OP=PM−OM=BM−OM=4−2=2，
∴P 点的坐标为：0,−2；
（2）当 ∠PQB=60∘ 时，
如图 3 所示：Q 点与 A 点重合，
由折叠得：AB=AP=43，OP=AP−OA=43−23=23，
∴P 点的坐标为：−23,0；
综上所述：P 点的坐标为：23,4 或 0,−2 或 −23,0．
第三部分
19. 原式=14+2+1−22+3−2+2−1=12+3−22+3−2+2−1=52+3−22.
20.
x−y=6, ⋯⋯①x2+3xy−10y2=0. ⋯⋯②
由 ② 得：
x−2yx+5y=0.
原方程组可化为：
x−y=6,x−2y=0或x−y=6,x+5y=0.
解得：
x1=12,y1=6,x2=5,y2=−1.∴
原方程组的解为
x1=12,y1=6,x2=5,y2=−1.
21. （1） 设 y 与 x 之间的函数解析式为 y=kx+b，
b=3,k+b=3.3, 得 k=0.3,b=3,
即 y 与 x 之间的函数解析式为 y=0.3x+3．
（2） 把 y=8，代入 y=0.3x+3，得 8=0.3x+3，
解得，x=503，
503−5=353，
答：再过 353 小时后系统会发出警报．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵ 点 M 为 AC 的中点，
∴AM=CM．
在 △AME 与 △CMF 中，
∠1=∠2,AM=CM,∠AME=∠CMF,
∴△AME≌△CMFASA，
∴ME=MF．
∴ 四边形 AECF 为平行四边形，
又 ∵EF⊥AC，
∴ 平行四边形 AECF 为菱形．
（2） ∵CD2=BF⋅BC，
∴CDBF=BCCD，
又 ∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴AB=CD，
∴ABBF=BCAB，
又 ∵∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA，
∴∠2=∠3，
∵ 四边形 AECF 为菱形，
∴∠1=∠4，即 ∠1=∠3=∠4，
∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴∠BAD=∠1+∠3+∠4=90∘，
∴ 即 ∠1=30∘．
23. （1） 如图 1 所示：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵ 直线 AD 经过圆心 O，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵ 点 E 为弦 AB 的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线．
∴DE∥AC，
∵BF⊥DE，
∴∠BPD=90∘，
∴∠BFC=90∘，
∴∠CBF+∠ACB=90∘．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠CBF+∠ABC=90∘，
又 ∵AD⊥BC，
∴∠BAD+∠ABC=90∘，
∴∠BAD=∠CBF．
（2） 连接 OB．如图 2 所示：
∵AD⊥BC，OD=DB，
∴△ODB 是等腰直角三角形，
∴∠BOD=45∘．
∵OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB．
∵∠BOD=∠OBA+∠OAB，
∴∠BAO=12∠BOD=22.5∘，
∵AB=AC，且 AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠BAO=45∘．
∵∠2=90∘，即 BF⊥AC，
∴ 在 △ABF 中，∠ABF=90∘−45∘=45∘，
∴∠ABF=∠BAC，
∴AF=BF．
24. （1） 设抛物线表达式为：y=ax+32+4a≠0，
把 O0,0 代入得 a=−49，
∴ 抛物线的表达式：y=−49x+32+4．
（2） 设 PQ 与 y 轴交点为 H．
∵P−3,4，B0,m，
∴PH=3，BH=4−m，
在 Rt△PBH 中，tan∠BPQ=BHPH=4−m3．
故 ∠BPQ 的正切值为：4−m3．
（3） 设 PB 与 x 轴交于点 M．
由（1）得点 A 坐标为 −6,0．
又 P−3,4，
∴AP=5．
∵ 射线 PB 平分 ∠APQ，
∴∠APB=∠BPQ．
∵PQ∥x轴，
∴∠AMP=∠BPQ，
∴∠AMP=∠APB，
∴AP=AM=5，
∴M−1,0．
设直线 PB 为 y=kx+bk≠0，
把点 P−3,4，M−1,0 代入，得：y=2x−2，
∴ 点 B 为 0,−2．
∴BH=4−m=4−−2=6．
∵ 射线 PB 平分 ∠APQ，BH⊥PQ，
∴ 点 B 到直线 AP 的距离为 6．
25. （1） ∵ 梯形 ABCD，AB=CD，
∴∠B=∠DCB．
∵PB=PE，
∴∠B=∠PEB．
∴∠DCB=∠PEB．
∴PE∥CD；
（2） 分别过 P，A，D 作 BC 的垂线，垂足分别为点 H，F，G．
∵ 梯形 ABCD 中，AD∥BC，AF⊥BC，DG⊥BC，PH⊥BC，
∴ 四边形 ADGF 是矩形，PH∥AF．
∵AD=2，BC=DC=6，
∴BF=FG=GC=2．
在 Rt△ABF 中，
AF=AB2−BF2=62−22=42，
∵PH∥AF，
∴PHAF=BPAB=BHBF，即 PH42=x6=BH2．
∴PH=232x，BH=13x．
∴CH=6−13x．
在 Rt△PHC 中，PC=PH2+CH2，
∴y=223x2+6−13x2，即 y=x2−4x+360 （3） 作 EM∥PD 交 DC 于 M．
∵PE∥DC，
∴ 四边形 PDME 是平行四边形．
∴PE=DM=x，即 MC=6−x．
∴PD=ME，∠PDC=∠EMC．
又 ∵∠PDC=∠B，∠B=∠DCB，
∴∠DCB=∠EMC=∠PBE=∠PEB．∴△PBE∽△ECM．
∴PBEC=BEMC，即 x6−23x=23x6−x．
解得：x=185，即 BE=125，
∴PD=EC=6−125=185．
当两圆外切时，PD=rP+R，即 R=0（舍去）；
当两圆内切时，PD=rP−R，即 R1=0（舍去），R2=365；
即两圆相交时，0