2018年黑龙江省哈尔滨市中考模拟数学试卷

这是一份2018年黑龙江省哈尔滨市中考模拟数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 去年 11 月份我市某一天的最高气温是 10∘C，最低气温是 −1∘C，那么这一天的最高气温比最低气温高
A. −9 ∘CB. −11 ∘CC. 9 ∘CD. 11∘C

2. 如图，下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列计算正确的是
A. 3a−2a=1B. a2+a5=a7C. a2⋅a4=a6D. ab3=ab3

4. 将抛物线 y=−2x2+1 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后所得到的抛物线的解析式为
A. y=−2x+12−1B. y=−2x+12+3
C. y=−2x−12+1D. y=−2x−12+3

5. 如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的俯视图是
A. B.
C. D.

6. 分式方程 2x+1+1=xx−1 的解为
A. x=4B. x=3C. x=2D. x=1

7. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，OA，OC 是 ⊙O 的半径，AC=BC，∠BAO=37∘，则 ∠AOC 的度数是 度．
A. 74B. 106C. 117D. 127

8. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，sinA=35，则 csB 的值为
A. 54B. 45C. 53D. 35

9. 如图，已知在 △ABC 中，点 D，E，F 分别是边 AB，AC，BC 上的点，DE∥BC，EF∥AB，且 AD:DB=3:5，那么 CF:CB 等于
A. 5:8B. 3:8C. 3:5D. 2:5

10. 早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直路）上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15 分钟后妈妈到家，再经过 3 分钟小刚到达学校，小刚始终以 100 米/分钟 的速度步行，小刚和妈妈的距离 y（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间 t（单位：分钟）之间的函数关系如图，下列四种说法中错误的是
A. 打电话时，小刚和妈妈的距离为 1250 米
B. 打完电话后，经过 23 分钟小刚到达学校
C. 小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为 150 米/分钟
D. 小刚家与学校的距离为 2550 米

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 用科学记数法表示 370000 为 ．

12. 在函数 y=3x+32x−4 中，自变量 x 的取值范围是 ．

13. 把多项式 2a2−4ab+2b2 分解因式的结果是 ．

14. 计算：12−75= ．

15. 在反比例函数 y=k−4x 图象的每一条曲线上，y 都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是 ．

16. 不等式组 2x+1≤3,x+2>2 的整数解是 ．

17. 在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸取一个小球记下标号后放回，再随机地摸取一个小球记下标号，则两次摸取的小球标号都是 1 的概率为 ．

18. 一个扇形的弧长是 4π，半径是 6，则这个扇形的圆心角度数是 ．

19. 矩形 ABCD 中，CE 平分 ∠BCD，交直线 AD 于点 E，若 CD=6，AE=2，则 tan∠ACE= ．

20. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AD 平分 ∠CAB，交 BC 边于点 D，DE⊥AB 于点 E，EF∥BC 交线段 AD 于点 F．若 CDBD=35，S△AEF=35，则线段 AD 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
21. 先化简，再求代数式：a2+aa2+2a+1÷1+1a−1 的值，其中 α=tan60∘−1．

22. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A−3,2，B−1,4，C0,2．
（1）将 △ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180∘，画出旋转后对应的 △A1B1C；
（2）平移 △ABC，若 A 的对应点 A2 的坐标为 −5,−2，画出平移后的 △A2B2C2；
（3）若将 △A2B2C2 绕某一点旋转可以得到 △A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．

23. 我国北方进入了交通事故频发的季节，为此，某校在全校 2000 名学生中随机抽取一部分人进行“交通安全”知识问卷调查活动，对问卷调查成绩按“很好”、“较好”、“一般”、“较差”四类汇总分析，并绘制了如图所示的扇形统计图和条形统计图．
（1）本次活动共抽取了多少名同学?
（2）补全条形统计图；
（3）根据以上调查结果分析，估计该校 2000 名学生中，对“交通安全”知识了解一般的学生约有多少名．

24. 如图，AD 与 BC 相交于点 F，FA=FC，∠A=∠C，点 E 在 BD 的垂直平分线上．
（1）如图 1，求证：∠FBE=∠FDE；
（2）如图 2，连接 CE 分别交 BD，AD 于点 H，G，当 ∠FBD=∠DBE=∠ABF，CD=DE 时，直接写出所有与 △ABF 全等的三角形．

25. 兴发服装店老板用 4500 元购进一批某款 T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用 4950 元购进第二批该款式 T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了 9 元．
（1）第一批该款式 T 恤衫每件进价是多少元?
（2）老板以每件 120 元的价格销售该款式 T 恤衫，当第二批 T 恤衫售出 45 时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于 650 元，剩余的 T 恤衫每件售价至少要多少元?（ 利润 = 售价 − 进价 ）

26. 已知：如图，AB 为 ⊙O 的直径，C 是 BA 延长线上一点，CP 切 ⊙O 于 P，弦 PD⊥AB 于 E，过点 B 作 BQ⊥CP 于 Q，交 ⊙O 于 H．
（1）如图 1，求证：PQ=PE；
（2）如图 2，G 是圆上一点，∠GAB=30∘，连接 AG 交 PD 于 F，连接 BF，若 tan∠BFE=33，求 ∠C 的度数；
（3）如图 3，在（2）的条件下，PD=63，连接 QG 交 BC 于点 M，求 QM 的长．

27. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 O 为坐标原点，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为 3,0，直线 y=−x+3 经过 B，C 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 是 x 轴下方抛物线上一点，连接 AC，过点 P 作 PQ∥AC 交 BC 于点 Q，过点 Q 作 x 轴的平行线，过点 P 作 y 轴的平行线，两条直线相交于点 K，PK 交 BC 于点 H，设 QK 的长为 t，PH 的长为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式；（不要求写出自变量 t 的取值范围）
（3）在（2）的条件下，PK 交 x 轴于点 R，过点 R 作 RT⊥PQ，垂足为 T，当 PK=10PT 时，将线段 QT 绕点 Q 逆时针旋转 90∘ 得到线段 QL，M 是线段 PQ 上一动点，过点 M 作直线 AC 的垂线，垂足为 N，连接 ON，ML，当 ML∥ON 时，求 N 点坐标．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. C【解析】A．系数相加字母部分不变，故A错误；
B．不是同底数幂的乘法，指数不能相加，故B错误；
C．底数不变指数相加，故C正确；
D．积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故D错误．
4. D【解析】抛物线 y=−2x2+1 的顶点坐标为 0,1，将其向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后所得到的抛物线的顶点坐标为 0+1,1+2，即 1,3，
∴ 平移后抛物线的解析式为 y=−2x−12+3．
5. D
【解析】从几何体的上面看共有 3 列小正方形，右边有 2 个，左边有 2 个，中间有 1 个．
6. B【解析】原方程变形为：2x−1+x+1x−1=xx+1，2x−2+x2−1=x2+x，
解得：x=3，经检验 x=3 是分式方程的解．
7. D【解析】连接 OB，如图所示．
∵OA=OB，∠BAO=37∘，
∴∠AOB=180∘−2×37∘=106∘，
∵AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC=360∘−106∘2=127∘．
8. D
9. A
10. C
【解析】A．由图象可得，打电话时，小刚和妈妈的距离为：1250 米，故A选项说法正确；
B．由图象可得，打完电话后，经过 23 分钟小刚到达学校，故B选项说法正确；
C．由题意可得，小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为：1250−5×100÷15=50米/分钟，故C选项说法错误．
D．由题意可得，小刚家与学校的距离为：
1250−5×100+23−5×100=1250−500+18×100=750+1800=2550米.
故D选项说法正确．
第二部分
11. 3.7×105
【解析】370000=3.7×105．
12. x≥−1 且 x≠2
【解析】由题意得，3x+3≥0，2x−4≠0，
解得，x≥−1 且 x≠2．
13. 2a−b2
14. −33
【解析】原式=23−53=−33.
15. k>4
【解析】∵ 反比例函数图象的每一条曲线上，y 随 x 的增大而减小，
∴k−4>0，
解得：k>4．
16. x=1
【解析】解不等式 2x+1≤3，得：x≤1，
解不等式 x+2>2，得：x>0，
则不等式组的解集为 0 ∴ 不等式组的整数解为 x=1．
17. 116
【解析】两次摸取小球标号的所有可能列表如下：
123411,11,21,31,422,12,22,32,433,13,23,33,444,14,24,34,4
所以两次摸取小球标号都是 1 的概率为 P=116．
18. 120∘
【解析】设圆心角为 n．
由题意得：4π=n⋅π⋅6180，
∴n=120∘．
19. 17 或 15
【解析】∵CE 平分 ∠BCD，CD=6，AE=2，
∴∠DCE=∠DEC=45∘，DE=CD=6，
①当 E 在线段 AD 上时，AD=2+6=8，AC=10，
如图 1，过 E 作 EF⊥AC 于 F，
则 ∠AFE=∠D=90∘，
又 ∵∠EAF=∠CAD，
∴△AEF∽△ACD，
∴AF=45AE=85，EF=35AE=65，
∴CF=10−85=425，
∴Rt△CEF 中，tan∠ACE=EFCF=17；
②当 E 在 DA 延长线上时，∠E=∠BCE=45∘，
如图 2，过 A 作 AF⊥CE 于 F，
则 △AEF 是等腰直角三角形，
∴EF=AF=2，
又 ∵ 等腰 Rt△CDE 中，CE=2CD=62，
∴CF=52，
∴Rt△ACF 中，tan∠ACE=AFCF=15；
综上所述，tan∠ACE=17或15．
20. 5
【解析】连接 CF 并延长交 AB 于点 G，
可知四边形 CDEF 是菱形．
∴CF=EF=DE=CD，
∵EF∥BC，
∴∠FEG=∠B，
∴sin∠FEG=sinB=35，
设 FG=3x，则 EF=5x，EG=4x，CF=CD=5x，CG=8x，可知 ∠CGA=90∘，
∴∠ACG=∠B，
∴sin∠ACG=35，
∴AG=6x，AC=10x，
∴AE=10x，
∴S△AEF=12×10x×3x=35，
解得：x1=15，x2=−15（舍去），
∴x=15，
∴CD=1，AC=2，
∴AD=5．
第三部分
21. 原式=aa+1a+12÷a−1a−1+1a−1=aa+1÷aa−1=aa+1⋅a−1a=a−1a+1.
当 a=tan60∘−1=3−1 时，
原式=3−1−13−1+1=3−23=3−233.
22. （1）
（2）
（3） 旋转中心为 −1,0．
23. （1） 本次活动抽取的学生人数为 15÷25%=60（名）．
（2） “较好”的人数为 60×50%=30（名），
补全的条形统计图如图所示．
（3） 2000×1260=400（名），
答：对“交通安全”知识了解一般的学生约有 400 名．
24. （1） 在 △BAF 和 △DCF 中，
∠A=∠C,FA=FC,∠AFB=∠CFD,
∴△BAF≌△DCF，
∴BF=DF，
∴∠FBD=∠FDB，
又 ∵E 在 BD 的垂直平分线上，
∴EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∴∠FBE=∠FDE．
（2） △HBE，△DFC，△DCH，△GED．
理由如下：
由（1）可知 ∠FBD=∠FDB，∠EBD=∠EDB，
∵∠FBD=∠DBE，
∴∠FDB=∠EDB，
在 △BFD 和 △BED 中，
∠FDB=∠EDB,BD=BD,∠FBD=∠EBD,
∴△BFD≌△BED，
∴BF=EB，DE=DF，
∵CD=DE，
∴BF=FD=DE=EB=BA=CD，
设 ∠ABF=x，则由已知可得，∠FBD=∠FDB=∠EBD=∠EDB=x，
∵AB=BF，
∴∠A=∠AFB=2x，
在 △ABD 中，x+2x+2x=180∘，
∴x=36∘，
∴∠FBD=∠FDB=∠EBD=∠EDB=36∘，∠AFB=∠CFD=∠A=72∘，
∴∠CDB=72∘，
∵ED=CD，∠EBD=36∘，
∴∠DCE=∠CED=36∘，
∵∠DBE=36∘，
∴∠BHE=72∘，
在 △ABF 和 △HBE 中，
∠A=∠BHE,∠ABF=∠HBE,BF=BE,
∴△ABF≌△HBE，
同理，△ABF≌△HCD，△ABF≌△GED，
∴ 与 △ABF 全等的三角形有 △HBE，△DFC，△DCH，△GED．
25. （1） 设第一批 T 恤衫每件进价是 x 元，
由题意，得
4500x=4950x+9.
解得
x=90.
经检验 x=90 是分式方程的解，且符合题意．
答：第一批 T 恤衫每件的进价是 90 元．
（2） 设剩余的 T 恤衫每件售价 y 元．
由（1）知，第二批购进 495099=50（件）．
由题意，得
120×50×45+y×50×15−4950≥650.
解得
y≥80.
答：剩余的 T 恤衫每件售价至少要 80 元．
26. （1） 如图 1，连接 OP，过点 O 作 OR⊥QB 于 R，则四边形 PORQ 是矩形．
∴OR=PQ．
∵∠POR=90∘，∠OEP=90∘，
∴∠OPE=∠BOR．
在 △POE 和 △OBR 中，
∠OEP=∠BRO,∠OPE=∠BOR,OP=OB,
∴△POE≌△OBR，
∴OR=PE，
∴PQ=PE．
（2） 连接 OP，如图 2．
∵CP 切 ⊙O 于 P，
∴∠OPC=∠OPQ=90∘，
∴∠C+∠COP=90∘．
∵PD⊥AB，
∴∠PEO=∠AEF=∠BEF=90∘，
∴∠EPO+∠COP=90∘，
∴∠C=∠EPO．
在 Rt△FEA 中，∠GAB=30∘，
∴ 设 EF=x，则 AE=EF÷tan30∘=3x．
在 Rt△FEB 中，tan∠BFE=33，
∴BE=EF×tan∠BFE=33x，
∴AB=AE+BE=43x，
∴AO=PO=23x，
∴EO=AO−AE=3x，
∴ 在 Rt△PEO 中，sin∠EPO=EOPO=12，
∴∠C=∠EPO=30∘．
（3） 如图 3，连接 BG，过点 O 作 OK⊥HB 于 K．
∵BQ⊥CP，
∴∠OPQ=∠BCQ=∠OKQ=90∘，
∴ 四边形 POKQ 为矩形，
∴QK=PO，OK∥CQ，
∴∠C=∠KOB=30∘．
∵⊙O 中，PD⊥AB 于 E，PD=63，AB 为 ⊙O 的直径，
∴PE=12PD=33，
根据（2）得，∠EPO=30∘，
在 Rt△EPO 中，cs∠EPO=PEPO，
∴PO=PEcs∠EPO=6，
∴OB=QK=PO=6，
∴ 在 Rt△KOB 中，sin∠KOB=KBOB，
∴KB=OB⋅sin30∘=3，
∴QB=9．
在 △ABG 中，AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠AGB=90∘．
∵∠BAG=30∘，
∴BG=6，∠ABG=60∘．
根据三角形的余弦定理可得：QG=319．
∵∠ABG=∠CBQ=60∘，
∴QMGM=QBGB=32，
∴QM=9195．
27. （1） 把 x=0 代入 y=−x+3，得 y=3，
∴C0,3，
∵ 抛物线 y=x2+bx+c 经过 B3,0，C0,3，
∴9+3b+c=0,c=3, 解得 b=−4,c=3,
∴ 抛物线解析式为 y=x2−4x+3．
（2） 如图 1，
令 y=0，即 x2−4x+3=0，解得 x1=1，x2=3，
∴A 点坐标为 1,0，
∴OA=1，
∵C 点坐标为 0,3，
∴OC=3，
∴tan∠ACO=OAOC=13，
∵B3,0，C0,3，
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45∘，
∵PK∥y 轴，
∴∠OCB=∠BHP=∠QHK=45∘，
∵PK∥y 轴，QK∥x 轴，
∴∠PKQ=90∘，
∴∠QHK=∠HQK=45∘，
∴QK=HK=t，
∵PQ∥AC，
∴∠ACB=∠BQP，
∵∠OCB=∠BHP，
∴∠OCB−∠ACB=∠BHP−∠BQP，即 ∠ACO=∠QPK，
∴tan∠QPK=tan∠ACO=13，
∵tan∠QPK=QKPK=13，
∴PK=3QK=3t，
∵PH=PK−HK，
∴d=3t−t=2t．
（3） 如图 2，延长 ON 交 QL 于点 D，延长 RT 交直线 AC 于点 F，过点 D 作 DE⊥x 轴，垂足为 E，延长 QK 交 DE 于点 G，
∵PTPK=PRPQ=RTQK=1010，
∵PK=3t，QK=t，
∴PQ=QK2+PK2=10t，
∴PT3t=PR10t=RTt=1010，
∴PT=31010t，PR=t，RT=1010t，
∵PH=2t，
∴RH=t，
∵∠RHB=∠CBO=45∘，
∴RH=BR=t，OR=3−t，
∴P3−t,t，
将 P 点坐标代入 y=x2−4x+3 中得，3−t2−43−t+3=t，
解得 t1=0（舍去），t2=1，
∴PR=1，RT=1010，QK=1，PK=3，PT=31010，PQ=10，
QT=PQ−PT=71010，P2,−1，R2,0，AR=1，
∵PQ∥AC，
∴∠RTQ=∠RFA=90∘，
∴∠ARF+∠PRF=90∘，∠P+∠PRF=90∘，
∴∠ARF=∠P，
∴tan∠ARF=tanP=13，
∵AR=1，
∴RF=31010AR=31010，
∴FT=RF−RT=105，
由题意知，四边形 FTMN 是矩形，
∴MN=FT=105，
由旋转知，QT=QL=71010，∠LQT=90∘，
∵∠QMN=90∘，
∴∠QMN=∠LQT，
∴QL∥MN，
∵ON∥ML，
∴ 四边形 DNML 是平行四边形，
∴MN=DL=105，DQ=QL−DL=102，
∵∠LQT=90∘，
∴∠DQG+∠PQK=90∘，
∵∠PKQ=90∘，∠P+∠PQK=90∘，
∴∠DQG=∠P，
∴tan∠DQG=tanP=13，
∵DQ=102，
∴DG=12，QG=32，
由题意知四边形 KREG 为矩形，
∴KR=EG=2，
∴RE=KG=QG−QK=32−1=12，
∴DE=DG+EG=12+2=52，OE=OR+RE=2+12=52，
∴D52,52，
设直线 OD 的解析式为 y=k1x，
将 D52,52 代入得 52k1=52，解得 k1=1，
∴ 直线 OD 的解析式为 y=x，
设直线 AC 的解析式为 y=k2x+b2，
将 A1,0，C0,3 代入得 k2+b2=0,b2=3, 解得 k2=−3,b2=3,
∴ 直线 AC 的解析式为 y=−3x+3，
令 y=x,y=−3x+3, 解得 x=34,y=34,
∴N 点坐标为 34,34．