2018年广东省深圳市南山区育才二中中考一模数学试卷（期末）

这是一份2018年广东省深圳市南山区育才二中中考一模数学试卷（期末），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −2 的相反数是
A. 2B. 12C. −12D. −2

2. 国家提倡“低碳减排”，湛江某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为 213000000 度，若将数据 213000000 用科学记数法表示为
A. 213×106B. 21.3×107C. 2.13×108D. 2.13×109

3. 下列运算正确的是
A. m⋅m=2mB. m23=m6C. mn3=mn3D. m6÷m3=m2

4. 以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图，小聪把一块含有 60∘ 角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得 ∠1=25∘，则 ∠2 的度数是
A. 25∘B. 30∘C. 35∘D. 60∘

6. 某鞋店试销一款女鞋，试销期间对不同颜色鞋的销售情况统计如表：
颜色黑色棕色白色红色销售量双60501015
鞋店经理最关心的是哪种颜色的鞋最畅销，则对鞋店经理最有意义的统计量是
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差

7. 如图所示的几何体的俯视图是
A. B.
C. D.

8. 中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2016 年人均年收入 300 美元，预计 2018 年人均年收入将达到 950 美元，设 2016 年到 2018 年该地区居民人均年收入平均增长率为 x，可列方程为
A. 3001+x%2=950B. 3001+x2=950
C. 3001+2x=950D. 3001+x2=950

9. 把不等式组 −x≤−1,x+1>0 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是
A. B.
C. D.

10. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AB=8，AC=4，以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径画弧，分别交 AB，AC 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，大于 EF 长为半径画弧，两弧交于点 G，作射线 AG，交 BC 于点 D，则 D 到 AB 的距离为
A. 2B. 4C. 433D. 233

11. 抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 D−1,2，与 x 轴的一个交点 A 在点 −3,0 和 −2,0 之间，其部分图象如图，则以下结论：① b2−4ac<0；② a+b+c<0；③ c−a=2；④ 方程 ax2+bx+c−2=0 有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

12. 在边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 为 AB 上的一动点，E 为 AD 中点，PE 交 CD 延长线于 Q，过 E 作 EF⊥PQ 交 BC 的延长线于 F，则下列结论：① △APE≌△DQE；② PQ=EF；③当 P 为 AB 中点时，CF=2；④若 H 为 QC 的中点，当 P 从 A 移动到 B 时，线段 EH 扫过的面积为 12，其中正确的是
A. ①②B. ①②④C. ②③④D. ①②③

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：ax2−ay2= ．

14. 某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为 ．

15. 如图，大楼 AB 的底部右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30∘，测得大楼顶端 A 的仰角为 45∘（点 B，C，E 在同一水平直线上），已知 AB=80 m，DE=10 m，则障碍物 B，C 两点间的距离为 米．（结果保留根号）

16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴的负半轴，y 轴的正半轴上，点 B 在第二象限．将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使点 B 落在 y 轴上，得到矩形 ODEF，BC 与 OD 相交于点 M．若经过点 M 的反比例函数 y=kxx<0 的图象交 AB 于点 N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=12，则 BN 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：−3+2018−π0−13−1−3cs30∘．

18. 先化简，再求值：1+1x−1÷xx2−1，其中 x=−4．

19. 中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富．某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整．
（2）此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．

20. 某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：
（A，B两款汽车的销售单价保持不变）．
（1）求A，B两款汽车每辆售价分别多少万元?
（2）若A款汽车每辆进价为 8 万元，B款汽车每辆进价为 6 万元，公司预计用不多于 105 万元且不少于 99 万元的资金购进这两款汽车共 15 辆，有几种进货方案?
（3）为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金 a 万元，要使（2）中所有的方案获利相同，请确定 a 的取值，并说明理由．

21. 【探究函数 y=x+1x 的图象与性质】
（1）函数 y=x+1x 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）下列四个函数图象中，函数 y=x+1x 的图象大致是 ；
（3）对于函数 y=x+1x，求当 x>0 时，y 的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵x>0，
∴y=x+1x=x2+1x2=x−1x2+ ．
∵x−1x2≥0，
∴y≥ ．
（4）若函数 y=x2−5x+4xx>0，求 y 的取值范围．

22. 如图，AB 是圆 O 的弦，D 为半径 OA 的中点，过 D 作 CD⊥OA 交弦 AB 于点 E，交圆 O 于点 F，且 CE=CB．
（1）求证：BC 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 AF，BF，求 ∠ABF 的度数；
（3）如果 OA=3，求 AE⋅AB 的值．

23. 如图 1，抛物线 y=ax2−9ax−36aa≠0 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OC=53OA，点 P 是抛物线上的一个动点，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，交直线 BC 于点 D，连接 PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 2，当动点 P 只在第一象限的抛物线上运动时，连接 PB，试问 △PCB 的面积是否有最大值?如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．
（3）当点 P 在抛物线上运动时，将 △CPD 沿直线 CP 翻折，点 D 的对应点为点 Q，试问，四边形 CDPQ 是否能成为菱形?如果能，请直接写出点 P 的坐标；如果不能，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. B【解析】（A）原式=m2，故A错误；
（C）原式=m3n3，故C错误；
（D）原式=m3，故D错误．
4. C【解析】A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
5. C
【解析】∵ 直尺的两边互相平行，∠1=25∘，
∴∠3=∠1=25∘，
∴∠2=60∘−∠3=60∘−25∘=35∘．
6. B【解析】由于众数是数据中出现次数最多的数，鞋店经理最关心的是哪种颜色的鞋最畅销，即这组数据的众数．
7. D
8. D【解析】设 2016 年到 2018 年该地区居民年人均收入平均增长率为 x，
那么根据题意得 2018 年年收入为：3001+x2，
列出方程为：3001+x2=950．
9. A【解析】由 −x≤−1 解得 x≥1，
由 x+1>0 解得 x>−1，
不等式的解集是 x≥1，
在数轴上表示如图：
10. C
11. C【解析】①图象与 x 轴有两个交点，则 Δ=b2−4ac>0，①错．
②由题易知，图象与 x 轴的另一个交点在点 0,0 与点 1,0 之间，则当 x=1 时，a+b+c<0，② 对．
③ 图象对称轴为直线 x=−1，即 −b2a=−1，b=2a，代入 a−b+c=2 得，c−a=2，③对．
④将函数图象沿 y 轴向下移 2 个单位长度，得 y=ax2+bx+c−2 的图象，易知该图象与 x 轴只有一个交点，即 ax2+bx+c−2=0 有两个相等的实数根，④对．
12. B【解析】① ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90∘，
∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，
∴△AEP≌△DEQ，故①正确；
②作 PG⊥CD 于 G，EM⊥BC 于 M，
∴∠PGQ=∠EMF=90∘，
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF=90∘，
∴∠PEN+∠NEF=90∘，
∵∠NPE+∠NEP=90∘，
∴∠NPE=∠NEF，
∵PG=EM，
∴△EFM≌△PQG，
∴EF=PQ，故②正确；
③连接 QF，则 QF=PF，PB2+BF2=QC2+CF2，
设 CF=x，则 2+x2+12=32+x2，
∴x=1，故③错误；
④当 P 在 A 点时，Q 与 D 重合，QC 的中点 H 在 DC 的中点 S 处，
当 P 运动到 B 时，QC 的中点 H 与 D 重合，
故 EH 扫过的面积为 △ESD 的面积 =12，故④正确．
第二部分
13. ax−yx+y
14. 512
15. 70−103
【解析】过 D 作 DF⊥AB，交 AB 于点 F，过 C 作 CG⊥DF，交 DF 于点 G，
可得四边形 FBED 与四边形 CGDE 为矩形，
∴FB=CG=DE=10 m，
∵AB=80 m，
∴AF=AB−FB=80−10=70 m，
在 Rt△AFD 中，tan45∘=AFFD=1，即 AF=FD=70 m，
在 Rt△CGD 中，tan30∘=CGDG，即 10DG=33，解得：DG=103 m，
∴BC=FG=FD−DG=70−103m．
16. 3
【解析】∵S矩形OABC=32，
∴AB⋅BC=32，
∵ 矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使点 B 落在 y 轴上，得到矩形 ODEF，
∴AB=DE，OD=OA，
在 Rt△ODE 中，tan∠DOE=DEOD=12，即 OD=2DE，
∴DE⋅2DE=32，解得 DE=4，
∴AB=4，OA=8，
在 Rt△OCM 中，
∵tan∠COM=MCOC=12，
而 OC=AB=4，
∴MC=2，
∴M−2,4，
把 M−2,4 代入 y=kx 得 k=−2×4=−8，
∴ 反比例函数解析式为 y=−8x，
当 x=−8 时，y=−8−8=1，则 N−8,1，
∴BN=4−1=3．
第三部分
17. 原式=3+1−3−3×32=1−32=−12.
18. 原式=x−1x−1+1x−1÷xx+1x−1=xx−1⋅x+1x−1x=x+1,
当 x=−4 时，
原式=−4+1=−3.
19. （1） 72
全年级总人数为 45÷15%=300（人），
“良好”的人数为 300×40%=120（人），
将条形统计图补充完整，如图所示：
【解析】360∘1−40%−25%−15%=72∘．
（2） 画树状图，如图所示：
共有 12 个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有 2 个，
∴P选中的两名同学恰好是甲、丁=212=16．
20. （1） 设A，B两款汽车每辆售价分别 x 万元和 y 万元；
由题意：
3x+y=35,x+3y=33,
解得
x=9,y=8,
答：A，B两款汽车每辆售价分别 9 万元和 8 万元．
（2） 设购进A款汽车 x 辆．
则：
99≤8x+615−x≤105.
解得：
4.5≤x≤7.5.∵x
的正整数解为 5，6，7．
∴ 共有 3 种进货方案．
（3） 设总获利为 W 万元，购进A款汽车 x 辆，则：
W=9−8x+8−6−a15−x=a−1x+30−15a.
当 a=1 时，（2）中所有方案获利相同．
21. （1） x≠0
【解析】∵y=x+1x，
∴x 的取值范围是 x≠0．
（2） C
【解析】∵ 函数 y=x+1x，
∴ 当 x>0 时，y>0，当 x<0 时，y<0．
（3） 2；2
（4） ∵x>0，
∴y=x2−5x+4x=x−5+4x=x−4+4x−1=x−2x2−1≥−1，
即 y 的取值范围是 y≥−1．
22. （1） 连接 OB．
∵CD⊥OA，
∴∠ADE=90∘，
∴∠DAE+∠AED=90∘，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵CE=CB，
∴∠CBE=∠CEB=∠AED，
∴∠ABO+∠CBE=90∘，
∴∠OBC=90∘，
∴OB⊥BC．
（2） 连接 OF．
∵AD=OD，FD⊥OA，
∴FA=FO=AO，
∴△AOF 是等边三角形，
∴∠AOF=60∘，
∴∠ABF=12∠AOF=30∘．
（3） 延长 AO 交 ⊙O 于 H，连接 BH．
∵AH 是直径，
∴∠ABH=∠ADE=90∘，
∵∠DAE=∠HAB，
∴△DAE∽△BAH，
∴ADAB=AEAH，
∴AE⋅AB=AD⋅AH=32×6=9．
23. （1） 当 y=0 时，ax2−9ax−36a=0，
解得 x1=−3，x2=12．
即 A−3,0，B12,0，
由 OC=53OA，得 −36a=53×3，
解得 a=−536，
故抛物线的解析式为：y=−536x2+54x+5．
（2） 如图 2，设 Pm,−536m2+54m+5，
∵ 直线 BC 经过 B12,0，C0,5，
设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，
则 12k+b=0,b=5, 解得：k=−512,b=5.
∴ 直线 BC 的解析式为：y=−512x+5，
则 Dm,−512m+5，PD=−536m2+53m，
S=12−536m2+53m×12，
S=−56m2+10m=−56m−62+30，
∴ 当 m=6 时，S最大=30．
（3） 点 P 的坐标为 215,195 或 995,−24710．
【解析】PD=CD，翻折后 PD=CD=CQ=PQ，PDCQ 是菱形．
设 Pn,−536n2+54n+5，则 Dn,−512n+5，
CD=n2+−512n2=1312n，
而 PD=−536n2+53n，
∵PD=CD，
−536n2+53n=1312n, ⋯⋯①
−536n2+53n=−1312n, ⋯⋯②
解方程 ① 得：n=215或0（不符合条件，舍去），
解方程 ② 得：n=995或0（不符合条件，舍去），
当 n=215 时，P215,195，
当 n=995 时，P995,−24710．
综上所述，存在这样的 Q 点，使得四边形 CDPQ 是菱形，此时点 P 的坐标为 215,195 或 995,−24710．