2018年江苏省南京市秦淮区中考一模数学试卷

这是一份2018年江苏省南京市秦淮区中考一模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 计算 −32 的结果是
A. 3B. −3C. 9D. −9

2. 据某数据库统计，仅 2018 年第一个月，区块链行业融资额就达到 680000000 元．将 680000000 用科学记数法表示为
A. 0.68×109B. 6.8×107C. 6.8×108D. 6.8×109

3. 下列计算正确的是
A. a3+a2=a5B. a10÷a2=a5C. a23=a5D. a2⋅a3=a5

4. 某校航模兴趣小组共有 30 位同学，他们的年龄分布如表：
年龄/岁13141516人数515■■
由于表格污损，15 和 16 岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是
A. 平均数、中位数B. 众数、中位数C. 平均数、方差D. 中位数、方差

5. 将二次函数 y=−x2 的图象向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得图象的函数表达式为
A. y=−x−22+3B. y=−x−22−3
C. y=−x+22+3D. y=−x+22−3

6. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的顶点坐标分别为 A3.6,a，B2,2，Cb,3.4，D8,6，则 a+b 的值为
A. 8B. 9C. 10D. 11

二、填空题（共10小题；共50分）
7. −3 的相反数是 ；−3 的倒数是 ．

8. 要使二次根式 x−1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

9. 计算 3×122 的结果是 ．

10. 方程 1x−2=3x 的根是 ．

11. 若关于 x 的一元二次方程的两个根 x1，x2 满足 x1+x2=3，x1x2=2，则这个方程是 ．（写出符合要求的方程）

12. 将函数 y=x 的图象绕坐标原点 O 顺时针旋转 90∘，所得图象的函数表达式为 ．

13. ⊙O 的半径为 10 cm，弦 AB∥CD，AB=12 cm，CD=16 cm，则 AB 与 CD 的距离为 ．

14. 在照明系统模拟控制电路实验中，研究人员发现光敏电阻值 R（单位：Ω）与光照度 E（单位：lx）之间成反比例函数关系，部分数据如表所示：
光照度光敏电阻阻值R/Ω603020151210
则光敏电阻值 R 与光照度 E 的函数表达式为 ．

15. 如图，在 △ABC 中，∠A=70∘，∠B=55∘，以 BC 为直径作 ⊙O，分别交 AB，AC 于点 E，F，则 EF 的度数为 ∘．

16. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，BE=13BC，连接 AE，作 BF⊥AE，分别与 AE，CD 交于点 K，F，G，H 分别在 AD，AE 上，且四边形 KFGH 是矩形，则 HGAB= ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 计算：1a−b−ba2−b2÷aa+b．

18. 解一元二次不等式 x2−4>0．
请按照下面的步骤，完成本题的解答．
解：x2−4>0 可化为 x+2x−2>0．
（1）依据“两数相乘，同号得正”，可得不等式组 ①x+2>0,x−2>0 或不等式组 ② ．
（2）解不等式组 ①，得 ．
（3）解不等式组 ②，得 ．
（4）一元二次不等式 x2−4>0 的解集为 ．

19. 已知关于 x 的一元二次方程 x−m2−2x−m=0（m 为常数）．
（1）求证：不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程一个根为 3，求 m 的值．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，∠ABC 的平分线交 AD 于点 F，连接 EF．求证：四边形 ABEF 是菱形．

21. 中国的茶文化源远流长，根据制作方法和茶多酚氧化（发酵）程度的不同，可分为六大类：绿茶（不发酵）、白茶（轻微发酵）、黄茶（轻发酵）、青茶（半发酵）、黑茶（后发酵）、红茶（全发酵）．春节将至，为款待亲朋好友，小叶去茶庄选购茶叶．茶庄有碧螺春、龙井两种绿茶，一种青茶——武夷岩茶及一种黄茶——银针出售．
（1）随机购买一种茶叶，是绿茶的概率为 ；
（2）随机购买两种茶叶，求一种是绿茶、一种是银针的概率．

22. 如图，甲、乙两人在一次射击比赛中击中靶的情况（击中靶中心“×”所在的圆面为 10 环，靶中各数字表示该数所在圆环被击中所得的环数），每人射击了 6 次．
（1）请选择适当的统计图描述甲、乙两人成绩；
（2）请你运用所学的统计知识做出分析，从两个不同角度评价甲、乙两人的打靶成绩．

23. 某商场在“双十一”促销活动中决定对购买空调的顾客实行现金返利．规定每购买一台空调，商场返利若干元．经调查，销售空调数量 y1（单位：台）与返利 x（单位：元）之间的函数表达式为 y1=x+800．每台空调的利润 y2（单位：元）与返利 x 的函数图象如图所示．
（1）求 y2 与 x 之间的函数表达式；
（2）每台空调返利多少元才能使销售空调的总利润最大?最大总利润是多少?

24. 一铁棒欲通过一个直角走廊．如图，是该铁棒紧挨着墙角 E 通过时的两个特殊位置：当铁棒位于 AB 位置时，它与墙面 OG 所成的角 ∠ABO=51∘18ʹ；当铁棒底端 B 向上滑动 1 m（即 BD=1 m）到达 CD 位置时，它与墙面 OG 所成的角 ∠CDO=60∘，求铁棒的长．（参考数据：sin51∘18ʹ≈0.780，cs51∘18ʹ≈0.625，tan51∘18ʹ≈0.248）

25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，AD 是 △ABC 的角平分线，以 D 为圆心，DC 为半径作 ⊙D，交 AD 于点 E．
（1）判断直线 AB 与 ⊙D 的位置关系并证明．
（2）若 AC=1，求 CE 的长．

26. 书籍开本有数学开本指书刊幅面的规格大小．如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到 2 开纸，再对折得到 4 开纸，以此类推可以得到 8 开纸，16 开纸 ⋯⋯
若这张矩形印刷用纸的短边长为 a．
（1）如图②，若将这张矩形印刷用纸 ABCDAB>BC 进行折叠，使得 BC 与 AB 重合，点 C 落在点 F 处，得到折痕 BE；展开后，再次折叠该纸，使点 A 落在 E 处，此时折痕恰好经过点 B，得到折痕 BG，求 ABBC 的值．
（2）如图③，2 开纸 BCIH 和 4 开纸 AMNH 的对角线分别是 HC，HM．说明 HC⊥HM．
（3）将图①中的 2 开纸，4 开纸，8 开纸和 16 开纸按如图④所示的方式摆放，依次连接点 A，B，M，I，则四边形 ABMI 的面积是 ．（用含 a 的代数式表示）

27. 【数学概念】若四边形 ABCD 的四条边满足 AB⋅CD=AD⋅BC，则称四边形 ABCD 是和谐四边形．
（1）【特例辨别】下列四边形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形．其中一定是和谐四边形的是 ．
（2）【概念判定】如图①，过 ⊙O 外一点 P 引圆的两条切线 PS，PT，切点分别为 A，C，过点 P 作一条射线 PM，分别交 ⊙O 于点 B，D，连接 AB，BC，CD，DA．求证：四边形 ABCD 是和谐四边形．
（3）【知识应用】如图②，CD 是 ⊙O 的直径，和谐四边形 ABCD 内接于 ⊙O，且 BC=AD．请直接写出 AB 与 CD 的关系．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. D
4. B
5. A
6. D
第二部分
7. 3，−13
8. x≥1
9. 32
10. x=3
【解析】去分母得 x=3x−2，
解得 x=3．
检验：当 x=3 时，xx−2≠0，x=3 是原方程的解．
所以原方程的解为 x=3．
11. x2−3x+2=0
12. y=−x
13. 14 cm 或 2 cm
14. R=30E
15. 40
16. 71030
【解析】∵BF⊥AE，
∴∠BKA=90∘，
∴∠ABK+∠BAK=90∘，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABE=∠ABK+∠CBF=90∘，AB=BC，
∴∠CBF=∠BAK，
∵∠ABE=∠BCF=90∘，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，
∵BE=13BC，
∴FC=13BC，
∴tan∠FBC=FCBC=EKBK=13，
设 EK=x，则 BK=3x，则 BE=10x=CF，
∴FK=10x−3x=7x，BC=310x，
∵ 四边形 KFGH 是矩形，
∴GH=FK=7x，
∴GHAB=7x310x=71030．
第三部分
17. 1a−b−ba2−b2÷aa+b=a+ba+ba−b−ba+ba−b÷aa+b=aa+ba−b⋅a+ba=1a−b.
18. （1） x+2<0,x−2<0
（2） x>2
（3） x<−2
（4） x>2 或 x<−2
19. （1） 原方程可化为 x2−2m+2x+m2+2m=0，
∵a=1，b=−2m+2，c=m2+2m，
∴Δ=b2−4ac=−2m+22−4m2+2m=4>0，
∴ 不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2） 将 x=3 代入原方程，得：3−m2−23−m=0，
解得：m1=3，m2=1．
∴m 的值为 3 或 1．
20. ∵∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，
∴∠BAE=∠EAF，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
同理，AB=AF，
∴BE=AF．
∵AD∥BC，
∴ 四边形 ABEF 是平行四边形，
∵AB=BE，
∴ 平行四边形 ABEF 是菱形．
21. （1） 12
【解析】随机购买一种茶叶，是绿茶的概率 =24=12．
（2） 画树状图为：（分别用 A，B，C，D 表示碧螺春、龙井、武夷岩、银针）
共有 12 种等可能的结果数，其中满足“一种是绿茶、一种是银针”的结果数为 4，
∴ 一种是绿茶、一种是银针的概率 =412=13．
22. （1） 如图所示：
环数678910甲命中的环数222乙命中的环数132
（2） 答案不唯一，
如从数据的集中程度——平均数看，
x甲=10+10+9+9+8+86=9（环）；
x乙=10+10+9+9+9+76=9（环）．
∵x甲=x乙，
∴ 两人成绩相当．
从数据的离散程度——方差看，
s甲2=10−92+10−92+9−92+9−92+8−92+8−926=23；
s乙2=10−92+10−92+9−92+9−92+9−92+7−926=1；
∵s甲 ∴ 乙比甲成绩稳定，乙的成绩较好．
23. （1） 设 y2=kx+b．
根据题意，得：200k+b=160,b=200.
解得：k=−15,b=200,
所以 y2=−15x+200．
（2） 设该商场销售空调的总利润为 w 元．
根据题意，得 w=x+800−15x+200=−15x−1002+162000，
当 x=100 时，w 的值最大，最大值是 162000．
所以商场每台空调返利 100 元时，总利润最大，最大总利润为 162000 元．
24. 设铁棒的长为 x m．
在 Rt△COD 中，cs∠CDO=ODCD，
∴OD=12x，
在 Rt△AOB 中，cs∠ABO=OBAB，
∴0.625x=1+12x，
解这个方程，得 x=8，
答：铁棒的长为 8 m．
25. （1） AB 与 ⊙D 相切，
证明：过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F，

∵AD 是 Rt△ABC 的角平分线，∠C=90∘，
∴DF=DC，
∴AB 与 ⊙D 相切．
（2） 设 CD=DF=R，
∵∠C=90∘，AC=BC=1，
∴∠BAC=∠B=45∘，AB=2．
∵DF⊥AB，
∴∠BDF=∠B=45∘，
∴BF=DF=R，
∵AB，AC 分别与 ⊙D 相切，
∴AF=AC=1，
∵∠C=∠AFD=90∘，∠FAD=∠CAD（角平分线定义），
∴∠CDA=∠FAD=12180∘−45∘=67.5∘，
在 Rt△BFD 中，由勾股定理得：BD2=BF2+DF2，
即 1−R2=R2+R2，解得：R=2−1 或 R=−2−1（舍），即 DC=2−1，
∴CE 的长是 67.5π×2−1180=32−38π．
26. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠C=90∘．
∵ 第一次折叠使点 C 落在 AB 上的 F 处，并使折痕经过点 B，
∴∠CBE=∠FBE=45∘，
∴∠CBE=∠CEB=45∘，
∴BC=CE=a，BE=2a．
∵ 第二次折叠纸片，使点 A 落在 E 处，得到折痕 BG，
∴AB=BE=2a，
∴ABBC=2．
（2） 根据题意和（1）中的结论，有 AH=BH=22a，AM=12a．
∴AMBH=AHBC=22．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=∠B=90∘，
∴△MAH∽△HBC，
∴∠AHM=∠BCH．
∵∠BCH+∠BHC=90∘，
∴∠AHM+∠BHC=90∘，
∴∠MHC=90∘，
∴HC⊥HM．
（3） 27232a2
【解析】如图④，
根据题意和（1）中的结论，有 BC=AD=22a，AF=IG=12a，NI=MP=24a，OP=14a，
又 ∵∠C=∠ADE=90∘，∠BEC=∠AED，
∴△BCE≌△ADE，
∴S△BCE=S△ADE，同理可得，S△AFH=S△IGH，S△INQ=S△MPQ，
∴四边形ABMI的面积=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC=12a×22a+24a×12a+1224a+22aa+14a=27232a2.
27. （1） ③④
【解析】如图 1，
若平行四边形 ABCD 为和谐四边形，则 AB⋅CD=AD⋅BC，
∵AB=CD，AD=BC，
∴AB2=BC2，即 AB=CD，
则平行四边形 ABCD 为菱形；
若矩形 PQMN 为和谐四边形，
则 PQ⋅MN=PN⋅QM，
∵PQ=MN，PN=QM，
∴PQ2=QM2，即 PQ=MN，
则矩形 PQMN 是正方形；
∴ 一定是和谐四边形的是菱形和正方形．
（2） 如图 2，连接 CO 并延长，交 ⊙O 于点 E，连接 BE，
∵PT 是 ⊙O 的切线，切点为 C，
∴∠PCE=90∘．
∴∠PCB+∠ECB=90∘．
∵CE 是 ⊙O 的直径，
∴∠CBE=90∘．
∴∠BEC+∠ECB=90∘．
∴∠BEC=∠PCB．
又 ∵∠BEC=∠BDC，
∴∠PCB=∠BDC．，
又 ∵∠BPC=∠CPD，
∴△PBC∽△PCD，
∴CBCD=PCPD．
同理：ABAD=PAPD．
∵PA，PC 为 ⊙O 的切线，
∴PA=PC，
∴CBCD=ABAD．
∴AB⋅CD=AD⋅BC．
∴ 四边形 ABCD 是和谐四边形．
（3） AB∥CD 且 CD=3AB．
【解析】如图 3，连接 BD，作 BE⊥CD 于点 E，
∵BC=AD，
∴BC=AD，
∴∠CDB=∠ABD，
则 AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形，
设 BC=AD=a，AB=x，CD=y，
则 CE=CD−AB2=y−x2，
∵CD 为 ⊙O 的直径，
∴∠CBD=∠CEB=90∘，
又 ∠C=∠C，
∴△CBE∽△CDB，
则 CBCD=CECB，即 BC2=CD⋅CE，
∴a2=y⋅y−x2，
∵ 四边形 ABCD 是和谐四边形，
∴AB⋅CD=BC⋅AD，即 a2=xy，
∴y⋅y−x2=xy，
解得 y=3x，即 CD=3AB，
综上，AB∥CD 且 CD=3AB．