2018年江苏省无锡市梁溪区中考二模数学试卷

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这是一份2018年江苏省无锡市梁溪区中考二模数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 2 的相反数是
A. 2B. −2C. 2D. 12

2. 化简 a3⋅a2 的结果是
A. aB. a6C. a5D. a9

3. 若 aA. a−2c>b−2cB. a−2c≥b−2c
C. a−2c
4. 要使分式 1x−2 有意义，则字母 x 的取值范围是
A. x≠0B. x<0C. x>2D. x≠2

5. 关于二次函数 y=x−22+1 的图象，下列结论中不正确是
A. 对称轴为直线 x=2B. 抛物线的开口向上
C. 与 x 轴没有交点D. 与 y 轴交于点 0,1

6. 在“等腰三角形、正方形、正五边形、圆”这四个几何图形中，是中心对称图形的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

7. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等
C. 对角线互相平分D. 邻边相等

8. 在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，AE⊥BD 于点 E，CF⊥BD 于点 F，则图中的全等三角形共
A. 5 对B. 6 对C. 7 对D. 8 对

9. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，AE=BF=1，动点 P 从点 E 出发沿直线向点 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，经过若干次反弹，当动点 P 第一次回到点 E 时，动点 P 所经过的路程长为
A. 410B. 8+410C. 810D. 8+610

10. 如图，Rt△ABC 内接于 ⊙O，BC 为直径，AB=4，AC=3，D 是 AB 的中点，CD 与 AB 的交点为 E，则 CEDE 等于
A. 4B. 3.5C. 3D. 2.8

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 今年全市参加中考的考生数约 45000 人，这个数据用科学记数法可表示为人．

12. 分解因式：3x2−27= ．

13. 方程 1x−2=2x+1 的解为．

14. 一次函数 y=2x−4 的图象与 x 轴的交点坐标为．

15. 已知反比例函数 y=k−2x，当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小，那么 k 的取值范围是．

16. 若圆锥的底面半径为 3 cm，母线长为 4 cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留 π）

17. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6 cm，AD=9 cm，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，若 △ABE 的面积为 82 cm2，则 EF+CF 的长为 cm．

18. 如图，以直角坐标系原点 O 为圆心作圆，交 x 轴正半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 C，正比例函数 y=kxk>0 的图象与 ⊙O 分别交于点 B，D，若 A2,0，则四边形 ABCD 面积的最大值为．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算．
（1）π−30+2sin45∘−18−1；
（2）2a+1−3−a3+a−a−12．

20. 回答下列问题：
（1）解方程：x2−4x−3=0．
（2）解不等式组：x−3x−2≤4,1+2x3>x−1.

21. 如图，四边形 ABCD 为矩形，PB=PC，求证：PA=PD．

22. 在一个综艺节目中，主持人和两位嘉宾做一个互动游戏，在台上放置了四扇一样的门，门后各放有一张个人照，其中有两扇门后分别是两位嘉宾的个人照，现在主持人随机请一位嘉宾去随机开启一扇门，求恰好拿到这位嘉宾本人的个人照的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

23. 为了解某校九年级学生体育考试成续情况，现从中随机抽取部分学生的体育考试成绩制作出如下两张不完整的统计图表，其中扇形统计图中的圆心角 α 为 36∘．
九年级学生体育考试成绩统计表
考试成绩分人数人百分比2627m2881629243015
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）m= ；抽取的部分学生体育考试成绩的中位数为；
（2）已知该校九年级共有 500 名学生，如果体育考试成绩达 28 分（含 28 分）为优秀，请估计该校九年级学生体育考试成绩达到优秀的总人数．

24. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径 ∠BAC=2∠B，⊙O 的切线 AP 与 OC 的延长线相交于点 P，若 PA=3，求 AC 的长．

25. 某批发商以 70 元/千克的成本价购入了某畅销产品 1000 千克，该产品每天的保存费用为 300 元，而且平均每天将损耗 30 千克，据市场预测，该产品的销售价 y（元/千克）与时间 x（天）之间函数关系的图象如图中的折线段 ABC 所示．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）为获得最大销售利润，该批发商应该在进货后第几天将这批产品一次性卖出?最大销售利润是多少?

26. 如图，已知二次函数 y=x2−2x+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，图象的顶点为 D，连接 AC，BD，并延长交于点 E．
（1）若 AC:AE=5:8，BD:BE=5:6，求二次函数的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，求 ∠E 的度数．

27. 如图 1，矩形 ABCD，AB=15，AD=20，∠AEB=90∘，BE=9．
（1）将 △ABE 沿对角线 BD 方向平移，当点 E 恰好落在矩形的边上时，请直接写出此时 △ABE 平移的距离；
（2）如图 2，将 △ABE 绕点 B 顺时针旋转 a∘0∘
28. 如图 1，四边形 ABCD 中，AD∥BC，我们知道，取 DC 边的中点 E，连 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F，显然有 △ADE≌△FCE，则 S四边形ABCD=S△ABF，请你根据以上结论解决下面的问题．
（1）如图 2，已知锐角 ∠AOB 内有一定点 P，过点 P 作一条直线 MN，使得 MN 分别交射线 OA，OB 于点 M，N．将直线 MN 绕着点 P 旋转，请问当直线 MN 在什么位置时，△MON 的面积最小，并说明理由．
（2）如图 3，在直角坐标系中，O0,0，A5,0，B5,3，C3,6，过点 P3,2 的直线 l 与四边形 OABC 的一组对边相交，将它分成两个四边形，求其中以点 O 为顶点的四边形的面积的最大值．
答案
第一部分
1. B【解析】2 的相反数是 −2．
2. C【解析】a3⋅a2=a5．
3. C【解析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变．
4. D【解析】要使分式有意义，则 x−2≠0，解得 x≠2．
5. D
【解析】A．对称轴是直线 x=2，故本选项不符合题意；
B．a=1>0，抛物线的开口向上，故本选项不符合题意；
C．y=x−22+1 的最小值是 y=1，开口向上，
∴ 抛物线与 x 轴没有交点，故本选项不符合题意；
D．当 x=0 时，y=5，
∴ 与 y 轴交于点 0,5，故本选项符合题意．
6. B【解析】等腰三角形，不是中心对称图形；
正方形，是中心对称图形；
正五边形，不是中心对称图形；
圆，是中心对称图形；
综上可得符合题意的有 2 个．
7. B【解析】∵ 矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；
菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
∴ 矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
8. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=BC，
在 △ABD 和 △CDB 中，
AD=CB,AB=CD,BD=DB,
∴△ABD≌△CDB，
同理：△ABC≌△CDA；
在 △AOD 和 △COB 中，
OA=OC,∠AOD=∠COB,OD=OB,
∴△AOD≌△COB，
同理：△AOB≌△COD，
∴∠ABO=∠CDO，
∵CF⊥BD，AE⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90∘，∠AEB=∠CFD=90∘，
在 △AOE 和 △COF 中，
∠AEO=∠CFO,∠AOE=∠COF,OA=OC,
∴△AOE≌△COF，
在 △ABE 和 △CDF 中，
∠AEB=∠CFD,∠ABO=∠CDO,AB=CD,
∴△ABE≌△CDF．
同理：△ADE≌△CBF．
9. C【解析】根据已知中的点 E，F 的位置，可知入射角的正切值为 13，第一次碰撞点为 F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，
第二次碰撞点为 G，在 DA 上，且 DG=16DA，
第三次碰撞点为 H，在 DC 上，且 DH=13DC，
第四次碰撞点为 M，在 CB 上，且 CM=13BC，
第五次碰撞点为 N，在 DA 上，且 AN=16AD，
第六次回到 E 点，AE=13AB，
由勾股定理可以得出 EF=10，FG=3102，GH=102，HM=5，MN=3102，NE=102，
故小球经过的路程为：10+3102+102+10+3102+102=810．
10. C
【解析】连接 DO，交 AB 于点 F．
∵D 是 AB 的中点，
∴DO⊥AB，AF=BF，
∵AB=4，
∴AF=BF=2，
∴FO 是 △ABC 的中位线，AC∥DO，
∵BC 为直径，AB=4，AC=3，
∴BC=5，FO=12AC=1.5，
∴DO=2.5，
∴DF=2.5−1.5=1，
∵AC∥DO，
∴△DEF∽△CEA，
∴CEDE=ACFD，
∴CEDE=31=3．
第二部分
11. 4.5×104
【解析】45000 人，这个数据用科学记数法可表示为 4.5×104 人．
12. 3x+3x−3
【解析】3x2−27=3x2−9=3x+3x−3．
故答案为：3x+3x−3．
13. x=5
【解析】方程两边都乘以 x−2x+1 得，x+1=2x−2，
解得 x=5，
检验：当 x=5 时，x−2x+1=5−2×5+1=18≠0，
∴x=5 是方程的解，
∴ 原分式方程的解是 x=5．
14. 2,0
【解析】令 y=0，得 x=2；
∴ 图象与 x 轴交点坐标是 2,0．
15. k>2
【解析】∵ 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 反比例函数图象在第三象限有一支，
∴k−2>0，解得 k>2．
16. 12π
【解析】底面圆的半径为 3，则底面周长 =6π，
侧面面积 =12×6π×4=12π cm2．
17. 5
【解析】作 FH⊥BC 于 H．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD=6，AD=BC=9，AB∥DF，
∴△ABE∽△CFE，∠BAF=∠CFE，
∵∠BAF=∠DAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DA=DF=9，同法可证 AB=BE=6，
∴CF=CE=3
∴S△ABES△CFE=CFAB2=14，
∵△ABE 的面积为 82 cm2，
∴△CEF 的面积为 22，
∴12×3×FH=22，
∴FH=423，
在 Rt△CFH 中，CH=32−4232=73，
∴EH=23，
在 Rt△EFH 中，EF=232+4232=2，
∴EF+CF=2+3=5．
18. 42
【解析】连接 AC，如图所示：
∵A2,0，
∴OA=2，
∴OC=OA=2，BD=2OA=4，
∵∠AOC=90∘，
∴△AOC 是等腰直角三角形，
∴AC=2OA=22，
当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 的面积最大 =12AC×BD=12×22×4=42；
故答案为：42．
第三部分
19. （1）原式=1+2−8=2−7.
（2）原式=2a+2−9+a2−a2+2a−1=4a−8.
20. （1）
x2−4x=3.x2−4x+4=7.x−22=7.x=2±7.
（2）由 x−3x−2≤4，解得
x≥1.
由 1+2x3>x−1，解得
x<4.∴
不等式组的解集为：
1≤x<4.
21. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90∘，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
∴△ABP≌△DCPSAS，
∴PA=PD．
22. 设两位嘉宾为 A，B，四张个人照分别为 A，B，C，D，
画树状图如下：
由树状图可知共有 8 种等可能结果，其中恰好拿到这位嘉宾本人的个人照的有 2 种结果，
∴ 恰好拿到这位嘉宾本人的个人照的概率为 28=14．
23. （1） 10；29 分
【解析】∵ 被调查的总人数为 8÷16%=50 人，
∴29 分的人数为 50×24%=12 人，
26 分的人数为 50×36360=5 人，
则得 27 分的人数为 50−5+8+12+15=10 人，
抽取的部分学生体育考试成绩的中位数为 29+292=29 分．
（2）估计该校九年级学生体育考试成绩达到优秀的总人数为 500×8+12+1550=350 人．
24. ∵AB 是 ⊙O 的直径，AP 是 ⊙O 的切线，
∴∠BCA=∠BAP=90∘，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠BAC=60∘，
∵OA=OC，
∴△AOC 为等边三角形，
∴∠AOC=60∘，
在 Rt△AOP 中，OA=PAtan∠AOP=1，
∴AC=OA=1．
25. （1）当 0≤x≤20，把 0,100 和 20,160 代入 y=kx+b 得
100=b,160=20k+b.
解得：k=3,b=100.
∴y=3x+100，
当 20≤x≤40 时，y=160，
故 y 与 x 之间的函数关系式是 y=3x+100,0≤x≤20160,20 （2）设到第 x 天出售，批发商所获利润为 w，由题意得：
①当 0≤x≤20，w=y−701000−30x−300x，
由（1）得 y=3x+100，
∴w=3x+100−701000−30x−300x=−90x−102+39000，
∵a=−90<0，
∴ 函数有最大值，当 x=10 时，利润最大为 39000 元，
②当 20由（1）得 y=160，
∴w=160−701000−30x−300x=−3000x+90000．
∵−3000<0，
∴ 函数有最大值，当 x=20 时，利润最大为 30000 元，
∵39000>30000，
∴ 当第 10 天一次性卖出时，可以获得最大利润是 39000 元．
26. （1）作 EF⊥x 轴于 F，DG⊥x 轴于 G，如图 1，
当 x=0 时，y=x2−2x+c=c，则 C0,c，
∴OC=−c，
∵y=x−12+c−1，
∴D1,c−1，
∴GD=1−c，
∵OC∥EF，
∴OCEF=ACAE=58，
∴EF=−85c，
同理可得 EF=651−c，
∴−85c=651−c，
解得 c=−3，
∴ 抛物线解析式为 y=x2−2x−3．
（2）连接 BC，CD，如图 2，
当 y=0 时，x2−2x−3=0，
解得 x1=−1，x2=3，
则 A−1,0，B3,0，
而 C0,−3，D1,−4，
∴BC=32+32=32，CD=12+−4+32=2，
BD=3−12+42=25，
∵BC2+CD2=BD2，
∴△BCD 为直角三角形，∠BCD=90∘，
∵CDOA=2，BCOC=2，
∴CDOA=BCOC，
而 ∠BCD=∠AOC，
∴△BCD∽△COA，
∴∠ACO=∠DBC，
∵∠ACB=∠E+∠CBE，
∴∠OCB+∠E，
而 △OCB 为等腰直角三角形，
∴∠E=∠OCB=45∘．
27. （1）当点 E 平移到 AD 上，平移距离为 16．
【解析】如图 1，作 EG∥BD，交 AB，AD 于 F，G，作 EH⊥AB．
∵BE=9，AB=15，∠AEB=90∘，
∴AE=12，
∵AB=15，AD=20，∠BAD=90∘，
∴BD=25，
∵AEAD=BEAB=43，∠AEB=∠BAD=90∘，
∴△ABE∽△ABD，
∴∠ABE=∠ABD，
∵EG∥BD，
∴∠EFB=∠ABD，
∴∠BFE=∠EBA，
∴EF=BE=9，
∴ 当点 E 平移到 AB 上时，平移距离为 9，
∵S△AEB=12×AE×BE=12AB×EH，
∴EH=365 且 BE=9，
∴BH=275，
∵BE=EF，EH⊥AB，
∴FH=BH=275，
∴AF=215，
∵EG∥BD，
∴FGBD=AFAB，
∴FG=7，
∴EG=16，
∴ 当点 E 平移到 AD 上，平移距离为 16．
（2）如图 2，当 PD=DQ，
∵△ABE∽△ABD，
∴∠BAE=∠ADB，
∵ 将 △ABE 绕点 B 顺时针旋转 a∘ 得到 △AʹBEʹ，
∴∠EʹAʹB=∠EAB，AB=AʹB=15，BE=BEʹ=9，
∴∠EʹAʹB=∠ADB，
∴∠BAʹQ=∠ADQ，且 ∠Q=∠Q，
∴△PDQ∽△BAʹQ，
∴∠QPD=∠AʹBQ，
∵PD=DQ，
∴∠Q=∠DPQ，
∴∠Q=∠AʹBQ，
∴AʹQ=AʹB=15，
∴EʹQ=27，
∴ 根据勾股定理得：BQ=910，
∴DQ=BQ−BD=910−25，
当 PQ=DQ，如图 3，
∵PQ=DQ，
∴∠QDP=∠QPD 且 ∠BAʹEʹ=∠QDP，
∴∠DPQ=∠BAʹEʹ，
∴BAʹ∥PE 且 AD∥BC，
∴BAʹ 与 BC 重合，
∵PD∥BAʹ，
∴∠PDQ=∠QBAʹ，
∴∠QBAʹ=∠PAʹB，
∴BQ=AʹQ，
设 BQ=a，
∴EʹQ=12−a，
∴a2=92+12−a2，
∴a=22524，
∴DQ=BD−BQ=1258，
当 PD=DQ 时，如图 4，
∵PD=DQ，
∴∠DPQ=∠DQP，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，∠DPQ=∠BFP，
∴∠BFP=∠DQP=∠BQF，
∴BF=BQ，且 ∠BEʹF=90∘，
∴QEʹ=FEʹ，
∵ 旋转，
∴∠ADB=∠BAʹP，
∴∠BAʹP=∠DBC 且 ∠BQF=∠BQF，
∴△ABQ∽△BQF，
∴BQQF=AʹQBQ，
∴BQ2=2EʹF×12+EʹQ=24EʹF+2EʹF2．
∵ 在 Rt△BEʹF，BF2=EʹF2+BEʹ2，
∴BQ2=EʹF2+81，
∴2EʹF2+24EʹF=EʹF2+81，
∴EF=3，
∴BQ=310，
∴DQ=25−310，
当 PQ=PD 时，如图 5，
∵PD=PQ，
∴∠PDQ=∠PQD=∠AʹQB，且 ∠BAʹQ=∠ADB，
∴∠BAʹQ=∠BQAʹ，
∴BQ=BAʹ=15，
∴DQ=10，
∴DQ 的长度可能为 910−25，1258，25−310，10．
28. （1）如图 2，
当直线旋转到 PM=PN 时，S△MON 最小，
理由：设过点 P 的另一条直线 EF 交 OA，OB 于点 E，F，
设 PF由题目结论可得 S四边形MOFG=S△MON，
∵S四边形MOFG ∴S△MON ∴ 当 PM=PN 时，S△MON 最小．
（2） ①如图 3，过点 P 的直线 l 与 OC，AB 分别交于点 M，N，延长 OC，AB 交于点 D，
当 PM=PN 时，△MND 的面积最小，
∴ 四边形 OANM 的面积最大，
设直线 OC 的解析式为 y=kx，把 C3,6 代入，可得 k=2，
∴y=2x，
∵P3,2，N 的横坐标为 5，
∴M 的横坐标为 1，
∴M1,2，N5,2，
∴S四边形OANM=124+5×2=9；
②如图 4，过点 P 的直线 l 与 CB，OA 分别交于 M，N，延长 CB 交 x 轴于点 T，
当 PM=PN 时，△MNT 的面积最小，
∴ 四边形 ONMC 的面积最大，
设直线 BC 的解析式为 y=kʹx+b，把 C3,6，B5,3 代入，可得 kʹ=−32，b=212，
∴y=−32x+212，
∴T7,0，
∵P3,2，N 的纵坐标为 0，
∴M 的纵坐标为 4，
∴M133,4，N53,0，
∴S四边形ONMC=S△OTC−S△NTM=313，
∵313>9，
∴ 以点 O 为顶点的四边形的面积的最大值为 313．