2018年江苏省无锡市惠山区中考二模数学试卷

这是一份2018年江苏省无锡市惠山区中考二模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −3 的绝对值是
A. 3B. −3C. 13D. −13

2. 下列计算正确的是
A. 2a+3b=5abB. a−b2=a2−b2
C. 2x23=6x6D. x8÷x3=x5

3. 下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 如果一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，那么这个多边形是
A. 四边形B. 六边形C. 八边形D. 十边形

5. 已知 a−b=1，则代数式 2a−2b−3 的值是
A. −1B. 1C. −5D. 5

6. 为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小敏随机调查了 15 名同学，结果如表：
每天使用零花钱单位:元12345人数25431
则这 15 名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是
A. 3，3B. 2，2C. 2，3D. 3，5

7. 在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=1，BC=2，则 csA 的值是
A. 12B. 5C. 55D. 255

8. 将一副直角三角尺如图放置，若 ∠BOC=160∘，则 ∠AOD 的大小为
A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘

9. 如图，在菱形 ABCD 中，tan∠ABC=43，P 为 AB 上一点，以 PB 为边向外作菱形 PMNB，连接 DM，取 DM 中点 E，连接 AE，PE，则 AEPE 的值为
A. 23B. 33C. 12D. 34

10. 如图，△ABC 中，∠C=90∘，D 是 BC 边上一点，∠ADC=3∠BAD，BD=8，DC=7．则 AB 的值为
A. 15B. 20C. 22+7D. 22+7

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 函数 y=x+2 中，自变量 x 的取值范围是 ．

12. 因式分解：a3−4a= ．

13. 世界文化遗产长城总长约为 6700000 m，将 6700000 用科学记数法表示应为 ．

14. 计算：12−3 的结果是 ．

15. 若圆锥的母线为 5，底面半径为 3，则圆锥的侧面积为 ．

16. 某商品的进价为 120 元，8 折销售仍赚 40 元，则该商品标价为 元．

17. 如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，∠AOB=60∘，BD=AC=4，则四边形 ABCD 的面积为 ．

18. 如图，在 △ABC 中，高 AD 与中线 CE 相交于点 F，AD=CE=6，FD=1，则 AB= ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：
（1）32−∣−6∣+−20．
（2）化简：2xx−3−x−12．

20. 解答下列问题．
（1）解不等式：2+2x−13≤x；
（2）解方程：53x−1=2x．

21. 如图，菱形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上一点，延长 AB 至点 F，使 BF=AE，连接 BE，CF．求证：BE=CF．

22. 今年 4 月 23 日是第 21 个“世界读书日”，也是江苏省第二个法定的全民阅读日．由市文明办、市全民阅读办、市文广新局等单位联合主办的“2016 无锡市第二个全民阅读日”系列活动即将启动．某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题．
（1）本次抽样调查的样本容量是多少?
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在 1∼1.5 小时对应的圆心角度数；
（4）根据本次抽样调查，试估计我市 12000 名初二学生中日人均阅读时间在 0.5∼1.5 小时的多少人．

23. 为弘扬中华传统文化，百年书院——“安阳书院”近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小红和小明一个抽中“唐诗”一个抽中“宋词”的概率是多少?（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（2）九年级一班班委会有 2 名男生和若干名女生，班级准备选派 2 名班委会成员参加学校举办的诗词比赛，若选派一名男生和一名女生的概率为 23，则班委会女生有 人．

24. 如图，已知 △ABCAC（1）在边 BC 上确定一点 P，使得 PA+PC=BC．
（2）作出一个 △DEF，使得：① △DEF 是直角三角形；② △DEF 的周长等于边 BC 的长．

25. 如表是某校七年级小朋友小敏这学期第一周和第二周做家务事的时间统计表，已知小敏每次在做家务事中洗碗的时间相同，扫地的时间也相同．
每周做家务总时间分洗碗次数扫地的次数第一周4423第二周4214
（1）求小敏每次洗碗的时间和扫地的时间各是多少?
（2）为鼓励小敏做家务，小敏的家长准备洗碗一次付 12 元，扫地一次付 8 元，总费用不超过 100 元．请问小敏如何安排洗碗与扫地的次数，既能够让花费的总时间最少，又能够全部拿到 100 元?

26. 如图，抛物线 y=ax+12−4aa<0 与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，CD∥x 轴交抛物线于点 D，连接 BD 交抛物线的对称轴于点 E，连接 BC，CE．
（1）抛物线顶点坐标为 （用含 a 的代数式表示），A 点坐标为 ，
（2）当 △DCE 的面积为 23 时，求 a 的值；
（3）当 △BCE 为直角三角形时，求抛物线的解析式．

27. 函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务．
（1）如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A，B 的坐标分别为 A6,0，B0,2，点 Cx,y 在线段 AB 上，计算 x+y 的最大值．小明的想法是：这里有两个变量 x，y，若最大值存在，设最大值为 m，则有函数关系式 y=−x+m，由一次函数的图象可知，当该直线与 y 轴交点最高时，就是 m 的最大值，x+y 的最大值为 ；
（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：如图 2，以（1）中的 AB 为斜边在右上方作 Rt△ABC．设点 C 坐标为 x,y，求 x+y 的最大值是多少?

28. 如图 1，在矩形 ABCD 中，AD=3，DC=4，动点 P 在线段 DC 上以每秒 1 个单位的速度从点 D 向点 C 运动，过点 P 作 PQ∥AC 交 AD 于 Q，将 △PDQ 沿 PQ 翻折得到 △PQE．设点 P 的运动时间为 ts．
（1）当点 E 落在边 AB 上时，t 的值为 ．
（2）设 △PQE 与 △ADC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式．
（3）如图 2，以 PE 为直径作 ⊙O．当 ⊙O 与 AC 边相切时，求 CP 的长．
答案
第一部分
1. A【解析】∣−3∣=−−3=3．
2. D【解析】A、 2a+3b，无法计算，故此选项错误；
B、 a−b2=a2−2ab+b2，故此选项错误；
C、 2x23=8x6，故此选项错误；
D、 x8÷x3=x5，故此选项正确；
故选：D．
3. B【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
4. C【解析】设这个多边形是 n 边形，
根据题意得，n−2⋅180∘=3×360∘，
解得 n=8．
故选：C．
5. A
【解析】∵a−b=1，
∴2a−2b−3=2a−b−3=2×1−3=−1．
6. C【解析】∵ 小敏随机调查了 15 名同学，
∴ 根据表格数据可以知道中位数在第三组，即中位数为 3．
∵2 出现了 5 次，它的次数最多，
∴ 众数为 2．
7. C【解析】在 Rt△ACB 中，∠C=90∘，AC=1，BC=2，
∴AB=AC2+BC2=12+22=5，
∴csA=ACAB=15=55．
8. B【解析】∵∠COB=∠COD+∠AOB−∠AOD，
∴90∘+90∘−∠AOD=160∘，
∴∠AOD=20∘．
故选：B．
9. C【解析】如图，延长 AE 交 MP 的延长线于 F，作 AH⊥PF 于 H．
∵AD∥CN∥PM，
∴∠ADE=∠EMF，
∵ED=EM，∠AED=∠MEF，
∴△AED≌△FEM，
∴AE=EF．AD=MF=AB，
∵PM=PB，
∴PA=PF，
∴PE⊥AF，∠APE=∠FPE，
∵∠APF=∠ABC，
∴tan∠APF=tan∠ABC=43=AHPH，
设 AH=4k，PH=3k，
则 PA=PF=5k，FH=2k，AF=AH2+HF2=25k，
∵12⋅PF⋅AH=12⋅AF⋅PE，
∴PE=25k，AE=5k，
∴AE:PE=5k:25k=1:2．
10. B
【解析】如图，延长 CB 到 E，使得 BE=BA．设 BE=AB=a．
∵BE=BA，
∴∠E=∠BAE，
∵∠ADC=∠ABD+∠BAD=2∠E+∠BAD=3∠BAD，
∴∠BAD=∠E，
∵∠ADB=∠EDA，
∴△ADB∽△EDA，
∴ADED=DBAD，
∴AD2=88+a=64+8a，
∵AC2=AD2−CD2=AB2−BC2，
∴64+8a−72=a2−152，解得 a=20 或 −12（舍弃）．
∴AB=20．
第二部分
11. x≥−2
【解析】根据题意得：x+2≥0，
解得 x≥−2．
12. aa+2a−2
【解析】a3−4a=aa2−4=aa+2a−2.
13. 6.7×106
【解析】6700000=6.7×106．
14. 3
【解析】12−3=23−3=3．
15. 15π
【解析】圆锥的侧面积 =12⋅2π⋅3⋅5=15π．
16. 200
【解析】设该商品的标价为 x 元，
80%×x−120=40，
解得：x=200．
则该商品的进标为 200 元．
故答案是：200．
17. 43
【解析】分别过点 A，C 作 AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点 E，F，
设 AO 为 m，
∴∠AEO=90∘，
∵AO=m，∠AOB=60∘，
∴AE=32m，
∴S△ABD=12BD⋅AE=3m，
同理，CF=32OC=324−m，
∴S△BCD=12BD⋅CF=43−3m，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=43．
18. 221
【解析】如图，作 EH⊥AD 于 H．
∵BD⊥AD，EH⊥AD，
∴EH∥BD，
∵AE=EB，
∴AH=DH=3，
∵DF=1，
∴FH=2，
∵EFFC=FHDF=2，EC=6，
∴EF=4，FC=2，
∴EH=EF2−FH2=42−22=23，
∵AE=EB，AH=DH，
∴BD=2EH=43，
在 Rt△ABD 中，AB=AD2+BD2=62+432=221．
第三部分
19. （1） 原式=3−6+1=−2.
（2） 原式=2x2−6x−x2−2x+1=x2−4x−1.
20. （1） 去分母得：
6+2x−1≤3x.
移项合并得：
−x≤−5.
解得：
x≥5.
（2） 去分母得：
5x=6x−2.
解得：
x=2.
经检验 x=2 是原方程的解．
21. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∴∠A=∠CBF，
在 △ABE 和 △BCF 中，
AE=BF,∠A=∠CBF,AB=BC,
∴△ABE≌△BCFSAS，
∴BE=CF．
22. （1） 样本容量是：30÷20%=150．
（2） 日人均阅读时间在 0.5∼1 小时的人数是：150−30−45=75（人）．
（3） 人均阅读时间在 1∼1.5 小时对应的圆心角度数是：360∘×45150=108∘．
（4） 12000×75+45150=9600（人）．
答：初二学生中日人均阅读时间在 0.5∼1.5 小时的 9600 人．
23. （1） 画树状图为：
∵ 共有 12 种等可能的结果，其中一个抽中“唐诗”一个抽中“宋词”的有 2 种，
∴ 一个抽中“唐诗”一个抽中“宋词”的概率为 212=16．
（2） 1 或 2
【解析】若只有 1 名女生，画树状图如下：
P恰好为1名男生和1名女生=46=23．
若有 2 名女生，画树状图如下：
由树形图可知：P恰好为1名男生和1名女生=812=23．
∴ 班委会女生有 1 或 2 人，故答案为：1 或 2．
24. （1） 如图，作 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 P，则点 P 即为所求．
（2） 如图，①在 BC 上取点 D，过点 D 作 BC 的垂线，②在垂线上取点 E 使 DE=DB，连接 EC，③作 EC 的垂直平分线交 BC 于点 F；
∴Rt△DEF 即为所求．
25. （1） 设小敏每次洗碗的时间为 x 分钟，每次扫地的时间为 y 分钟，
根据题意得：
2x+3y=44,x+4y=42.
解得：
x=10,y=8.
答：小敏每次洗碗的时间为 10 分钟，每次扫地的时间为 8 分钟．
（2） 设小敏安排 a 次洗碗，b 次扫地，
根据题意得：12a+8b=100，
化简得：3a+2b=25，
∴a，b 为非负整数，
∴a1=1,b1=11, a2=3,b2=8, a3=5,b3=5, a4=7,b4=2.
∴ 对应的时间分别为：10+8×11=98（分钟）；
10×3+8×8=94（分钟）；10×5+8×5=90（分钟）；10×7+8×2=86（分钟）；
∴ 小敏应该安排 7 次洗碗 2 次扫地．
26. （1） −1,−4a；−3,0
【解析】抛物线 y=ax+12−4aa<0 的顶点坐标为 −1,−4a；
令 y=0，则 ax+12−4a=0a<0，解得 x1=−3，x2=1．
∵A 在 B 的左侧，
∴A 点坐标为 −3,0，B 点坐标为 1,0．
（2） ∵CD∥x 轴交抛物线于点 D，
∴C，D 关于抛物线的对称轴 x=−1 对称，
∵C0,−3a，
∴D−2,−3a，
∴CD=2．
设直线 BD 的解析式为 y=kx+b，
∵B1,0，D−2,−3a，
∴k+b=0,−2k+b=−3a, 解得 k=a,b=−a,
∴ 直线 BD 的解析式为 y=ax−a，
∴ 当 x=−1 时，y=−a−a=−2a，
∴E−1,−2a．
设抛物线的对称轴与 CD 交于点 M，则 EM⊥CD，且 EM=−3a−−2a=−a．
∵△DCE 的面积为 23，
∴12⋅CD⋅EM=12×2×−a=23，
∴a=−23．
（3） 设对称轴交 CD 于 M，交 x 轴于 F，作 DH⊥x 轴于 H，
显然，∠CBE 为锐角，∴∠CBE≠90∘，
①若 ∠BEC=90∘，则 ∠DEC=90∘，
∵CD∥x 轴，
∴ 由对称性可知 ∠CEM=∠DEM=45∘，
∴∠BEF=45∘，
∴∠BDH=45∘，
∴BH=DH，
∵D−2,−3a，B1,0，
∴BH=3，DH=−3a，
∴a=−1，
∴y=−x+12+4；
②若 ∠BCE=90∘，作 BN⊥DC 交 DC 的延长线于 N，
则 ∠BCN+∠ECM=∠BCN+∠EDM=∠BDH+∠EDM=90∘，
∴∠BCN=∠BDH，
∴Rt△BCN∽Rt△BDH，
∴BNCN=BHDH，
∴−3a1=3−3a，
∴a=−33，
∴y=−33x+12+433．
综上所述，y=−x+12+4 或 y=−33x+12+433．
27. （1） 6
【解析】AB 的解析式为 y=−13x+2，
点 Cx,y 在 AB 上，
z=x+y=−13x+2+x=23x+2，
当 x=6 时，z=x+y 有最大值 6．
（2） 由题可得，点 C 在以 AB 为直径的 ⊙D 上运动，
点 C 坐标为 x,y，可构造新的函数 x+y=m，则函数与 y 轴交点最高处即为 x+y 的最大值，
此时，直线 y=−x+m 与 ⊙D 相切，交 x 轴与 E，如图所示，连接 OD，CD，
∵A6,0，B0,2，
∴D3,1，
∴OD=12+32=10，
∴CD=10，
根据 CD⊥EF 可得，C，D 之间水平方向的距离为 5，铅垂方向的距离为 5，
∴C3+5,1+5，
代入直线 y=−x+m，可得 1+5=−3+5+m，
解得 m=4+25，
∴x+y 的最大值为 4+25．
28. （1） 258
【解析】当点 E 落在边 AB 上时，如图 1，
连接 DE，交 PQ 于 O，
由题意得：PD=t，
由对折得：DE⊥PQ，
∵PQ∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ACD+∠EDC=90∘，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ADE+∠EDC=90∘，
∴∠ACD=∠ADE，
∵∠EAD=∠ADC=90∘，
∴△AED∽△DAC，
∴AEAD=ADDC，
∴AE3=34，
∴AE=94，
由勾股定理得：ED=AE2+AD2=942+32=154，
由对折得：OD=12DE=158，
易得 △POD∽△DAE，
∴PDOD=DEAE，
∴t158=15494，
∴t=258．
（2） 如图 2，当 E 在 AC 上时，连接 DE 交 PQ 于 O，则 OE=OD，
∵PQ∥AC，
∴CP=PD=12CD=2，即 t=2，
∵tan∠QOD=tan∠ACD=ADCD=DOPD，
∴34=DQt，
∴DQ=3t4，
分两种情况：
①当 0 ∴S=S△PDQ=12PD⋅PQ=12⋅t⋅34t=38t2．
②当 2 Rt△PDQ 中，PD=t，DQ=34t，
∴PQ=54t，
∵PQ∥AC，
∴△PDQ∽△CDA，
∴ODDF=PDCD，
∴OD125=t4，OD=35t，
∴OF=125−3t5，
同理可得：EFEO=MNPQ，
∴3t5−125−3t53t5=MN5t4，
∴MN=5t2−5，
∴S=12OFMN+PQ=12125−3t552t−5+5t4=−98t2+6t−6；
综上所述，S 与 t 的函数关系式为：S=38t2,0 （3） 如图 4，设切点为 H，作 PG⊥AC 于 G，连接 HO 并延长交 PQ 于 F，
设 CP=5x，则 PG=3x，PD=PE=4−5x，
∵∠OPF=∠DPQ=∠ACD，
∴OF=35OP，HF=OH+OF=OP+OF=85OP=45PD=454−5x，
454−5x=3x，
x=1635，
CP=5x=167．