2018年广州黄埔区中考一模数学试卷

这是一份2018年广州黄埔区中考一模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −2 的绝对值是
A. 2B. −2C. 12D. −12

2. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 某小组 8 名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是
劳动时间小时33.544.5人数1232
A. 中位数是 4，众数是 4B. 中位数是 3.5，众数是 4
C. 平均数是 3.5，众数是 4D. 平均数是 4，众数是 3.5

4. 下列计算正确的是
A. a+2b=2abB. 2+3=5
C. x6÷x2=x4D. a+b2=a2+b2

5. 若一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长可能是
A. 2B. 3C. 4D. 5

6. 将抛物线 y=x2 向下平移一个单位，得到的抛物线解析式为
A. y=x2+1B. y=x2−1C. y=x+12D. y=x−12

7. 在一个不透明的口袋中，装有 3 个相同的球，它们分别写有数字 1，2，3，从中随机摸出一个球，若摸岀的球上的数字为 2 的概率记为 P1，摸岀的球上的数字小于 4 的概率记为 P2，摸出的球上的数字为 5 的概率记为 P3，则 P1，P2，P3 的大小关系式
A. P1
8. 在同一坐标系中，函数 y=kx 和 y=kx+1k≠0 的图象大致是
A. B.
C. D.

9. 下面给出四个命题：① 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；② 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③ 有两组相邻的角互补的四边形是平行四边形；④ 有一个角与相邻的角都互补的四边形是平行四边形，其中，真命题的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

10. ⊙O 的直径 AB=2 cm，过点 A 有两条弦，弦 AC=2 cm，弦 AD=3 cm，则 ∠CAD 所夹的圆内部分的面积是
A. 2+34+5π12cm2
B. 2+34+5π12cm2 或 2−34+π12cm2
C. 2+24+π12cm2
D. 2+24+π12cm2 或 2−34+5π12cm2

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 函数 y=x+2 中，自变量 x 的取值范围是 ．

12. 如图，在 △ABC 中， E ， F 分别是 AB ， AC 的中点，若中位线 EF=2 cm ，则 BC 边的长是 ．

13. 小军用 50 元钱去买单位是 8 元的笔记本，则他剩余的钱 y（元）与他买这种笔记本的本数 x 之间的关系是 （0≤x≤6 且 x 为整数）．

14. 如图，⊙O 的直径 CD⊥弦AB，∠AOC=50∘，则 ∠CDB 的大小为 ∘．

15. 如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE=3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点，把 △EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 Bʹ 处，若 △CDBʹ 恰为等腰三角形，则 DBʹ 的长为 ．

16. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x=−1，且过点 12,0，有下列结论：① abc>0；② 25a−10b+4c=0；③ a−2b+4c=0；④ a−b≥mam−b（其中 m 为实数）；⑤ 3b+2c>0．上述结论正确的是 ．（填写正确结论的序号）

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解不等式组：3x+4>x,5x−5<4x−2.

18. 已知：如图，点 E，F 在 AC 上，且 AE=CF，AD∥CB，AD=CB．求证：DF=BE．

19. 已知代数式：A=a+b2−2aa+b．
（1）化简 A．
（2）已知 a−12+b+2=0，求 A 的值．

20. 菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标是 8,0，cs∠AOB=45．
（1）求点 A 的坐标．
（2）若反比例函数 y=k−2x 的图象经过点 A，求 k 的值．

21. 某校为了解学生最喜欢的球类运动，对乒乓球、足球、篮球、排球四个项目进行了调查，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图（说明：每位同学只选一种自己最喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次接受调查的学生共 人．
（2）喜欢篮球 人，喜欢排球 人，补全条形统计图．
（3）在平时的乒乓球项目训练中，有 5 名学生表现优秀，5 名学生中有 3 名男生，2 名女生，现从这 5 名学生中任意抽取 2 名学生参加比赛，求出刚好抽到一男一女的概率．

22. 有一斜坡 AC，其坡度为 i=1:2，顶部 A 处的高 AB 为 5 m，B，C 在同一水平地面上．
（1）求斜坡 AC 的水平宽度 BC 的长．
（2）矩形 DEFG 为长方体货柜的侧面图，其中 DE=3 m，EF=2 m，将该货柜沿斜坡向上运送，当 CF=4 m 时，求点 D 离地面的高．（结果精确到 0.1 m）

23. 已知关于 x 的一元二次方程 m2−4x2+2m−1x+1=0．
（1）m 为何值时，该方程有实数根；
（2）若 x1，x2 是该方程的两个实数根，S=1x12−6x1+1x22−6x2+2x1x2+10，求 S 的取值范围．

24. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=m，∠ABC=30∘．
（1）利用尺规作 ⊙O，使 ⊙O 经过点 A 和点 B，圆心 O 在线段 BC 上，该圆与 BC 的另一交点为 D（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）过点 O 作 OE∥AB 交 AC 于 E，连接 DE，求 S△EOCS△ABC．
（3）设 F 是线段 AB 上任意一点（不与 A，B 重合），连接 OF，当 AF+2OF 的最小值为 16 时，求 m 的值．

25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+6 与 x 轴交于点 A6,0，B−1,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点 P 为抛物线上一个动点．
① 过动点 P 作 y 轴的垂线交直线 AC 于点 D，点 P 的坐标是多少时，以 O 为圆心，OD 的长为半径的 ⊙O 与 AC 相切?
② 是否存在点 P，使 △ACP 为直角三角形?若存在，有几个?求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】−2 的绝对值是 2，即 ∣−2∣=2．
2. D【解析】A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
3. A【解析】中位数为 4，众数为 4，平均数为 3.875．
4. C【解析】D选项 a+b2=a2+2ab+b2，A，B两选项无法计算．
5. D
【解析】设第三边长为 x，由三角形三边关系得 46. B【解析】抛物线 y=x2 向下平移一个单位得到解析式：y=x2−1．
7. D【解析】依题可知，P1=13，P2=1，P3=0，即 P38. A
9. B【解析】① 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故 ① 错误；
② 一组对边平行再加一组对角相等可推出两组对边平行，故 ② 正确；
③ 两组相邻的角互补无法推出平行四边形，故 ③ 错误；
④ 有一个角与相邻的角都互补能推出两组对角分别相等，故 ④ 正确．
10. B
【解析】① 当 AC，AD 在直径 AB 两侧时，连接 BC，BD，OC，OD，
可得 cs∠CAB=ACAB=22，
cs∠BAD=ADAB=32，
故 ∠CAB=45∘，∠BAD=130∘，
∴∠COB=90∘，∠BOD=60∘，
∴SBOC=14×π×12=π4，
SBOC=60∘360∘×π×12=π6，
∴S△AOC=12OA⋅OC=12，
S△AOD=12OA⋅AD⋅sin30∘=12×1×32=34，
∴∠CAD 所夹圆内部分面积 =S△AOC+SBOC+S△AOD+S△AOC=2+34+5π12cm2．
② 当 AC，AD 在直径 AB 同侧时同（1），
∠CAD所夹圆内部分面积=S△AOC+SBOC−S△AOD−SBOD=12+π4−34−π6=2−32+π12cm2.
第二部分
11. x≥−2
【解析】函数 y=x+2 中，自变量 x 的取值范围是是 x+2≥0，x≥−2．
12. ∵△ABC 中， E ， F 分别是 AB ， AC 的中点， EF=2 cm ，
∴EF 是 △ABC 的中位线
∴BC=2EF=2×2=4 cm ．
13. y=50−8x
【解析】由题目易得关系为 y=50−8x．
14. 25
【解析】∵ 直径 CD⊥弦AB，
∴AC=BC，
∴∠CDB=12∠AOC=25∘．
15. 16 或 45
【解析】① 当 BʹD=BʹC 时，过 Bʹ 点作 GH∥AD，则 ∠BʹGE=90∘，
∵BʹD=BʹC，
∴AG=DH=12DC=8．
∵AE=3，AB=16，
∴BE=13．
由翻折的性质，得 BʹE=BE=13，
∴EG=AG−AE=8−3=5，
∴BʹG=BʹE2−EG2=132−52=12，
∴BʹH=GH−BʹG=16−12=4，
∴DBʹ=BʹH2+DH2=42+82=45．
② 当 DBʹ=CD 时，则 DBʹ=16．
如图所示，此时点 F 在 BC 上，且不与点 B，C 重合．
③ 当 CBʹ=CD 时，
∵EB=EBʹ，CB=CBʹ，
∴ 点 E，C 在 BBʹ 的垂直平分线上，
∴EC 垂直平分 BBʹ，
由折叠可知，点 F 与点 C 重合，不符合题意，舍去．
16. ①②④
【解析】①由图得：c>0，a<0，
由对称轴 x=−b2a=−1<0 得 b<0，
∴abc>0，故①正确．
②由抛物线过点 12,0 可得 14a+12b+c=0，
将式子同时乘以 4 可得 a+2b+4c=0，
由抛物线对称轴 x=−1 得 −b2a=−1，即 b=2a，
∴25a−10b+4c=25a−10b+4c−a+2b+4c=24a−12b=122a−b=0.
∴ ②正确．
③ a−2b+4c=a−2b+4c−a+2b+4c=−4b>0，
∴ ③错误．
④当 x=−1 时，y=a−b+c 为顶点，
当 x=m 时，y=am2−bm+c，
由图象可知，a−b+c≥am2−bm+c，
a−b≥am2−bm，
a−b≥mam−b，
∴ ④正确．
⑤ 3b+2c=2a+2b+2c=2a+b+c<0，
∴ ⑤错误．
故答案为：①②④．
第三部分
17.
3x+4>x, ⋯⋯①5x−5<4x−2. ⋯⋯②
解不等式 ① 得
3x−x>4.2x>4.x>2.
解不等式 ② 得
5x−4x<−2+5.x<3.∴
不等式组解集为
218. ∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即 AF=CE．
∵AD∥BC，
∴∠A=∠C．
又 ∵AD=BC，
∴△ADF≌△CBE．
∴DF=BE．
19. （1） A=a2+b2+2ab−2a2−2ab=b2−a2.
（2） ∵a−12+b+2=0，a−12≥0，b+2≥0，
∴a−1=0，b+2=0，
∴a=1，b=−2，
∴A=b2−a2=−22−12=3．
20. （1） 连接 AC 交 OB 于 E，
∵ 四边形 OABC 是菱形，B8,0，
∴AC⊥BO，OE=12BD=4，
∵cs∠AOB=45，∠AEO=90∘，
∴AO=OEcs∠AOB=445=5，
∴AE=AO2−OE2=52−42=3，
∴A4,3．
（2） 由（1）得 A4,3，代入反比例函数 y=k−2x，
则有 3=k−24，解得 k=14，
∴k=14．
21. （1） 200
【解析】这次接受调查的学生共 200 人．
（2） 80；20
【解析】喜欢篮球 80 人，喜欢排球 20 人．
（3） 树状图如下：
设三名男生分别为 A1，A2，A3，两名女生分别为 B1，B2，
由图可知，共有 20 种等可能情况，符合要求的有 A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1A1，B1A2，B1A3，B2A1，B2A2，B2A3 等 12 种情况，
故刚好抽到一男一女的概率为 P=1220=35．
22. （1） ∵ 斜坡 AC 的坡度 h=1:2，AB=5 m，
∴i=ABBC=5BC=1:2，
∴BC=10 m．
（2） 过 D 作 DP⊥BC 交 AC 于 H，
∵∠DGF=∠DPC=90∘，∠DHG=∠CHP，
∴△DGH∽△CPH，
∴GHDG=PHCP=i=12，即 GH2=12，
∴GH=1 m，
∴DH=DG2+DH2=5 m，
∴FH=GF−GH=DE−GJ=2 m，
∴CH=HF+CF=2+4=6 m，
∴ 由 △DGH∽△CPH 得 GHDH=PHCH，
即 15=PH6，解得 PH=655 m，
∴DP=DH+PH=5+655=1155 m≈4.9 m，
即 D 离地面高 4.9 m．
23. （1） ∵ 一元二次方程 m2−4x2+2m−1x+1=0 有实数根，
∴m2−4≠0 且
Δ=2m−12−4m2−4×1=4m2+1−4m−4m2+16=17−4m≥0,
解得 m≠±2 且 m≥174，
∴m≠±2 且 m≤174．
（2） S=1x12−6x1+1x22−6x2+2x1x2+10=1x1+1x2−32+1.
∵x1，x2 是方程 m2−4x2+2m−1x+1=0 是方程的两个实数根，
∴x1+x2=1−2mm2−4，x1⋅x2=1m2−4，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=1−2m，
∴S=1−2m−32+1=4m+12+1，
∴S=4m+12+1 的图象是顶点为 −1,1，开口向上的抛物线，
∵ 当 m=2 时，S=37，当 m=−2 时，S=5，
当 m=−4 时，S=37，当 m=0 时，S=5，
∴ 虽 m≤174 且 m≠±2，但 S 可以取 5，37，
∴S≥1．
24. （1） 如图所示，⊙O 即为所求．
（2） 如图，连接 DE，AD，
∵BD 是 ⊙O 的直径，
∴∠BAD=90∘，
∵∠ABC=30∘，
∴AD=12BD，
∵AB=AC，
∴∠DAC=180∘−∠BAD−2∠B=30∘=∠C，
∴AD=DC=12BD=OD，
∴OC=23BC，
∵OE∥AB，
∴△EOC∽△ABC，
∴S△EOCS△ABC=COBC2=232=49，
∵DC=OD，
∴S△EDC=12S△EOC，
∴2S△EDCS△ABC=49，
∴S△EDCS△ABC=29．
（3） 如图，过点 O 作 OM⊥AB 交 ⊙O 于点 M，则 OM 平分 AB，连接 AM，OM，OA，
由 ∠ABC=30∘ 得 ∠AOM=60∘，
∵OA=OM，
∴△OAM 是等边三角形，
∴AB 垂直平分 OM，则 MF=OF，
作 FH⊥OA 于点 H，
由 ∠BAO=∠B=30∘ 得 AF=2HF，
∴12AF+OF=MF+FH，
根据两点之间线段最短知，当点 M，F，H 三点共线时，12AF+OF 最小，
此时 12AF+OF 即为等边 △OAM 的高，
∴12AF+OF≥32OA，
∵AF+2OF 的最小值为 16，即 12AF+OF 的最小值为 8，
∴32OA=8，
又 ∵12AB=32OA，
∴12AB=8，即 12m=8，
∴ 当 m=16 时，AF+2OF 的最小值为 16．
25. （1） 当 x=0 时，y=ax2+bx+6=6，则 C0,6，
设抛物线的解析式为 y=ax+1x−6，
把 C0,6 代入得 a⋅1⋅−6=6，解得 a=−1，
∴ 抛物线的解析式为 y=−x+1x−6，即 y=−x2+5x+6．
（2） ① 设 P 点坐标为 x,−x2+5x+6，
作 OD⊥AC 于 D，过 D 作 PʹD⊥y 轴交抛物线于 Pʹ 点，如图 1，
∵OA=OC=6，
∴△OAC 为等腰直角三角形，
∴CD=AD，
∴D3,3，
当 y=3 时，−x2+5x+6=3，
整理得 x2−5x−3=0，解得 x1=5+372，x2=5−372，
此时 P 点坐标为 5+372,3，若 5−372,3 时，
即 P 点坐标为 5+372,3，若 5−372,3 时，以 O 为圆心，OD 为半径的 ⊙O 与 AC 相切．
② 如图：
PC2=x2+−x2+5x2，PA2=x−62+−x2+5x+62，
AC2=62+62=72，
当 ∠PAC=90∘，
∵ PA2+AC2=PC2，
∴ x−62+−x2+5x+62+72=x2+−x2+5x2，
整理得 x2−4x−12=0，解得 x1=6（舍去），x2=−2，此时 P 点坐标为 −2,−8．
当 ∠PCA=90∘，
∵PC2+AC2=PA2，
72+x2+−x+5x2=x−62+−x2+5x+62，
整理得 x2−4x=0，解得 x1=0（舍去），x2=4，此时 P 点坐标为 4,10，
∴ x−62+−x2+5x+62+x2+−x2+5x2=72，
整理得 x3−10x2+20x+24=0，
x3−10x2+24x−4x+24=0，
xx2−10x+24−4x−6=0，
xx−4x−6−4x−6=0，
x−6x2−4x−4=0，
而 x−6≠0，
∴x2−4x−4=0，解得 x1=2+22，x2=2−22，
此时 P 点坐标为 2+22,4+22 或 2−22,4−22，
综上所述，符合条件的点 P 的坐标为 −2,−8 或 4,10 或 2+22,4+22 或 2−22,4−22．