2018年杭州市余杭区中考一模数学试卷

这是一份2018年杭州市余杭区中考一模数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 2018 的绝对值是
A. −2018B. 2018C. 12018D. −12018

2. 袋中装有 1 个绿球，2 个黑球和 3 个红球，它们除颜色外其余均相同，从袋中摸出一个球，则摸出黑球的概率是
A. 16B. 13C. 12D. 56

3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 平行四边形D. 矩形

4. 某风景区在“十一”黄金周期间，每天接待的旅游人数统计如表：
日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日人数万人
表中表示的人数的一组数据中，众数和中位数分别是
A. 1.2 万，2 万B. 2 万，2.5 万C. 2 万，2 万D. 1.2 万，2.5 万

5. 下列计算正确的是
A. a3+a2=a5B. a3−a2=aC. a32=a6D. a3×a2=a6

6. 函数 y=x+2x−1 中，自变量 x 的取值范围是
A. x>1B. x≥1C. x>−2D. x≥−2

7. 游泳池中有一批小朋友，男生戴蓝色游泳帽，女生戴红色游泳帽．如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍．设男孩有 x 人，则可列方程
A. x=2x−2B. x−1=2x−2
C. x=2x−1D. x−1=2x

8. 如图，△ABC 中 ⊙O 的内接三角形，直径 OE⊥AB，垂足为点 F，连接弦 AE，已知 OE=1，则下面的结论：① AE2+BC2=4；② sin∠ACB=AB2；③ cs∠B=AE2，其中正确的是
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②

9. 现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列 S0，将其中的每个数换成该数在 S0 中出现的次数，可得到一个新序列 S1．例如序列 S0:4,2,3,4,2，通过变换可生成新序列 S1:2,2,1,2,2．若 S0 可以为任意序列，则下面的序列可作为 S1 的是
A. 1,2,1,2,2B. 2,2,2,3,3C. 1,1,2,2,3D. 1,2,1,1,2

10. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 P 在线段 BC 上（不含点 B），∠BPE=12∠ACB，PE 交 BO 于点 E，过点 B 作 BF⊥PE，垂足为 F，交 AC 于点 G．现给出下列命题：①若点 P 与点 C 重合时，S△PED=；②若 BP=13BC 时，BF=12PE．则
A. ①是真命题，②是真命题B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题D. ①是假命题，②是假命题

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 良渚文化国家公园总面积约为 9090000 平方米，则可将 9090000 用科学记数法表示为 ．

12. 当 x=2 时，则 x+12−x 的值为 ．

13. 用一个圆心角为 150∘，半径为 2 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ．

14. 已知分式 x+1x2−a2+3a−x，若 x=3 时，分式无意义，则 a= ；若 x=3 时，分式的值为 0，则 a= ．

15. 在直角坐标系中，点 A，B，C，D 的坐标分别为 −3,0，x,y，0,4，−6,z，若以点 A，B，C，D 为顶点的四边形是菱形，则 z 的值为

16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90，∠A=30∘．以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧交 AC 于点 D，分别以点 A，D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 E，连接 AE，DE，设 BC=x，点 E 到直线 AC 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数关系式为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 已知 A=4x2+2x，B=2x+1，回答下列问题：
（1）求 A+B，并将它因式分解；
（2）若 A=B，求满足条件的 x 的值．

18. 对某校若干名学生进行最喜爱的球类运动项目的问卷调查，得到如图的统计图，请根据图中给出的信息回答下列问题：
（1）最喜爱足球运动的学生有多少人?并补全条形统计图；
（2）若该校共有 1200 名学生，请你估计最喜欢篮球的学生约有多少人?

19. 如图，已知直线 y=2x 经过点 P−2,a，点 P 关于 x 轴的对称点 Pʹ 在反比例函数 y=kxk≠0 的图象上．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出当 y<4 时 x 的取值范围．

20. 某校八年级举行数学知识应用竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为 20 元和 18 元．根据竞赛设奖情况，需购买两种笔记本共 30 本，并且购买A笔记本的数量要少于B笔记本数量的 23，但又不少于B笔记本数量的 13，设买A种笔记本 x 本，买两种笔记本的总费用为 W 元．
（1）写出 W（元）关于 x（本）的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围．
（2）若商场正在进行促销活动，A种笔记本每本降价 a 元（0
21. 如图，已知 △ABC 中，AB 为半圆 O 的直径，AC，BC 分别交半圆 O 于点 E，D，且 BD=DE．
（1）求证：点 D 是 BC 的中点；
（2）若点 E 是 AC 的中点，判断 △ABC 的形状，并说明理由．

22. 如图，矩形 ABCD 中，AD=10，AB=20，点 E 在边 CD 上，且与点 C，D 不重合，过点 A 作 AE 的垂线与 CB 的延长线相交于点 F，连接 EF 交 AB 于点 G．
（1）当 EF 恰好平分 ∠AFB 时，求 AG 的长；
（2）当 △AGE 是等腰三角形时，求 tan∠DAE．

23. 已知二次函数 y=ax2−2a+1x+a+1，当 a 取除 0 外的任一实数时，它的图象都是一条抛物线．
（1）该抛物线的图象与函数 y=2x2 的图形的形状、开口方向均相同，则 a= ．
（2）若取 a=−1，a=2 时，所对应的抛物线的顶点分别为 A，B，请求出直线 AB 的函数表达式，并判断：当 a 取其它实数值时，所对应的顶点是否也在直线 AB 上?并说明理由．
（3）当 a>1 时，点 P1,m 和点 Q1+a,n 在该函数图象上，请比较 m 和 n 的大小．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. D
4. C
5. C
6. A
7. A
8. D
9. D【解析】解题关键在于理解新序列的意义，新数列由原数列中 5 个数的出现次数决定，
这个新数列，如果原数列中的每个数都相同，则新数列为 5,5,5,5,5；
如果原数列中某数最多出现了 4 次，则新数列为 4,4,4,4,1；
如果原数列中某数最多出现了 3 次，则新数列为 3,3,3,2,2 或 3,3,3,1,1；
如果原数列中某数最多出现了 2 次，则新数列为 2,2,2,2,1 或 2,2,1,1,1；
如果原数列中的数都不重复，则新数列为 1,1,1,1,1，
所以新数列可以有以上 7 种情况．
10. A
第二部分
11. 9.09×106
12. 3+2
13. 56
14. ±3，−53
15. 4；438
16. y=152x
第三部分
17. （1） A+B=4x2+2x+2x+1=4x2+4x+1=2x+12．
（2） A=B 即 4x2+2x=2x+1，4x2=1，x=12或−12．
18. （1） 由扇形统计图知：羽毛球和足球的比例相同，
所以足球人数等于羽毛球人数 60．
（2） 由扇形统计图和条形统计图知：乒乓球和篮球人数占总人数的一半，乒乓球与篮球人数比为 1:2，
所以篮球人数为 600×23=400（人）．
19. （1） 把 P−2,a 代入直线的解析式得：a=−2×−2=4，
则 P 的坐标是 −2,4，点 P 关于 y 轴的对称点 Pʹ 的坐标是：−2,4；
把 Pʹ 的坐标 −2,4 代入反比例函数 y=kxk≠0 的解析式得 k=−8，
则函数的解析式是：y=−8x．
（2） 反比例函数自变量 x 的取值范围是：x>0 或 x<−2，
一次函数自变量 x 的取值范围是：x<2．
20. （1） 依题意得：W=20x+1830−x，即 W=2x+540，
且 x<2330−x 和 x≥1330−x，
解得 152≤x<12，
∴W（元）关于 x（本）的函数关系式为：W=2x+540，
自变量 x 的取值范围是 152≤x<12，x 为整数．
（2） 依题意得：W=x2−a+540152≤x<12．
①当 −3<2−a<0，x=11 时，W1=562−11a 为最小值；
②当 0<2−a<2，x=8 时，W2=556−8a 为最小值；
W1−W2=6−3a，
当 a≥2 时，应购买A笔记本 11 本，B笔记本 19 本；
当 a<2 时，应购买A笔记本 8 本，B笔记本 22 本．
21. （1） 连接 AD，
∵AB 为半圆 O 的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90∘．
∵BD=DE，
∴ 弧 BD 等于弧 DE，
∴∠BAD=∠DAC，
又 ∵AD=AD，
∴△ADB≌△ADCASA，
∴BD=DC，D 是 BC 的中点．
（2） 由上题得 AC=AB，BD=DC，
在 Rt△ADC 中，
∵ 点 E 是 AC 的中点，
∴DE=AE=EC，
又 ∵BD=DC=DE，
∴BD=DC=AE=EC，
∴BC=AC，
∴△ABC 是等边三角形．
22. （1） 连接 GC（如图）．
∵EF 平分 ∠AFB 且 AE⊥AF，EC⊥FC，
∴AE=CE，
又 ∵∠AFE+∠AEF=90∘，∠EFB+∠CEF=90∘，
∴∠AEF=∠CEF，
在 △EAG 和 △ECG 中，
∵EA=EC,∠AEG=∠CEG,EG=EG,
∴△EAG≌△ECGSAS，
∴AG=CG，
令 AG=CG=x，则 BG=AB−AG=20−x，
在 Rt△BGC 中，BG2+BC2=CG2，BC=AD=10，
∴20−x2+102=x2，解得：x=12.5，
∴AG=12.5．
（2） ①当 AG=AE 时，∠AGE=∠AEG=∠BGF，
∵∠AEG+∠AFG=90∘，∠BGF+∠BFG=90∘，
∴∠AFG=∠BFG，则如（1）中所得，AG=AE=12.5，
在 Rt△ADE 中，DE2=AE2−AD2=12.52−102，得：DE=7.5，
∴tan∠DAE=DEAD=；
②当 AG=GE 时，∠GAE=∠GEA，
∵∠GAE+∠DAE=∠GAE+∠GAF=90∘，∠GEA+∠AFG=90∘，
∴∠DAE=∠GAF=∠AFG，
∴AG=FG=GE，即点 G 为 EF 中点，
又 ∵BG∥EC，
∴ 点 B 为 FC 中点，即 FB=BC=10，
tan∠DAE=tan∠GAF=FBAB=1020=12；
③当 AE=GE 时，∠EAG=∠EGA=∠BGF，
∵∠EAG+∠DAE=∠EAG+∠BAF=90∘，∠BGF+∠BFG=90∘，
∴∠DAE=∠BAF=∠BFG，
又 ∵∠D=∠FBG=∠C=90∘，
∴△DAE∽△BAF∽△CFE，
ADAB=DEBF=1020=12，
令 DE=x，则 BF=2x，EC=20−x，
∴ADFC=DEEC，102x+10=x20−x，解得：x=55−5，
tan∠DAE=DEAD=5−12．
23. （1） 2
（2） ①当 a=−1 时，y=−x2+x，顶点为 A12,14，
当 a=2 时，y=2x2−5x+3，顶点为 B54,−18，
设直线 AB 为 y=kx+b，将点 A，B 代入得：14=12k+b,−18=54k+b,
解得：k=−12,b=12.
∴ 直线 AB 为 y=−12x+14．
②函数 y=ax2−2a+1x+a+1 的顶点坐标为 2a+12a,−14a，
当 x=2a+12a 时，代入直线 AB 得：y=−12*2a+12a+12=−14a，
∴ 点 2a+12a,−14a 在直线 AB 上．
（3） 函数 y=ax2−2a+1x+a+1 的对称轴为 x=1+12a>1，
∴ 点 P1,m 在对称轴左侧，点 Q1+a,n 在对称轴右侧，
点 P 关于对称轴对称的点为 1+1a,m，在对称轴右侧，
∵a>1，
∴ 图象开口向上，且当 x>1+12a 时，y 随 x 的增大而增大，
又 ∵1+a>1+1a>1+12a，
∴n>m．