2018年广东省惠州市惠阳区中考一模数学试卷

这是一份2018年广东省惠州市惠阳区中考一模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列各数中，比 −2 小的数是
A. 2B. 0C. −1D. −3

2. 如图是由 4 个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是
A. B.
C. D.

3. 目前，中国网民已经达到 831000000 人，将数据 831000000 用科学记数法表示为
A. 0.831×109B. 8.31×108C. 8.31×109D. 83.1×107

4. 关于一组数据：1，5，6，3，5，下列说法错误的是
A. 平均数是 4B. 众数是 5C. 中位数是 6D. 方差是 3.2

5. 在平面直角坐标系中．点 P1,−2 关于 x 轴的对称点的坐标是
A. 1,2B. −1,−2C. −1,2D. −2,1

6. 下列运算正确的是
A. 2a22=2a4B. 6a8÷3a2=2a4C. 2a2⋅a=2a3D. 3a2−2a2=1

7. 若关于 x 的方程 ax−4=a−2 的解是 x=3，则 a 的值是
A. −2B. 2C. −1D. 1

8. 如图，AB∥DE，FG⊥BC 于 F，∠CDE=40∘，则 ∠FGB=
A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘

9. 如图，△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D 在 BC 上，且 AD 平分 ∠BAC，则 AD 的长为
A. 6B. 5C. 4D. 3

10. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a≠0）的图象交 x 轴于 A−2,0 和点 B，交 y 轴负半轴于点 C，抛物线对称轴为 x=−12，下列结论中，错误的结论是
A. abc>0
B. 方程 ax2+bx+c=0 的解是 x1=−2，x2=1
C. b2−4ac>0
D. a=b

二、填空题（共6小题；共30分）
11. −27 的立方根是 ．

12. 在函数 y=1x−5 中，自变量 x 的取值范围是 ．

13. 正六边形的每一个外角是 度．

14. 计算：12−1−20180+∣−1∣= ．

15. 如图，以点 O 为位似中心，将 △ABC 缩小后得到 △AʹBʹCʹ，已知 OB=3OBʹ，若 △ABC 的面积为 9，则 △AʹBʹCʹ 的面积为 ．

16. 如图，在 △ABC 中，AB=6，将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 60∘ 后得到 △DBE，点 A 经过的路径为弧 AD，则图中阴影部分的面积是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解不等式组：x+2≥1,x+3>2x, 并在所给的数轴上表示解集．

18. 先化简，再求值：a−b2a÷a2−aba2，其中 a=−1，b=3．

19. 参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛 28 场，共有多少个队参加足球联赛?

20. 如图，△ABC 中，∠BAC=90∘，AD⊥BC，垂足为 D．
（1）求作 ∠ABC 的平分线，分别交 AD，AC 于 P，Q 两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明 AP=AQ．

21. 西宁市教育局在局属各初中学校设立“自主学习日”．规定每周三学校不得以任何形式布置家庭作业，为了解各学校的落实情况，从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的反馈表．针对以下六个项目（每人只能选一项）：A．课外阅读；B．家务劳动；C．体育锻炼；D．学科学习；E．社会实践；F．其他项目进行调查．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽查的样本容量为 ，请补全条形统计图；
（2）全市约有 4 万名在校初中学生，试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人?
（3）七年级（1）班从选择社会实践的 2 名女生和 1 名男生中选派 2 名参加校级社会实践活动．请你用树状图或列表法求出恰好选到 1 男 1 女的概率是多少?并列举出所有等可能的结果．

22. 如图，将 △ABC 沿着射线 BC 方向平移至 △A′B′C′，使点 A′ 落在 ∠ACB 的外角平分线 CD 上，连接 AA′．
（1）判断四边形 ACC′A′ 的形状，并说明理由；
（2）在 △ABC 中，∠B=90∘，AB=8，cs∠BAC=45，求 CB′ 的长．

23. 如图，已知直线 y=kx+b 与反比例函数 y=3x 的图象交于 A1,m，B 两点，与 x 轴、 y 轴分别相交于 C4,0，D 两点．
（1）求直线 y=kx+b 的解析式；
（2）连接 OA，OB，求 △AOB 的面积；
（3）直接写出关于 x 的不等式 kx+b<3x 的解集是 ．

24. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 ⊙O 与边 BC 交于点 D，DE⊥AC，垂足为 E，交 AB 的延长线于点 F．
（1）求证：EF 是 ⊙O 的切线；
（2）若 ∠C=60∘，AC=12，求 BD 的长；
（3）若 tanC=2，AE=8，求 BF 的长．

25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上，OA=82 cm，OC=8 cm，现有两动点 P 、 Q 分别从 O 、 C 同时出发，P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 2 cm 的速度匀速运动，Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为 t 秒．
（1）用 t 的式子表示 △OPQ 的面积 S；
（2）求证：四边形 OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当 △OPQ 与 △PAB 和 △QPB 相似时，抛物线 y=14x2+bx+c 经过 B 、 P 两点，过线段 BP 上一动点 M 作 y 轴的平行线交抛物线于 N，当线段 MN 的长取最大值时，求直线 MN 把四边形 OPBQ 分成两部分的面积之比．
答案
第一部分
1. D【解析】比 −2 小的数是应该是负数，且绝对值大于 2 的数；
分析选项可得，只有D符合．
2. C【解析】由几何体的形状可知，俯视图有 3 列，从左往右小正方形的个数是 1，1，1．
3. B【解析】831000000=8.31×108．
4. C【解析】A．这组数据的平均数是 1+5+6+3+5÷5=4，故本选项正确；
B．5 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 3，故本选项正确；
C．把这组数据从小到大排列为：1，3，5，5，6，最中间的数是 5，则中位数是 5，故本选项错误；
D．这组数据的方差是：151−42+5−42+6−42+3−42+5−42=3.2，故本选项正确；
故选C．
5. A
【解析】点 P1,−2 关于 x 轴的对称点的坐标是 1,2，故选A．
6. C【解析】A选项中，因为 2a22=4a4，所以A选项中计算错误；
B选项中，因为 6a8÷3a2=2a6，所以B选项中计算错误；
C选项中，因为 2a2⋅a=2a3，所以C选项中计算正确；
D选项中，因为 3a2−2a2=a2，所以D选项中计算错误．
7. D【解析】将 x=3 代入方程，得 3a−4=a−2，解得 a=1．
8. B【解析】由 AB∥DE，∠CDE=40∘，
∴∠B=∠CDE=40∘，
又 ∵FG⊥BC，
∴∠FGB=90∘−∠B=50∘．
9. C【解析】因为 AB=AC=5，AD 平分 ∠BAC，BC=6，
所以 BD=CD=3，∠ADB=90∘，
所以 AD=AB2−BD2=4．
10. A
【解析】（1）观察图象可知：对称轴在 y 轴左侧，
所以 ab>0，
因为抛物线与 y 轴交于负半轴，
所以 c<0，
所以 abc<0，
故A选项错误；
（2）因为点 A 的坐标为 −2,0，抛物线对称轴为 x=−12，
所以点 B 的坐标为 1,0，
故B选项正确，
（3）因为抛物线与 x 轴有两个交点，
所以 b2−4ac>0，
故C选项正确；
（4）因为抛物线对称轴为 x=−12，
所以 −b2a=−12，
所以 a=b，
故D选项正确．
第二部分
11. −3
【解析】−27 的立方根是 −3．
12. x≠5
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为 0 的条件，要使 1x−5 在实数范围内有意义，必须 x−5≠0⇒x≠5．
13. 60
【解析】∵ 正六边形的每个外角都相等，并且外角和是 360∘，
∴ 正六边形的一个外角的度数为：360∘÷6=60∘．
14. 2
【解析】原式=2−1+1=2.
15. 1
【解析】∵OB=3OBʹ，
∴OBʹOB=13，
∵ 以点 O 为位似中心，将 △ABC 缩小后得到 △AʹBʹCʹ，
∴△AʹBʹCʹ∽△ABC，
∴AʹBʹAB=OBʹOB=13．
∴S△AʹBʹCʹ:S△ABC=1:9，
∵△ABC 的面积为 9，
∴△AʹBʹCʹ 的面积为 1．
16. 6π
【解析】提示：阴影部分的面积等于扇形 AOD 的面积．
第三部分
17. 解不等式①，得：
x≥−1.
解不等式②，得：
x<3.
在数轴上表示解集为：
18. 原式=a2−b2a÷aa−ba2=a+ba−ba×a2aa−b=a+b.
当 a=−1，b=3 时，原式=−1+3=2．
19. 设共有 x 个队参加比赛，则每队要参加 x−1 场比赛，根据题意得：
xx−12=28.
整理得：
x2−x−56=0.
解得：
x1=8,x2=−7不合题意,舍去.
答：共有 8 个队参加足球联赛．
20. （1） 如图所示，BQ 为所求作．
（2） ∵BQ 平分 ∠ABC，
∴∠ABQ=∠CBQ，
在 △ABQ 中，∠BAC=90∘，
∴∠AQP+∠ABQ=90∘，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘，
∴ 在 Rt△BDP 中，∠CBQ+∠BPD=90∘，
∵∠ABQ=∠CBQ，
∴∠AQP=∠BPD，
又 ∵∠BPD=∠APQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ．
21. （1） 1000
补全条形统计图如图所示．
（2） 参加体育锻炼人数的百分比为 40%，
用样本估计总体：40%×40000=16000（名）．
答：全市学生中选择体育锻炼的人数约有 16000 名．
（3） 设两名女生分别用 A1，A2 表示，一名男生用 B 表示，作树状图：
所有等可能结果：
A1A2，A1B，A2A1，A2B，BA1，BA2，
由此可见，共有 6 种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中恰好选到 1 男 1 女的结果有 4 种．
∴P一男一女=46=23．
22. （1） 四边形 ACC′A′ 是菱形，理由如下：
由平移的性质可得：AA′=CC′，且 AA′∥CC′，
所以四边形 ACC′A′ 是平行四边形，
因为 AA′∥CC′，
所以 ∠AA′C=∠A′CB′，
因为 CD 平分 ∠ACB′，
所以 ∠ACA′=∠A′CB′，
所以 ∠ACA′=∠AA′C，
所以 AA′=AC，
所以平行四边形 ACC′A′ 是菱形．
（2） 在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，AB=8，
所以 cs∠BAC=ABBC=45，
所以 AC=10，
所以 BC=AC2−AB2=6，
由平移的性质可得：BC=B′C′=6，
由（1）得四边形 ACC′A′ 是菱形，
所以 AC=CC′=10，
所以 CB′=CC′−B′C′=10−6=4．
23. （1） 将 A1,m 代入 y=3x，得 m=3，
所以 A1,3，
将 A1,3 和 C4,0 分别代入 y+kx+b，
得：k+b=3,4k+b=0,
解得：k=−1，b=4，
所以直线解析式为：y=−x+4．
（2） 联立 y=3x,y=−x+4,
解得 x=1,y=3 或 x=3,y=1,
因为点 A 的坐标为 1,3，
所以点 B 的坐标为 3,1，
所以
S△AOB=S△AOC−S△BOC=12⋅OC⋅yA−12⋅OC⋅∣yB∣=12×4×3−12×4×1=4.
所以 △AOB 的面积为 4．
（3） 03
【解析】因为点 A 和 B 的坐标分别为 A1,3 和 3,1，
所以观察图象可知：不等式 kx+b<3x 的解集是 03．
24. （1） 连接 OD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
又 ∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，即 OD⊥EF，
∴EF 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵AB=AC=12，
∴OB=OD=12AB=6，
由（1）得：∠C=∠ODB=60∘，
∴△OBD 是等边三角形，
∴∠BOD=60∘，
∴BD=60π×6180=2π，即 BD 的长 2π．
（3） 连接 AD，
∵DE⊥AC，∠DEC=∠DEA=90∘，
在 Rt△DEC 中，tanC=DECE=2，
设 CE=x，则 DE=2x，
∵AB 是直径，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∴∠ADE+∠CDE=90∘，
在 Rt△DEC 中，∠C+∠CDE=90∘，
∴∠C=∠ADE，
在 Rt△ADE 中，tan∠ADE=AEDE=2，
∵AE=8，
∴DE=4，则 CE=2，
∴AC=AE+CE=10，即直径 AB=AC=10，则 OD=OB=5，
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴OFAF=ODAE，即：BF+5BF+10=58，
解得：BF=103，即 BF 的长为 103．
25. （1） ∵CQ=t，OP=2t，CO=8 ，
∴OQ=8−t .
∴S△OPQ=128−t⋅2t=−22t2+42t0 （2） 由题意知，AB=CO=8，CQ=t，CB=OA=82，PA=82−2t .
S△PAB=12⋅8⋅82−2t=−42t+322 ，
S△OBQ=12⋅t⋅82==42t .
∵S四边形OPBQ=S矩形ABCD−S△PAB−S△CBQ=8×82−12×82t−12×8×82−2t=322.
∴ 四边形 OPBQ 的面积为一个定值，且等于 322 .
（3）
当 △OPQ 与 △PAB 和 △QPB 相似时，△QPB 必须是一个直角三角形，
依题意只能是 ∠QPB=90∘ .
又 BQ 与 AO 不平行，
∴∠QPO 不可能等于 ∠PQB，∠APB 不可能等于 ∠PBQ
∴ 根据相似三角形的对应关系只能是 △OPQ∽△PBQ∽△ABP .
∴OQAP=OPAB .
∴8−t82−2t=2t8 .
解得：t=4 .
经检验：t=4 是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）.
此时 P42,0 .
∵B82,8 且抛物线 y=14x2+bx+c 经过 B 、 P 两点，
∴ 抛物线是 y=14x2−22x+8，直线 BP 是：y=2x−8 .
设 Mm,2m−8 、 Nm,14m2−22m+8 .
∵M 在 BP 上运动，
∴42≤m≤82 .
∵y1=14x2−22x+8 与 y2=2x−8 交于 P 、 B 两点且抛物线的顶点是 P
∴ 当 42≤m≤82 时，y1>y2
∴MN=y1−y2=−14m−622+2 .
∴ 当 m=62 时，MN 有最大值是 2
∴ 设 MN 与 BQ 交于 H 点则 M62,4 、 H62,7
∴S△BHM=12×3×22=32 .
∴S△BHM:S五边形QOPMH=32:322−32=3:29 .
∴ 当 MN 取最大值时两部分面积之比是 3:29．