2018年广东省广州市花都区中考一模数学试卷

这是一份2018年广东省广州市花都区中考一模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −4 的相反数是
A. 14B. −14C. 4D. −4

2. 下列图形中，属于中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 九年级的一个学习小组共有 5 人，他们在一次数学考试中成绩如下：80 分，86 分，70 分，92 分，65 分，那么他们数学成绩的中位数为
A. 65 分B. 70 分C. 80 分D. 92 分

4. 为了绿化校园，30 名学生共种 80 棵树苗．其中男生每人种 3 棵，女生每人种 2 棵，该班男生有 x 人，女生有 y 人．根据题意，所列方程组正确的是
A. x+y=80,3x+2y=30B. x+y=80,2x+3y=30C. x+y=30,3x+2y=80D. x+y=30,2x+3y=80

5. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，下列判断中错误的是
A. OD=DCB. AC=BC
C. AD=BDD. ∠AOC=12∠AOB

6. 已知 a+b=4，ab=3，则代数式 a+2b+2 的值是
A. 7B. 9C. 11D. 15

7. 在圆心角为 120∘ 的扇形 AOB 中，半径 OA=6 cm，则扇形 AOB 的面积是
A. 6π cm2B. 8π cm2C. 12π cm2D. 24π cm2

8. 已知 x−2>0，则下列二次根式一定有意义的是
A. 2−xB. x−1C. x−3D. x−4

9. 若二次函数 y=x2+2x+kb+1 图象与 x 轴有两个交点，则一次函数 y=kx+b 的大致图象可能是
A. B.
C. D.

10. 如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，点 E 在 BC 上，把这个矩形沿 EF 折叠后，使点 D 恰好落在 BC 边上的点 G 处，若矩形面积为 83 且 ∠AFG=60∘，GE=2BG，则折痕 EF 的长为
A. 4B. 42C. 2D. 22

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 随着“互联网 +”在各领域的延伸与融合，互联网移动医疗发展迅速，预计到 2018 年我国移动医疗市场规模将达到 291500 万元，将 291500 用科学记数法表示为 ．

12. 两个相似三角形的面积比为 1:9，则它们的周长比为 ．

13. 分式方程 2x−3=3x 的解是 ．

14. 如图，⊙O 的半径为 6，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，连接 OB，OC．若 ∠BAC+∠BOC=180∘，则弦 BC 的长为 ．

15. 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 −3,0，若 a+b+c=0，则此抛物线的对称轴是 ．

16. 如图，∠MON=30∘，点 B1 在 OM 边上，OB1=23，过点 B1 作 A1B1⊥OM 交 ON 于点 A1，以 A1B1 为边在外侧作等边三角形 A1B1C1，再过点 C1 作 A2B2⊥OM，分别交 OM，ON 于点 B2，A2，再以 A2B2 为边在的外侧作等边三角形 A2B2C2⋯⋯ 按此规律进行下去，则第 3 个等边三角形 A3B3C3 的周长为 ，第 n 个等边三角形 AnBnCn 的周长为 ．（用含 n 的代数式表示）

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2−6x+5=0．

18. 已知：如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 边上的一点，且 AE=CF．求证：DE=DF．

19. 先化简，再求值：a+1a+1a2−a，其中 a 是一次函数 y=x−3 的图象与 x 轴交点的横坐标．

20. 九（1）班 48 名学生参加学校举行的“珍惜生命，远离毒品”知识竞赛初赛，赛后对成绩进行分析，制作如下的频数分布表，请解答下列问题：
分数段频数人数60≤x<70a70≤x<801680≤x<902490≤x<1004
（1）a= ；
（2）全校共有 600 名学生参加初赛，估计该校成绩 90≤x<100 范围内的学生有多少人?
（3）九（1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，若在该三位同学中任选两人参加决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

21. 如图，线段 OA 与反比例函数 y=m−1x 在第一象限的图象相交于点 B4,3，点 B 是 OA 的中点，AC∥x 轴交图象于点 C．求：
（1）m 的值；
（2）求 AC 的长．

22. 如图，BC∥AD，斜坡的 AB 长为 10 米，坡度 i=1:3，在点 B 处测得旗杆顶端的仰角为 70∘，点 B 到旗杆底部 C 的距离为 4 米．
（1）求斜坡 AB 的坡角 α 的度数；
（2）求旗杆顶端离地面的高度 ED 的长．（结果精确到 0.1 米）

23. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆．
（1）尺规作图：作出 ∠C 的角平分线 CD，与 ⊙O 交于点 D，与 AB 交于点 E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接 BD．
①求证：△BDE∽△CDB；
②若 BD=7，DE⋅EC=3，求 DE 的长．

24. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过 A−2,5，B−1,0，与 x 轴交于点 C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点 P 直线 AC 下方抛物线上的一动点，求 △PAC 面积的最大值；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点 Q，使 △ACQ 是直角三角形?若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 已知，如图 1，正方形 ABCD 的边长为 5，点 E，F 分别在边 AB，AD 的延长线上，且 BE=DF，连接 EF．
（1）证明：EF⊥AC；
（2）将 △AEF 绕点 A 顺时针方向旋转，当旋转角 α 满足 0∘<α<45∘ 时，设 EF 与射线 AB 交于点 G，与 AC 交于点 H，如图所示，试判断线段 FH，HG，GE 的数量关系，并说明理由；
（3）若将 △AEF 绕点 A 旋转一周，连接 DF，BE，并延长 EB 交直线 DF 于点 P，连接 PC，试说明点 P 的运动路径并求线段 PC 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. C【解析】将 5 人的成绩重新排列为 65，70，80，86，92，
∴ 其中位数为 80 分．
4. C【解析】该班男生有 x 人，女生有 y 人．根据题意得：x+y=30,3x+2y=80.
5. A
【解析】∵AB 是 ⊙O 的弦，半径 OC⊥AB，
∴AC=BC，AD=BD，∠AOC=∠BOC=12∠AOB，B，C，D正确，不符合题意；
OD 与 DC 不一定相等，A错误，符合题意．
6. D【解析】a+2b+2=ab+2a+2b+4=ab+2a+b+4.
当 a+b=4，ab=3 时，
原式=3+2×4+4=3+8+4=15.
7. C
8. B【解析】∵x−2>0，
∴2−x<0，x−1>1，x−3>−1，x−4>−2，
∴x−1>0．
9. A【解析】∵ 二次函数 y=x2+2x+kb+1 图象与 x 轴有两个交点，
∴Δ=22−4×1kb+1>0，解得：kb<0．
当 k>0，b<0 时，一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；
当 k<0，b>0 时，一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限．
10. D
【解析】由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．
∵∠GFE+∠DFE=180∘−∠AFG=120∘，
∴∠GFE=60∘．
∵AF∥GE，∠AFG=60∘，
∴∠FGE=∠AFG=60∘，
∴△GEF 为等边三角形，
∴EF=GE．
∵∠FGE=60∘，∠FGE+∠HGE=90∘，
∴∠HGE=30∘．
在 Rt△GHE 中，∠HGE=30∘，
∴GE=2HE=2CE，
∴GH=GE2−HE2=3HE=3CE．
∵GE=2BG，
∴BC=BG+GE+EC=4EC．
∵ 矩形 ABCD 的面积为 83，
∴4EC⋅3EC=83，
∴EC=2，EF=GE=22．
第二部分
11. 2.915×105
【解析】291500=2.915×105．
12. 1:3
【解析】由相似三角形面积比等于周长比的平方，所以其周长比为 1:3．
13. x=9
【解析】将方程两边同时乘以 xx−3 得
2x=3x−3,
解得
x=9,
经检验，x=9 是原分式方程的解．
14. 63
【解析】作 OH⊥BC 于 H，如图，
则 BH=CH，
∵∠BAC+∠BOC=180∘，
而 ∠BAC=12∠BOC，
∴12∠BOC+∠BOC=180∘，解得 ∠BOC=120∘，
∵OB=OC，
∴∠OBC=30∘，
∴OH=12OB=3，
∴BH=3OH=33，
∴BC=2BH=63．
15. 直线 x=−1
【解析】∵a+b+c=0，
∴ 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 1,0，
∴ 抛物线与 x 轴的两交点分别为 −3,0 和 1,0，
∴ 此抛物线的对称轴是直线 x=−3+12=−1．
16. 272，3n2n−2
【解析】因为 OB1=23，∠MON=30∘，
所以 A1B1=33OB1=2，
所以 B1B2=32A1B1=3，OB2=OB1+B1B2=33，
所以 A2B2=3．
同理：OB3=932，A3B3=92，
所以三角形 A3B3C3 的周长为 2A3B3=272．
因为 A1B1=33OB1=2，A2B2=1+32×33A1B1=3，A3B3=1+32×33A2B2=92，A4B4=1+32×33A3B3=274，⋯，
所以 AnBn=32n−1×33OB1=232n−1，
所以第 n 个等边三角形 AnBnCn 的周长为 3AnBn=632n−1=3n2n−2．
第三部分
17. 分解因式得：
x−1x−5=0,x−1=0,x−5=0,x1=1,x2=5.
18. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴DA=DC，∠A=∠C，
在 △DAE 和 △DCF 中，
DA=DC,∠A=∠C,AE=CF,
∴△DAE≌△DCF，
∴DE=DF．
19. 原式=a2−1+1aa−1=a2aa−1=aa−1.
一次函数 y=x−3，令 y=0，得到 x=3，即 a=3，
原式=aa−1=32.
20. （1） 4
【解析】a=48−16−24−4=4．
（2） 600×448=50（人）．
答：估计该校成绩 90≤x<100 范围内的学生有 50 人．
（3） 根据题意，画出树状图：
∴ 共有 6 种等可能结果，其中甲、乙被选中的有 2 种情形，
∴ 选中甲、乙两位同学的概率为 26=13．
21. （1） ∵ 反比例函数 y=m−1x 的图象过点 B4,3，
∴m−1=4×3，
∴m=13．
（2） ∵ 点 B 是 OA 的中点，B4,3，
∴A8,6．
∵AC∥x 轴，
∴C，A 两点纵坐标相同，都为 6．
将 y=6 代入 y=12x，解得 x=2，
∴C2,6，
∴AC=8−2=6．
22. （1） 如图所示，过点 B 作 BF⊥AD 于点 F，
∵i=tan∠BAF=BFAF=13=33，
∴∠BAF=30∘，即 α=30∘．
（2） ∵∠BAF=30∘，AB=10，
∴CD=BF=12AB=5（米），
在 Rt△BCE 中，
∵∠EBC=70∘，BC=4，
∴EC=BCtan∠EBC≈10.99（米），
则 ED=EC+CD=5+10.99≈16（米）．
答：旗杆顶端离地面的高度 ED 的长约为 16 米．
23. （1） ∠C 的角平分线 CD，如图所示：
（2） ① ∵∠DBE=∠ACD，∠ACD=∠DCB，
∴∠DBE=∠DCB，
∵∠BDE=∠CDB，
∴△BDE∽△CDB．
② ∵△BDE∽△CDB，
∴BD2=DE⋅DC=7，
∴DEDE+EC=7，
∴DE2+DE⋅EC=7，
∵DE⋅EC=3，
∴DE2=4，
∴DE=2 或 DE=−2（舍去）．
24. （1） 因为二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过 A−2,5，B−1,0，
所以 4−2b+c=5,1−b+c=0, 解得：b=−2,c=−3,
所以这个二次函数的表达式为：y=x2−2x−3．
（2） 将 y=0 代入 y=x2−2x−3 得 x2−2x−3=0，解得 x1=−1，x2=3，
所以点 C3,0．
因为点 P 直线 AC 下方抛物线上的一动点，过点 P 作 PE⊥x 轴交 AC 于点 E，如图所示：
则 S△PAC=12PE⋅xc−xA，
由 A−2,5，C3,0 得直线 AC 的解析式为：y=−x+3，
所以设 Px,x2−2x−3，则点 Ex,−x+3，
所以 xC−xA=3−−2=5，PE=yE−yp=−x+3−x2−2x−3=−x2+x+6，
所以 S△PAC=12PE⋅xc−xA=12⋅−x2+x+6⋅5=−52x2+52x+15，
因为 x=−b2a=−522⋅−52=12，
将 x=12 代入 S△PAC=−52x2+52x+15 可得最大面积为 S△PAC=1258．
（3） 点 Q 的坐标为 1,8 或 1,−2 或 1,−1 或 1,6．
【解析】y=x2−2x−3=x−12−4，
所以对称轴是直线 x=1，
因为 A−2,5，C3,0，
所以 AC2=−2−32+5−02=50，
设点 Q 的坐标为 1,y 分三种情况：
①如果 ∠QAC=90∘，那么 QA2+AC2=QC2，
则 1+22+y−52+50=1−32+y−02，
解得 y=8，
所以 Q11,8．
②如果 ∠QCA=90∘，那么 QC2+AC2=QA2，
则 1−32+y−02+50=1+22+y−52，
解得 y=−2，
所以 Q21,−2．
③如果 ∠CQA=90∘，那么 QC2+QA2=AC2，
则 1−32+y−02+1+22+y−52=50，
解得 y=−1 或 y=6．
所以 Q31,−1，Q41,6．
综上所述，所求点 Q 的坐标为 1,8 或 1,−2 或 1,−1 或 1,6．
25. （1） 如图 1，
在正方形 ABCD 中，AB=AD，∠DAB=90∘，
∵BE=DF，
∴AB+BE=AD+DF，即 AE=AF，
又 ∵∠DAB=90∘，
∴∠E=∠F=45∘，
又 ∵ 在正方形 ABCD 中，∠DAC=∠BAC=45∘，
∴∠AME=90∘，即 EF⊥AC．
（2） FH2+GE2=HG2，
理由是：如图 2，过 A 作 AK⊥AC，截取 AK=AH，连接 GK，EK，
∵∠CAB=45∘，
∴∠CAB=∠KAB=45∘，
∵AG=AG，AK=AH，
∴△AGH≌△AGK，
∴GH=GK，
由旋转得：∠FAE=90∘，AF=AE，
∵∠HAE=90∘，
∴∠FAH=∠KAE，
∴△AFH≌△AEK，
∴∠AEK=∠AFH=45∘，FH=EK，
∵∠AEH=45∘，
∴∠KEG=45∘+45∘=90∘，
Rt△GKE 中，KG2=EG2+EK2，
即：FH2+GE2=HG2．
（3） 如图 3，
∵AD=AB，∠DAF=∠BAE，AE=AF，
∴△DAF≌△BAE，
∴∠DFA=∠BEA，
∵∠PNF=∠ANE，
∴∠FPE=∠FAE=90∘，
∴ 将 △AEF 绕点 A 旋转一周，总存在直线 EB 与直线 DF 垂直，
∴ 点 P 的运动路径是：以 BD 为直径的圆，如图 4，
当 P 与 C 重合时，PC 最小，PC=0，
当 P 与 A 重合时，PC 最大为 52，
∴ 线段 PC 的取值范围是：0≤PC≤52．