2018年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷

这是一份2018年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 某种药品说明书上标明保存温度是 20±3∘C，则该药品在 范围内保存最合适．
A. 17∘C∼20∘CB. 20∘C∼23∘CC. 17∘C∼23∘CD. 17∘C∼24∘C

2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是
A. B.
C. D.

3. 某班抽取 6 名同学参加体能测试，成绩如下（单位：分）：75，95，85，80，90，85．下列表述不正确的是
A. 众数是 85B. 中位数是 85C. 平均数是 85D. 方差是 15

4. 下列计算正确的是
A. a⋅b=abB. a+b2=a2+b2
C. 1x+1y=1xyD. −p2q3=−p5q3

5. 在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=12，BC=5，现以 AC 为轴旋转一周得到一个圆锥．则该圆锥的侧面积为
A. 130πB. 90πC. 25πD. 65π

6. 已知方程组 3x+y=m+1,x−3y=2m 的解 x，y 满足 x+2y≥0，则 m 的取值范围是
A. m≥13B. 13≤m≤1C. m≤1D. m≥−1

7. 如图，已知 ⊙O 中，AB 是弦，半径 OC⊥AB，垂足为点 D，要使四边形 OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是
A. OA=ACB. AD=BD
C. ∠CAD=∠CBDD. ∠OCA=∠OCB

8. 如图，有一个边长为 2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是
A. 3 cmB. 23 cmC. 2 cmD. 4 cm

9. 平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是 A1,2，B3,2，C2,3，当直线 y=12x+b 与 △ABC 的边有交点时，b 的取值范围是
A. −2≤b≤2B. 12≤b≤2C. 12≤b≤32D. 32≤b≤2

10. 正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，DE 平分 ∠ADO 交 AC 于点 E，把 △ADE 沿 AD 翻折，得到 △ADEʹ，点 F 是 DE 的中点，连接 AF，BF，EʹF．若 AE=2．下列结论：①AD 垂直平分 EEʹ，②tan∠ADE=2−1，③C△ADE−C△ODE=22−1，④S四边形AEFB=3+22，其中结论正确的个数是
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：a3−ab2= ．

12. 函数 y=x−1x 自变量 x 的取值范围是 ．

13. 三角形的重心是三角形的三条 的交点．

14. 在平面直角坐标系中，在 x 轴，y 轴的正半轴上分别截取 OA，OB，使 OA=OB；再分别以点 A，B 为圆心，以大于 12AB 长为半径作弧，两弧交于点 C．若点 C 的坐标为 m−3,2n，则 n= （用含 m 的代数式表示）．

15. 某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有 20 道题．答对一题加 10 分，答错或不答一题扣 5 分，小辉在初赛得分超过 160 分顺利进入决赛．设他答对 x 道题，根据题意，可列出关于 x 的不等式为 ．

16. 设关于 x 的方程 x2+k−4x−4k=0 有两个不相等的实数根 x1，x2，且 0
三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解不等式组 2x+4>0,x−2x−1≥1, 并把解集在数轴上表示出来．

18. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，M 为 AD 中点，连接 OM，CM，且 CM 交 BD 于点 N，ND=1．
（1）证明：△MNO∽△CND；
（2）求 BD 的长．

19. 化简 a9−a2⋅a+3a2−2a−13−a，并求值，其中 a 与 2，3 构成 △ABC 的三边，且 a 为整数．

20. 海珠区某学校为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水平，决定推进“一人一球”活动计划．学生可根据自己的喜好选修一门球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球），陈老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图）．
（1）求出该班的总人数，并将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有学生 2500 人，请估计约有多少人选修足球?
（3）该班班委 4 人中，1 人选修足球，1 人选修篮球，2 人选修羽毛球，陈老师要从这 4 人中任选 2 人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的 2 人中至少有 1 人选修羽毛球的概率．

21. 如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=6x 图象交于 A2,m 和 Bn,−2．
（1）求此一次函数解析式及 m，n 的值；
（2）结合图象求不等式 6x−kx>b 的解集．

22. 钓鱼岛自古就是中国的领土，我国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视．M，N 为钓鱼岛上东西海岸线上的两点，MN 之间的距离约为 3.6 km，某日，我国一艘海监船从 A 点沿正北方向巡航，在 A 点测得岛屿的西端点 N 在点 A 的北偏东 35∘ 方向；海监船继续航行 4 km 后到达 B 点，测得岛屿的东端点 M 在点 B 的北偏东 60∘ 方向，求点 M 距离海监船航线的最短距离（结果精确到 0.1 km，tan35∘≈0.7）．

23. 如图，在矩形 OABC 中，OA=3，OC=4，点 E 是 BC 上的一个动点，CE=a14≤a≤52，过点 E 的反比例函数 y=kx 的图象与 AB 边交于点 F．
（1）当 a=2 时求 k 的值；
（2）若 OD=1，设 S 为 △EFD 的面积，求 S 的取值范围．

24. 如图，在 ⊙O 中，直径 CD 垂直于不过圆心 O 的弦 AB，垂足为点 N，连接 AC，点 E 在 AB 上，且 AE=CE，过点 B 作 ⊙O 的切线交 EC 的延长线于点 P．
（1）求证：AC2=AE⋅AB；
（2）试判断 PB 与 PE 是否相等，并说明理由；
（3）设 ⊙O 的半径为 4，N 为 OC 的中点，点 Q 在 ⊙O 上，求线段 PQ 的最小值．

25. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为 4,−1 的抛物线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 B，C 两点（点 B 在点 C 的左侧），已知 A 点坐标为 0,3．
（1）求此抛物线的解析式
（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断抛物线的对称轴 l 与 ⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A，C 两点之间，问：当点 P 运动到什么位置时，△PAC 的面积最大?并求出此时 P 点的坐标和 △PAC 的最大面积．
答案
第一部分
1. C【解析】20∘C−3∘C=17∘C，20∘C+3∘C=23∘C，
∴ 该药品在 17∘C∼23∘C 范围内保存才合适．
2. C
3. D【解析】数据由小到大排列为 75，80，85，85，90，95，它的平均数为 75+80+85+85+90+956=85，
数据的中位数为 85，众数是 85，
数据的方差 =16×75−852+80−852+2×85−852+90−852+95−852=41.67．
4. A【解析】A、 a⋅b=ab，正确；
B、 a+b2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
C、 1x+1y=y+xxy，故此选项错误；
D、 −p2q3=−p6q3，故此选项错误．
5. D
【解析】∵∠C=90∘，AC=12，BC=5，
∴AB=AC2+BC2=13，
∴ 该圆锥的侧面积 =12×2×π×5×13=65π．
6. C【解析】两个方程相减后乘 12 得：12×3x+y−x−3y=12×m+1−2m，
整理可得：x+2y=1−m2，
把 x+2y=1−m2 代入 x+2y≥0 中，
可得：1−m2≥0，
解得：m≤1．
7. A【解析】OA=AC．理由如下：
∵ 在 ⊙O 中，AB 是弦，半径 OC⊥AB，
∴AD=DB，∠ADO=∠ADC=90∘，
在 Rt△ADO 和 Rt△ADC 中，
AO=AC,AD=AD,
∴Rt△ADO≌Rt△ADC，
∴OD=DC，
∵AD=DB，AB⊥OC，OD=DC，
∴ 四边形 OACB 为菱形．
8. B【解析】如图所示，正六边形的边长为 2 cm，OG⊥BC，
∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠BOC=360∘÷6=60∘，
∵OB=OC，OG⊥BC，
∴∠BOG=∠COG=30∘，
∵OG⊥BC，OB=OC，BC=2 cm，
∴BG=12BC=12×2=1cm，
∴OB=BGsin30∘=2cm，
∴OG=OB2−BG2=22−12=3cm，
∴ 圆形纸片的直径为 23 cm．
9. B【解析】直线 y=12x+b 经过点 B 时，将 B3,2 代入直线 y=12x+b 中，可得 32+b=2，解得 b=12；
直线 y=12x+b 经过点 A 时：将 A1,2 代入直线 y=12x+b 中，可得 12+b=2，解得 b=32；
直线 y=12x+b 经过点 C 时：将 C2,3 代入直线 y=12x+b 中，可得 1+b=3，解得 b=2．
故 b 的取值范围是 12≤b≤2．
10. C
【解析】如图，
连接 EB，EEʹ，作 EM⊥AB 于 M，EEʹ 交 AD 于 N．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，∠DAC=∠CAB=∠DAEʹ=45∘，
根据对称性，△ADE≌△ADEʹ≌△ABE，
∴DE=DEʹ，AE=AEʹ，
∴AD 垂直平分 EEʹ，故 ① 正确，
∴EN=NEʹ，
∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45∘，AE=2，
∴AM=EM=EN=AN=1，
∵ED 平分 ∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，
∴EN=EO=1，AO=DO=2+1，
∴tan∠ADE=tan∠ODE=OEDO=2−1，故 ② 正确，
∴AB=AD=2AO=2+2，
∴C△ADE−C△ODE=AD+AE−DO−EO=2，故 ③ 错误，
∴S△AEB=S△AED=12×1×2+2=1+22，S△BDE=S△ADB−2S△AEB=1+2，
∵DF=EF，
∴S△EFB=1+22，
∴S四边形AEFB=S△AEB+S△BEF=3+222，故 ④ 错误．
第二部分
11. aa+ba−b
12. x≥1
【解析】若函数 y=x−13 有意义，则 x−1≥0，解得 x≥1．
13. 中线
14. m−32
【解析】∵OA=OB；分别以点 A，B 为圆心，以大于 12AB 长为半径作弧，两弧交于点 C，
∴C 点在 ∠BOA 的平分线上，
∴C 点到横纵坐标轴距离相等，即 m−3=2n，
∴n=m−32．
15. 10x−520−x>160
【解析】设他答对 x 道题，则答错或不答的题数为 20−x 道，
根据题意，可列出关于 x 的不等式为 10x−520−x>160．
16. −2【解析】如图，
∵ 关于 x 的方程 x2+k−4x−4k=0 有两个不相等的实数根 x1，x2，且 0 ∴ 抛物线 y=x2+k−4x−4k 与 x 轴的交点在直线 x=2 的两侧，
∴−4k>0,4+2k−4−4k<0,
解得：−2第三部分
17. 解不等式 2x+4>0，得：
x>−2.
解不等式 x−2x−1≥1，得：
x≤1.
则不等式组的解集为
−2将解集表示在数轴上如图所示：
18. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 交于点 O，
∴ 点 O 是 AC 的中点．
∵M 为 AD 中点，
∴OM 是 △ACD 的中位线，
∴OM∥CD，
∴∠OMN=∠NCD．
又 ∵∠MNO=∠CND，
∴△MNO∽△CND；
（2） ∵OM 是 △ACD 的中位线，
∴OM=12CD．
∵ 由（1）知，△MNO∽△CND，ND=1，
∴OMCD=ONDN=12，
∴ON=12，
∴OD=ON+ND=32，
∴BD=2OD=3．
19. 原式=a3+a3−a⋅a+3aa−2−13−a=1a−23−a−a−2a−23−a=3−aa−23−a=1a−2,
∵a 与 2，3 构成 △ABC 的三边，
∴1又 ∵a 为整数且 a≠±3，a≠2，a≠0，
∴a=4，
则 原式=12．
20. （1） 该班总人数 =12÷24%=50（人）．
E组人数 =50×10%=5（人），A组人数 =50−7−12−5−9=17（人），
补全的条形图如图所示：
（2） 2500×17%=425（人）．
答：若该校共有学生 2500 人，估计约有 425 人选修足球．
（3） 画树状图如图所示：A 表示足球，B 表示羽毛球，C 表示篮球．
共有 12 种等可能的结果，其中选出的 2 人中，至少有 1 人选修羽毛球有 10 种可能，
所以选出的 2 人至少有 1 人选修羽毛球概率 =1012=56．
21. （1） ∵ 反比例函数 y=6x 图象过 A2,m 和 Bn,−2，
∴2m=6，−2n=6，
解得：m=3，n=−3；
∵m=3，n=−3，
∴A2,3 和 B−3,−2，
∵ 一次函数 y=kx+b 过 A，B 两点，
∴3=2k+b,−2=−3k+b,
解得：k=1,b=1,
∴ 一次函数解析式为 y=x+1．
（2） ∵6x−kx>b，
∴6x>kx+b，
由图象得：不等式的解集为：x<−3 或 022. 如图，延长 MN 交 AB 于 K．
设 KN=x km，KB=y km，
在 Rt△MBK 中，tan60∘=MKKB，
∴x+3.6=3y, ⋯⋯①
在 Rt△ANK 中，tan35∘=KNAK，
∴x≈0.74+y, ⋯⋯②
由 ①② 可得 x≈7.1，
∴MK=7.1+3.6=10.7km．
答：点 M 距离海监船航线的最短距离为 10.7 km．
23. （1） ∵ 四边形 OABC 是矩形，
∴BC∥x 轴，
∵OC=4，CE=a=2，
∴E2,4，
∴k=2×4=8．
（2） ∵OA=3，OD=1，
∴AD=2，
连接 OE，OF，
∴S△ECO=S△OAF，
则 12×4×a=12×3×AF，解得：AF=4a3，
S=S矩形OABC−S△ADF−S△BEF−S梯形COED=4×3−12AD×AF−12BE×BF−12OD+CE×OC=12−12×2×4a3−123−a4−4a3−12×4×1+a=−2a23+23a+4=−23a−122+256,
如图所示，
当 x=52 时，S=−2352−122+256=32，
∴S 的取值范围是 32≤S≤256．
24. （1） 如图 1，连接 BC，
∵CD 为 ⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴BC=AC，
∴∠A=∠ABC．
∵EC=AE，
∴∠A=∠ACE．
∴∠ABC=∠ACE．
∵∠A=∠A，
∴△AEC∽△ACB．
∴ACAB=AEAC，
∴AC2=AE⋅AB．
（2） PB=PE．
理由是：如图 2，连接 OB，
∵PB 为 ⊙O 的切线，
∴OB⊥PB，
∴∠OBP=90∘，
∴∠PBN+∠OBN=90∘．
∵∠OBN+∠COB=90∘，
∴∠PBN=∠COB．
∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A，
∴∠PEB=∠COB，
∴∠PEB=∠PBN．
∴PB=PE．
（3） 如图 3，
∵N 为 OC 的中点，
∴ON=12OC=12OB，
在 Rt△OBN 中，∠OBN=30∘，
∴∠COB=60∘，
∵OC=OB，
∴△OCB 为等边三角形，
∵Q 为 ⊙O 上任意一点，连接 PQ，OQ，
OQ=4，则 PQ+OQ 的值最小时，PQ 最小，
当 P，Q，O 三点共线时，PQ 最小，
∴Q 为 OP 与 ⊙O 的交点时，PQ 最小，
∵∠A=12∠COB=30∘，
∴∠PEB=2∠A=60∘，∠ABP=90∘−30∘=60∘，
∴△PBE 是等边三角形，
在 Rt△OBN 中，根据勾股定理得，BN=23，
∴AB=2BN=43，
设 AE=x，则 CE=x，EN=23−x，
在 Rt△CNE 中，x2=22+23−x2，解得：x=433，
∴BE=PB=43−433=833，
在 Rt△OPB 中，OP=PB2+OB2=4213，
∴PQ=4213−4．
则线段 PQ 的最小值是 4213−4．
25. （1） 设抛物线为 y=ax−42−1，
∵ 抛物线经过点 A0,3，
∴3=a0−42−1，a=14；
∴ 抛物线为 y=14x−42−1=14x2−2x+3．
（2） 相交．
连接 CE，则 CE⊥BD，
当 14x−42−1=0 时，x1=2，x2=6．
A0,3，B2,0，C6,0，
对称轴 x=4，
∴OB=2，AB=22+32=13，BC=4．
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90∘，∠OBA+∠EBC=90∘，
∴△AOB∽△BEC，
∴ABBC=OBCE，即 134=2CE，解得 CE=81313．
∵81313>2，
∴ 抛物线的对称轴 l 与 ⊙C 相交．
（3） 如图，过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点 Q；
可求出 AC 的解析式为 y=−12x+3；
设 P 点的坐标为 m,14m2−2m+3，则 Q 点的坐标为 m,−12m+3；
∴PQ=−12m+3−14m2−2m+3=−14m2+32m．
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=12×−14m2+32m×6=−34m−32+274；
∴ 当 m=3 时，△PAC 的面积最大为 274；
此时，P 点的坐标为 3,−34．