2018年江苏省无锡市锡山区天一中学中考二模数学试卷

这是一份2018年江苏省无锡市锡山区天一中学中考二模数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 实数 −2 的绝对值是
A. 2B. 12C. −12D. −2

2. 若二次根式 x−2 有意义，则 x 的取值范围是
A. x<2B. x≠2C. x≤2D. x≥2

3. 下列运算正确的是
A. a6÷a2=a3B. a5−a2=a3
C. 3a32=6a9D. 2a3b2−3a3b2=−a6b2

4. 下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 若关于 x 的方程 2x−m=x−2 的解为 x=3，则 m 的值为
A. −5B. 5C. −7D. 7

6. 某农科所对甲、乙两种小麦各选用 10 块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是 x甲=610 千克，x乙=608 千克，亩产量的方差分别是 s甲2，s乙2．则关于两种小麦推广种植的合理决策是
A. 甲的平均亩产量较高，应推广甲
B. 甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广
C. 甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲
D. 甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙

7. 上海世博会的某纪念品原价 150 元，连续两次涨价 a% 后售价为 216 元．下列所列方程中正确的是
A. 1501+2a%=216B. 1501+a%2=216
C. 1501+a%×2=216D. 1501+a%+1501+a%2=216

8. 下列命题中错误的是
A. 一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形
B. 不在同一直线上的三点确定一个圆
C. 三角形的外心到三角形各边距离相等
D. 对角线相等的平行四边形是矩形

9. 在平面直角坐标系中，点 Aa,23 是直线 y=3x 上一点，以 A 为圆心，2 为半径作 ⊙A，若 Px,y 是 ⊙A 上任意一点，则 yx 的最小值为
A. 1B. 2C. 3−1D. 33

10. 如图 1，正方形纸片 ABCD 的边长为 2，翻折 ∠B，∠D，使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P，EF，GH 分别是折痕（如图 2）．设 AE=x0①当 x=1 时，点 P 是正方形 ABCD 的中心；
②当 x=12 时，EF+GH>AC；
③当 0④当 0其中正确的选项是
A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若分式 x−3x+1 的值为 0，则 x= ．

12. 因式分解：2x2−8= ．

13. 粤海铁路是我国第一条横跨海峡的铁路通道，设计年输送货物能力为 11000000 吨，用科学记数法应记为 吨．

14. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了 30 名同学，结果如表：
每天使用零花钱单位:元12345人数25896
则这 30 名同学每天使用的零花钱的中位数是 元．

15. 已知双曲线 y=k−1x 经过点 −2,3，那么 k 等于 ．

16. 若圆锥的底面半径为 3 cm，高是 4 cm，则它的侧面展开图的面积为 ．

17. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，点 D，E 分别在 AC，BC 上，且 ∠CDE=∠B，将 △CDE 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 F 处．若 AC=8，AB=10，则 CD 的长为 ．

18. 如图，在 ⊙O 中，B，P，A，C 是圆上的点，弧PB=弧PC，PD⊥CD，CD 交 ⊙O 于 A，若 AC=AD，PD=43，sin∠PAD=45，则 △PAB 的面积为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：
（1）2−1−−0.50−sin30∘；
（2）x−22−xx−3．

20. 请回答下列问题：
（1）解方程：3−xx−4+14−x=1；
（2）解不等式组：12x+1<32,1−5x+1≤6.

21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 为对角线 BD 上的两点，且 ∠BAE=∠DCF，求证：BE=DF．

22. 学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A 级：对学习很感兴趣；B 级：对学习较感兴趣；C 级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）将图①补充完整；
（3）求出图②中 C 级所占的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近 8000 名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括 A 级和 B 级）?

23. 有 3 张纸牌，分别是红桃 3，红桃 4 和黑桃 5（简称红 3，红 4，黑 5），把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．
（1）两次抽得纸牌均为红桃的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）；
（2）甲、乙两人作游戏，现有两种方案．
A方案：若两次抽得花色相同则甲胜，否则乙胜．
B方案：若两次抽得纸牌的数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．
请问甲选择哪种方案获胜率更高?

24. 如图，已知在 △ABC 中，∠A=90∘．
（1）请用圆规和直尺作出 ⊙P，使圆心 P 在 AC 边上，且与 AB，BC 两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）在（1）的条件下，若 ∠B=45∘，AB=1，⊙P 切 BC 于点 D，求劣弧 AD 的长．

25. 某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为 8 元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．
小丽：如果以 10 元/千克的价格销售，那么每天可售出 300 千克．
小强：如果每千克的利润为 3 元，那么每天可售出 250 千克．
小红：如果以 13 元/千克的价格销售，那么每天可获取利润 750 元．
【利润 =（销售价 − 进价）× 销售量】
（1）请根据他们的对话填写下表：
销售单价x元/kg101113销售量ykg
（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量 y（千克）与销售单价 x（元）之间存在怎样的函数关系．并求 y（千克）与 x（元）（x>0）的函数关系式；
（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为 W 元，求 W 与 x 的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大?最大利润是多少元?

26. 二次函数 y=ax2+bx+4 的图象与 x 轴交于两点 A，B，与 y 轴交于点 C，且 A−1,0，B4,0
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图 1，抛物线的对称轴 m 与 x 轴交于点 E，CD⊥m，垂足为 D，点 F−76,0，动点 N 在线段 DE 上运动，连接 CF，CN，FN，若以点 C，D，N 为顶点的三角形与 △FEN 相似，求点 N 的坐标；
（3）如图 2，点 M 在抛物线上，且点 M 的横坐标是 1，将射线 MA 绕点 M 逆时针旋转 45∘，交抛物线于点 P，求点 P 的坐标．

27. 请回答下列问题：
（1）方法感悟：
如图①，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边 BC，CD 上分别存在点 G，H，使得四边形 EFGH 的周长最小?若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（2）问题解决：
如图②，有一矩形板材 ABCD，AB=3 米，AD=6 米，现想从此板材中做出一个面积尽可能大的四边形 EFGH 部件，使 ∠EFG=90∘，EF=FG=5 米，∠EHG=45∘，经研究，只有当点 E，F，G 分别在边 AD，AB，BC 上，且 AF
28. 如图，反比例函数 y=kx 的图象与一次函数 y=14x 的图象交于点 A，B，点 B 的横坐标是 4，点 P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线 AB 的上方．
（1）若点 P 的坐标是 1,4，直接写出 k 的值和 △PAB 的面积；
（2）设直线 PA，PB 与 x 轴分别交于点 M，N，求证：△PMN 是等腰三角形；
（3）设点 Q 是反比例函数图象上位于 P，B 之间的动点（与点 P，B 不重合），连接 AQ，BQ，比较 ∠PAQ 与 ∠PBQ 的大小，并说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】实数 −2 的绝对值是 2，故选：A．
2. D【解析】由题意得，x−2≥0，
解得，x≥2，
故选：D．
3. D【解析】A、 a6÷a2=a4，所以A错误；
B、 a5−a2，不是同类项不能合并，所以B错误；
C、 3a32=9a6，所以C错误；
D、 2a3b2−3a3b2=−a6b2，所以D正确；
故选：D．
4. A【解析】既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．
故选：A．
5. B
【解析】把 x=3 代入方程得：6−m=3−2，
解得：m=5，故选：B．
6. D【解析】∵x甲=610 千克，x乙=608 千克，
∴ 甲、乙的平均亩产量相差不多，
∵ 亩产量的方差分别是 s甲2，s乙2．
∴ 乙的亩产量比较稳定．
7. B【解析】当商品第一次涨价 a% 时，其售价为 150+150a%=1501+a%；
当商品第二次涨价 a% 后，其售价为 1501+a%2．
∴1501+a%2=216．
8. C【解析】一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形，A正确，不符合题意；
不在同一直线上的三点确定一个圆，B正确，不符合题意；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，C错误，符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，D正确，不符合题意；
故选：C．
9. D【解析】作 AH⊥y 轴于 H 点，如图，
把 Aa,23 代入 y=3x 得 3a=23，解得 a=2，
∴A2,23，
在 Rt△OAH 中，tan∠AOH=AHOH=223=33，
∴∠AOH=30∘，
设 yx=k，则 y=kx，
当直线 OP 与 x 轴的正半轴的夹角最小时，k 的值最小，此时 OP 与 ⊙A 相切，
∴OA 平分 ∠POH，
∴∠HOP=60∘，
∴OP 与 x 轴的正半轴的夹角为 30∘，
∴k=yx=tan30∘=33，
即 yx 的最小值为 33．
10. C
【解析】（1）正方形纸片 ABCD，翻折 ∠B，∠D，
使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P，
∴△BEF 和 △DGH 是等腰直角三角形，
∴ 当 AE=1 时，重合点 P 是 BD 的中点，
∴ 点 P 是正方形 ABCD 的中心，故①结论正确；
（2）正方形纸片 ABCD，翻折 ∠B，∠D，
使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P，
∴△BEF∽△BAC，
∵x=12，
∴BE=2−12=32，
∴BEBA=EFAC，即 322=EFAC，
∴EF=34AC，同理，GH=14AC，
∴EF+GH=AC，故②结论错误；
（3）六边形 AEFCHG 面积 = 正方形 ABCD 的面积 −△EBF 的面积 −△GDH 的面积．
∵AE=x，
∴六边形 AEFCHG 面积=22−12BE⋅BF−12GD⋅HD=4−12×2−x⋅2−x−12x⋅x=−x2+2x+2=−x−12+3,
∴ 六边形 AEFCHG 面积的最大值是 3，故③结论正确；
（4）当 0 ∵EF+GH=AC，
六边形 AEFCHG 周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=AE+CH+FC+AG+EF+GH=2+2+22=4+22,
故六边形 AEFCHG 周长的值不变，故④结论正确．
第二部分
11. 3
【解析】依题意得 x−3=0，解得 x=3，
经检验，x=3 符合题意．
12. 2x+2x−2
【解析】2x2−8=2x+2x−2．
13. 1.1×107
【解析】将 11000000 用科学记数法表示为：1.1×107．
14. 3.5
【解析】30 个数据中，第 15 个和第 16 个数分别为 3，4，它们的平均数为 3.5，
∴ 这 30 名同学每天使用的零花钱的中位数为 3.5 元．
15. −5
【解析】根据题意，将点 −2,3 代入 y=k−1x，得：k−1=−6，
解得：k=−5，
故答案为：−5．
16. 15π cm2
【解析】因为圆锥的底面半径为 3 cm，高是 4 cm，
所以圆锥的母线长 =32+42=5cm，
所以圆锥的侧面展开图的面积 =12⋅2π⋅3⋅5=15πcm2．
17. 258
【解析】由折叠可得，∠DCE=∠DFE=90∘，
∴D，C，E，F 四点共圆，
∴∠CDE=∠CFE=∠B，
又 ∵CE=FE，
∴∠CFE=∠FCE，
∴∠B=∠FCE，
∴CF=BF，
同理可得，CF=AF，
∴AF=BF，即 F 是 AB 的中点，
∴Rt△ABC 中，CF=12AB=5，
由 D，C，E，F 四点共圆，可得 ∠DFC=∠DEC，
由 ∠CDE=∠B，可得 ∠DEC=∠A，
∴∠DFC=∠A，
又 ∵∠DCF=∠FCA，
∴△CDF∽△CFA，
∴CF2=CD×CA，即 52=CD×8，
∴CD=258．
解法二：
由对称性可知 CF⊥DE，
又 ∵∠DCE=90∘，
∴∠CDE=∠ECF=∠B，
∴CF=BF，同理可得 CF=AF，
∴F 是 AB 的中点，
∴CF=12AB=5，
又 ∵∠DFC=∠ACF=∠A，∠DCF=∠FCA，
∴△CDF∽△CFA，
∴CF2=CD×CA，即 52=CD×8，
∴CD=258．
18. 2
【解析】过 P 作 PH⊥AB 于 H，连接 BC，PC，
∵PB=PC，
∴PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC，
∵B，P，A，C 是圆 O 上的点，
∴∠PAD=∠PBC=∠PCB=∠PAB，
∵PH⊥AB，PD⊥CD，
∴PH=PD=43，
sin∠PAD=43PA=45，
∴PA=53，
∴AH=1=AD，PH=PD，
Rt△PCD 中，CD=2，PD=43，
由勾股定理得：PC=22+432=2133，
∴PB=PC=2133，
∴BH=PB2−PH2=21332−432=2，
∴S△ABP=12AB⋅PH=12×1+2×43=2．
第三部分
19. （1） 原式=12−1−12=−1.
（2） 原式=x2−4x+4−x2+3x=−x+4.
20. （1） 方程两边都乘以 x−4 得：
3−x−1=x−4.
解得：
x=3.
检验：把 x=3 代入 x−4≠0，
所以 x=3 是原方程的解，
即原方程的解是 x=3．
（2）
12x+1<32, ⋯⋯①1−5x+1≤6, ⋯⋯②
因为解不等式①得：
x<1.
解不等式②得：
x≥−2.
所以不等式组的解集为
−2≤x<1.
21. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
又已知 ∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=DF．
22. （1） 200
【解析】此次抽样调查中，共调查了 50÷25%=200（名）学生．
（2） C 级人数为 200−50−120=30（人），补全的条形统计图如图所示：
（3） C 级所占圆心角度数：360∘×1−25%−60%=360∘×15%=54∘．
（4） 达标人数约有 8000×25%+60%=6800（人）．
答：达标人数约有 6800 人．
23. （1） 列表如下：
红桃3红桃4黑桃5红桃3红3,红3红3,红4红3,黑5红桃4红4,红3红4,红4红4,黑5黑桃5黑5,红3黑5,红4黑5,黑5∵
一共有 9 种等可能的结果，其中两次抽得纸牌均为红桃的有 4 种结果，
∴ 两次抽得纸牌均为红桃的概率为 49．
（2） ∵ A方案中两次抽得花色相同的有 5 种结果，B方案中两次抽得纸牌的数字和为奇数的有 4 种结果，
∴ A方案甲获胜概率为 59；B方案甲获胜概率为 49，
故甲选择A方案获胜率高．
24. （1） 如图所示．
【解析】作法：作 ∠ABC 的角平分线交 AC 于点 P，以点 P 为圆心，AP 为半径作圆．
证明：过 P 作 PD⊥BC 于 D．
∵∠BAC=90∘，
∴⊙P 与 AB 相切，
∵BP 平分 ∠ABC，
∴AP=PD，
∵⊙P 的半径是 PA，
∴PD 也是 ⊙P 的半径，即 ⊙P 与 BC 也相切．
（2） 如图，∵⊙P 与 AB，BC 两边都相切，
∴∠BAP=∠BDP=90∘，
∵∠ABC=45∘，
∴∠APD=360∘−90∘−90∘−45∘=135∘，
∴∠DPC=45∘，
∴△DPC 是等腰直角三角形，
∴DP=DC，
在 Rt△ABC 中，AB=AC=1，
∴CB=2，
∵BP=BP，AP=PD，
∴Rt△ABP≌Rt△DBP，
∴BD=AB=1，
∴CD=PD=AP=2−1，
∴ 劣弧 AD 的长 =135π×2−1180=32−34π．
25. （1） 300；250；150
【解析】∵ 以 11 元/千克的价格销售，可售出 250 千克，
∴ 每涨一元就少 50 千克，
∴ 以 13 元/千克的价格销售，那么每天售出 150 千克，
故答案为 300，250，150．
（2） y 是 x 的一次函数．
设 y=kx+b，
∵x=10，y=300；x=11，y=250，
∴10k+b=300,11k+b=250,
解得 k=−50,b=800.
∴y=−50x+800，
经检验：x=13，y=150 也适合上述关系式，
∴y=−50x+800．
（3） W=x−8y=x−8−50x+800=−50x2+1200x−6400=−50x−122+800,
∵a=−50<0，
∴ 当 x=12 时，W 的最大值为 800，
即当销售单价为 12 元时，每天可获得的利润最大，最大利润是 800 元．
26. （1） 当 x=0 时，y=4，
∴C0,4，
设抛物线的解析式为 y=ax+1x−4，将点 C 的坐标代入得：−4a=4，
解得 a=−1，
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+3x+4．
（2） x=−b2a=32，
∴CD=32，EF=83，
设点 N 的坐标为 32,a，则 ND=4−a，NE=a．
当 △CDN∽△FEN 时，ENDN=EFCD，即 a4−a=169，
解得 a=6425，
∴ 点 N 的坐标为 32,6425，
当 △CDN∽△NEF 时，CDNE=DNEF，即 a32=834−a，解得：a=2 ，
∴ 点 N 的坐标为 32,2，
综上所述，点 N 的坐标为 32,6425 或 32,2．
（3） 如图所示：过点 A 作 AD∥y 轴，过点 M 作 DM∥x 轴，交点为 D，过点 A 作 AE⊥AM，取 AE=AM，作 EF⊥x 轴，垂足为 F，连接 EM 交抛物线与点 P．
∵AM=AE，∠MAE=90∘，
∴∠AMP=45∘．
将 x=1 代入抛物线的解析式得：y=6，
∴ 点 M 的坐标为 1,6．
∴MD=2，AD=6，
∵∠DAM+∠MAF=90∘，∠MAF+∠FAE=90∘，
∴∠DAM=∠FAE．
在 △ADM 和 △AFE 中，
∠D=∠AFE=90∘,∠DAM=∠FAE,AM=AE,
∴△ADM≌△AFE，
∴EF=DM=2，AF=AD=6，
∴E5,−2．
设 EM 的解析式为 y=kx+b，
将点 M 和点 E 的坐标代入得：k+b=6,5k+b=−2,
解得 k=−2，b=8，
∴ 直线 EM 的解析式为 y=−2x+8，
将 y=−2x+8 与 y=−x2+3x+4 联立，解得：x=1 或 x=4，
将 x=4 代入 y=−2x+8 得：y=0，
∴ 点 P 的坐标为 4,0．
27. （1） 存在，
理由：如图 2，作 E 关于 CD 的对称点 Eʹ，作 F 关于 BC 的对称点 Fʹ，连接 EʹFʹ，交 BC 于 G，交 CD 于 H，连接 FG，EH，
则 FʹG=FG，EʹH=EH，则此时四边形 EFGH 的周长最小，
由题意得：BFʹ=BF=AF=2，DEʹ=DE=2，∠A=90∘，
∴AFʹ=6，AEʹ=8，
∴EʹFʹ=10，EF=25，
∴ 四边形 EFGH 的周长的最小值 =EF+FG+GH+HE=EF+EʹFʹ=25+10，
∴ 在边 BC，CD 上分别存在点 G，H，
使得四边形 EFGH 的周长最小，最小值为 25+10．
（2） 能裁得，
理由：如图 3，
∵EF=FG=5，∠A=∠B=90∘，∠1+∠AFE=∠2+∠AFE=90∘，
∴∠1=∠2，
在 △AEF 与 △BGF 中，
∠1=∠2,∠FAE=∠GBF,EF=FG,
∴△AEF≌△BGF，
∴AF=BG，AE=BF，
设 AF=x，则 AE=BF=3−x，
∴x2+3−x2=52，
解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），
∴AF=BG=1，BF=AE=2，
∴DE=4，CG=5，
连接 EG，
作 △EFG 关于 EG 的对称 △EOG，
则四边形 EFGO 是正方形，∠EOG=90∘，
以 O 为圆心，以 OE 为半径作 ⊙O，
∵CE=CG=5，
则 ∠EHG=45∘ 的点在 ⊙O 上，
连接 FO，并延长交 ⊙O 于 H，则 H 在 EG 的垂直平分线上，连接 EH，GH，则 ∠EHG=45∘，
∵△EFG 的面积是定值，EG 也定值，要裁到的四边形 EFGH 的面积最大，只要 △EGH 的面积最大，
即：EHG 上一点到 EG 的距离最大，而 FH⊥EG 于 M，
∴ 点 H 到 EG 的距离最大，
∴ 如图 3 所示，四边形 EFGH 是要想裁得符合要求的面积最大的，
∴C 在线段 EG 的垂直平分线上，
∴ 点 F，O，H，C 在一条直线上，
∵EG=10，
∴OF=EG=10，
∵CF=BF2+BC2=22+62=210，
∴OC=10，
∵OH=OE=FG=5，
∴OH ∴ 点 H 在矩形 ABCD 的内部，
∴ 可以在矩形 ABCD，截得符合条件的面积最大的四边形 EFGH 部件，这个部件的面积 =12EG⋅FH=12×10×10+5=5+522，
∴ 当所截得的四边形部件为四边形 EFGH 时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为 5+522m2，
建立如图 4 所示的平面直角坐标系，过 H 作 HN⊥BC 于 N，
∵CH=CF−OF−OH=210−10−5，
∵HN∥BF，
∴HNBF=CHCF，
∴HN2=10+5210，
∴HN=1−22，
同理得：BNBC=FNFC，
∴BN6=10+5210，
∴BN=3+322，
∴H3+322,1−22．
28. （1） ∵ 点 P1,4 在反比例函数图象上，
∴k=4×1=4，
∵B 点横坐标为 4，
∴B4,1，
连接 OP，过 P 作 x 轴的平行线，交 y 轴于点 Pʹ，
过 B 作 y 轴的平行线，交 x 轴于点 Bʹ，两线交于点 D，如图 1，则 D4,4，
∴PPʹ=1，PʹO=4，OBʹ=4，BBʹ=1，
∴BD=4−1=3，PD=4−1=3，
∴S△POB=S矩形OBʹDPʹ−S△PPʹO−S△BBʹO−S△BDP=16−2−2−4.5=7.5，
∵A，B 关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S△PAO=S△PBO，
∴S△PAB=2S△PBO=15．
（2） ∵ 点 P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线 AB 的上方，
∴ 可设点 P 坐标为 m,4m，且可知 A−4,−1，
设直线 PA 解析式为 y=kʹx+b，
把 A，P 坐标代入可得 −4kʹ+b=−1,mkʹ+b=4m, 解得 kʹ=1m,b=4m−1,
∴ 直线 PA 解析式为 y=1mx+4m−1，令 y=0 可求得 x=m−4，
∴Mm−4,0，
同理可求得直线 PB 解析式为 y=−1mx+4m+1，令 y=0 可求得 x=m+4，
∴Nm+4,0，
作 PG⊥x 轴于点 G，如图 2，则 Gm,0，
∴MG=m−m−4=4，NG=m+4−m=4，
∴MG=NG，即 G 为 MN 中点，
∴PG 垂直平分 MN，
∴PM=PN，即 △PMN 是等腰三角形．
（3） ∠PAQ=∠PBQ，理由如下：
连接 QA 交 x 轴于 Mʹ，连接 QB 并延长交 x 轴于点 Nʹ，如图 3，
由（2）可得 PMʹ=PNʹ，即 ∠QMʹO=∠QNʹO，
∴∠MMʹA=∠QNʹO，
由（2）知 ∠PMN=∠PNM，
∴∠PMN−∠MMʹA=∠PNM−∠QNʹO，
∴∠PAQ=∠NBNʹ，
又 ∠NBNʹ=∠PBQ，
∴∠PAQ=∠PBQ．