2018年广东省深圳市坪山新区中考数学一模试卷

这是一份2018年广东省深圳市坪山新区中考数学一模试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 23 的相反数是
A. −23B. 23C. −32D. 32

2. 计算 a3⋅a4 的结果是
A. a5B. a7C. a8D. a12

3. 如图所示几何体的俯视图是
A. B.
C. D.

4. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 下列说法正确的是
A. 掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6 点朝上是必然事件
B. 了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式
C. “明天降雨的概率为 0.5”表示明天有半天都在降雨
D. 甲、乙两人在相同条件下各进行 10 次射击，他们的成绩平均数相同，方差分别是 0.4 和 0.6，则甲的射击成绩较稳定

6. 不等式 2x−3<1 的解集在数轴上表示为
A. B.
C. D.

7. 已知关于 x 的方程 x2−kx−6=0 的一个根为 x=3，则实数 k 的值为
A. 1B. −1C. 2D. −2

8. 如图，点 B 为 ⊙O 上一点，若 ∠AOC=120∘，则 ∠B 的大小为
A. 45 度B. 50 度C. 60 度D. 75 度

9. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，点 D 是 BC 边的中点，分别以 B，C 为圆心，大于线段 BC 长度一半的长为半径画弧，两弧在直线 BC 上方的交点为 P，直线 PD 交 AC 于点 E，连接 BE，则下列结论：① ED⊥BC；② ∠A=∠EBA；③ EB 平分 ∠AED；④ ED=12AB 中，不一定正确的是
A. ①B. ②C. ③D. ④

10. 某超市一月份的营业额为 36 万元，三月份的营业额为 48 万元，设每月的平均增长率为 x，则可列方程为
A. 481−x2=36B. 481+x2=36
C. 361−x2=48D. 361+x2=48

11. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，若 M=4a+2b+c，N=a−b+c，P=4a+2b，则
A. M>0，N>0，P>0B. M>0，N<0，P>0
C. M<0，N>0，P>0D. M<0，N>0，P<0

12. 如图，一次函数 y=ax+b 的图象与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，与反比例函数 y=kx 的图象相交于 C，D 两点，分别过 C，D 两点作 y 轴，x 轴的垂线，垂足为 E，F，连接 CF，DE，有下列结论：① △CEF 与 △DEF 的面积相等；② EF∥CD；③ △DCE≌△CDF；④ AC=BD；⑤ △CEF 的面积等于 k2，其中正确的个数有
A. 2B. 3C. 4D. 5

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：x2+3x= ．

14. 将数据 370000 用科学记数法表示为 ．

15. 定义运算“*”，规定 x*y=2x+y，如 1*2=4，2*3=7，则 −2*5= ．

16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A0,2，点 P 是 x 轴上一动点，以线段 AP 为一边，在其一侧作等边三角形 APQ，当点 P 从点 −2,0 运动到点 2,0 时，点 Q 运动的路径长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：2+π−30+12−1−2cs45∘．

18. 解分式方程：x−2x+3=12−1x+3．

19. 某校计划开设 4 门选修课：音乐、绘画、体育、舞蹈，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门），对调查结果进行统计后绘制了如下不完整的两个统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次调查抽取的学生人数为 a= 人，其中选择“绘画”的学生人数占抽样人数的百分比为 b= ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有 3000 名学生，请估计全校选择“绘画”的学生大约有多少人?

20. 如图，某校九年级数学小组为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼C处测得旗杆底端B的俯角为45∘，测得旗杆顶端A的仰角为30∘，若旗杆与教学楼的距离BD=9m，求旗杆AB的高度是多少米?结果保留根号

21. 四边形 ABCD 是正方形，E，F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点，且 DE=BF，连接 AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若 BC=8，DE=6，求 △AEF 的面积．

22. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=kx+b 分别与 y 轴的正半轴交于点 A，与 x 轴负半轴交于点 B，⊙P 经过点 A 、点 B（圆心 P 在 x 轴负半轴上），已知 OA=6，OB=8．
（1）求直线 y=kx+b 的解析式；
（2）求 ⊙P 的半径；
（3）将直线 AB 平移，当它与 ⊙P 相切时，求此时的直线解析式．

23. 如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 OABC 为平行四边形，点 A，C 的坐标分别为 2,0 和 1,33，抛物线 y=ax2−23x 经过点 A，点 D 是该抛物线的顶点．
（1）求 a 的值；
（2）判断点 B 是否在抛物线上，并说明理由；
（3）连接 AD，在线段 OA 上找一点 P，使 ∠APD=∠OAB，求点 P 的坐标；
（4）若点 Q 是 y 轴上一点，以 Q，A，D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在抛物线 y=ax2−23x 上，写出点 Q 的坐标（直接写出答案即可）．
答案
第一部分
1. A【解析】∵23 与 −23 只有符号相反，
∴23 的相反数是 −23．
2. B【解析】原式=a3+4=a7.
3. D【解析】从上往下看，得一个长方形，由 3 个小正方形组成．
4. A【解析】A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
5. D
【解析】掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后 6 点朝上是随机事件，不符合题意；
了解一批电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式，说法错误，不合题意；
“明天降雨的概率为 0.5”表示明天可能降雨，C不合题意；
甲、乙两人各进行 10 次射击，两人射击成绩的方差分别为 s甲2=0.4，s乙2=0.6，则甲射击成绩更稳定，说法正确，D合题意．
6. D【解析】2x<4，解得 x<2，用数轴表示为：
7. A【解析】∵x=3 是原方程的根，
∴ 将 x=3 代入原方程，即 32−3k−6=0 成立，解得 k=1．
8. C【解析】∵∠B=12∠AOC，∠AOC=120∘，
∴∠B=60∘．
9. C【解析】由作法得 DE 垂直平分 BC，即 ED⊥BC，
∴ ①正确；
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠C，
∵∠A+∠C=90∘，∠EBA+∠EBC=90∘，
∴∠A=∠EBA，
∴ ②正确；
∵ 点 D 是 BC 边的中点，
∴DE 为 △ABC 的中位线，
∴DE=12AB，DE∥AB，
∴ ④正确；
∴∠ABE=∠BED，
只有当 ∠A=60∘ 时，∠ABE=∠AEB，BE 平分 ∠AED，
∴ ③不一定正确．
10. D
【解析】二月份的营业额为 361+x，
三月份的营业额为 361+x×1+x=361+x2，
即所列的方程为 361+x2=48．
11. D【解析】∵ 当 x=2 时，y=4a+2b+c<0，
∴M<0，
∵ 当 x=−1 时，y=a−b+c>0，
∴N>0，
∵ 抛物线的开口向上，
∴a>0，而对称轴为 x=−b2a>1，得 2a+b<0，
∴P=4a+2b<0．
12. C【解析】设点 D 的坐标为 x,kx，则 Fx,0．
由函数的图象可知：x>0，k>0．
∴ S△DFE=12DF⋅OF=12xD⋅kxD=12k，
同理可得 S△CEF=12k，故⑤正确；
故 S△DEF=S△CEF．故①正确；
若两个三角形以 EF 为底，则 EF 边上的高相等，故 CD∥EF．故②正确；
③条件不足，无法得到判定两个三角形全等的条件，故③错误；
④法一：∵ CD∥EF，DF∥BE，
∴ 四边形 DBEF 是平行四边形，
∴ S△DEF=S△BED，
同理可得 S△ACF=S△ECF；
由①得：S△DBE=S△ACF．
又 ∵ CD∥EF，BD，AC 边上的高相等，
∴ BD=AC，故④正确；
法二：∵ 四边形 ACEF，四边形 BDEF 都是平行四边形，
而且 EF 是公共边，
即 AC=EF=BD，
∴ BD=AC，故④正确；
因此正确的结论有 4 个：①②④⑤．
第二部分
13. xx+3
【解析】x2+3x=xx+3．
14. 3.7×105
【解析】将 370000 用科学记数法表示为 3.7×105．
15. 1
【解析】根据题中的新定义得：−4+5=1．
16. 4
【解析】如图 1 所示：
当点 P 在 x 轴上运动（P 不与 O 重合）时，
∵∠PAQ=∠OAB=60∘，
∴∠PAO=∠QAB．
在 △APO 和 △AQB 中，
AP=AQ,∠PAO=∠QAB,AO=AB,
∴△APO≌△AQBSAS，
∴∠ABQ=∠AOP=90∘．
∴ 当点 P 在 x 轴上运动（P 不与 O 重合）时，∠ABQ 为定值 90∘．
∴ 点 Q 的轨迹为一条经过点 B 且于 AB 垂直的线段．
如图 2 所示：过点 O 作 QM⊥PA，垂足为 M，过点 Qʹ 作 QʹN⊥APʹ，垂足为 N．
当点 P 的坐标为 −2,0 时，PA=OP2+OA2．
∵△APQ 为等边三角形，
∴MQ=QP⋅sin60∘=22×32=6．
∵△APO 为等腰直角三角形，
∴MQ=12PA=12×22=2．
∴OQ=6−2．
∴ 点 Q 的坐标为 3−1,1−3．
∵OQʹ=ON+NQʹ，
∴OQʹ=2．
∴ 点 Qʹ 的坐标为 1+3,1+3．
∴QQʹ=22+232=4．
第三部分
17. 原式=2+1+2−2=3.
18. 去分母得：
2x−4=x+3−2.
解得：
x=5.
经检验 x=5 是分式方程的解．
19. （1） 100；40%
【解析】a=20÷20%=100 人，b=40100×100%=40%．
（2） 体育的人数：100−20−40−10=30 人，补全统计图如图所示：
（3） 选择“绘画”的学生共有 3000×40%=1200（人）．
答：估计全校选择“绘画”的学生大约有 1200 人．
20. 同解析
【解析】【分析】根据在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDCD，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案．
【解析】解：在Rt△ACD中，
∵tan∠ACD=ADCD，
∴tan30∘=AD9，
∴AD9=33，
∴AD=33m，
在Rt△BCD中，
∵∠BCD=45∘，
∴BD=CD=9m，
∴AB=AD+BD=33+9(m)．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90∘，
而 F 是 CB 的延长线上的点，
∴∠ABF=90∘，
在 △ADE 和 △ABF 中，
AD=AB,∠D=∠ABF,DE=BF,
∴△ADE≌△ABFSAS．
（2） ∵BC=8，
∴AD=8，
在 Rt△ADE 中，DE=6，AD=8，
∴AE=AD2+DE2=10，
∵△ABF 可以由 △ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90∘，
∴△AEF 的面积 =12AE2=12×100=50（平方单位）．
22. （1） 由题意 A0,6，B−8,0，
把 A，B 两点坐标代入 y=kx+b，
则有 b=6,−8k+b=0, 解得 k=34,b=6,
∴ 直线的解析式为 y=34x+6．
（2） 如图 1 中，连接 PA．
设 PA=PB=m，在 Rt△APO 中，
∵PA2=OA2+OP2，
∴m2=62+8−m2，解得 m=254，
∴⊙P 的半径为 254．
（3） 如图 2 中，设平移后直线与 ⊙P 相切于点 E，F，与 x 轴的交点分别为 M，N，连接 PE，PF．
∵PE⊥EM，
∴∠PEM=∠AOB=90∘，
∵∠PME=∠ABO，
∴△ABO∽△PME，
∴ABPM=OAPE，
∴10PM=6254，
∴PM=12512，
∵OP=8−254=74，
∴OM=736，
∴ 直线 EM 的解析式为 y=34x+738，
同法可知：PN=PM=12512，ON=12512−74=263，
∴ 直线 EN 的解析式为 y=34x−132．
综上所述，满足条件的解析式为 y=34x+738 或 y=34x−132．
23. （1） 把 A2,0 代入 y=ax2−23x 得 4a−43=0，解得 a=3．
（2） 点 B 在抛物线上．理由如下：
∵ 四边形 OABC 为平行四边形，
∴BC=OA=2，BC∥OA，而 C1,33，
∴B3,33，
当 x=3 时，y=3x2−23x=93−63=33，
∴ 点 B 在抛物线 y=3x2−23x 上．
（3） 作 BE⊥x轴 于 E，DF⊥x轴 于 F，如图 1，
∵y=3x−12−3，
∴D1,−3，
∴DF=3，AF=1，
∴tan∠DAF=33，AD=2，
∴∠DAF=60∘，
∵B3,33，
∴BE=33，OE=3，OB=6，AB=12+332=27，
∴tan∠BOE=3，
∴∠BOE=60∘，
∴∠BOA=∠DAP，
∵∠APD=∠OAB，
∴△PAD∽△AOB，
∴APOA=ADOB，即 AP2=26，
∴AP=23，
∴P 点坐标为 43,0．
（4） 0,43 或 0,−43
【解析】如图 2，D1,−3，A2,0，
若四边形 ADMQ 为平行四边形，
∵ 点 A 向左平移 1 个单位，向下平移 3 个单位得到点 D，
∴ 点 Q 向左平移 1 个单位，向下平移 3 个单位得到点 M，即 M 点的横坐标为 −1，
当 x=−1 时，y=3x2−23x=33，
∴M−1,33，此时 Q0,43；
若四边形 ADQʹMʹ 为平行四边形，
∵ 点 D 向右平移 1 个单位，向上平移 3 个单位得到点 A，
∴ 点 Qʹ 向右平移 1 个单位，向上平移 3 个单位得到点 Mʹ，
即 Mʹ 点的横坐标为 1，Mʹ 点与 D 点重合，不合题意，
当四边形 AMDQ 为平行四边形时，同样方法得到 Q0,−43．
综上所述，Q 点的坐标为 0,43 或 0,−43．