2018年广州荔湾区广雅实验中考一模数学试卷

这是一份2018年广州荔湾区广雅实验中考一模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列各组数中，把两数相乘，积为 1 的是
A. 1 和 −1B. 2 和 −12C. 3 和 33D. 2 和 −2

2. 如果代数式 xx−1 有意义，那么 x 的取值范围是
A. x≠0B. x≠1C. x≠0 或 x≠1D. x≠0 且 x≠1

3. 下列运算正确的是
A. −2a23=−8a6B. x2+x3=x5
C. a2−b2a−b=a−bD. a2=a

4. 关于二次函数 y=−12x−32−2 的图象与性质，下列结论错误的是
A. 抛物线开口方向向下
B. 当 x=3 时，函数有最大值 −2
C. 当 x>3 时，y 随 x 的增大而减小
D. 抛物线可由 y=12x2 经过平移得到

5. 某中学篮球队 12 名队员的年龄如下表所示：
年龄岁15161718人数4521
则这 12 名队员年龄的众数和平均数分别是
A. 15，15B. 15，16C. 16，16D. 16，16.5

6. 如图，将 △ABC 绕点 C0,1 旋转 180∘ 得到 △DEC．若点 A 的坐标为 3,−1，则点 D 的坐标为
A. −3,1B. −2,2C. −3.2D. −3,3

7. 如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE，则 △CDE 的周长为
A. 16.5B. 18C. 23D. 26

8. 用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第 n 个图形中小正方形的个数是
A. 2n+1B. n2−1C. n2+2nD. 5n−2

9. 现定义运算“★”，对于任意实数 a，b，都有 a★b=a2−ab+b，如：3★5=32−3×5+5，若 x★2=10，则实数 x 的值为
A. 4B. −4C. 4 或 −2D. 2 或 −4

10. 如图，在平面直角坐标系中，正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为 2,0，点 A 在第一象限内，将 △OAB 沿直线 OA 的方向平移至 △OʹAʹBʹ 的位置，此时点 Aʹ 的横坐标为 3，则点 Bʹ 的坐标为
A. 4,23B. 3,33C. 4,33D. 3,23

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，直线 a∥b，若 ∠2=55∘，∠3=100∘，则 ∠1 的度数为 ．

12. 分解因式：a2b−4ab2+4b3= ．

13. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 ．

14. 如图，在 ⊙O 中，弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若 ∠BAD=30∘，且 BE=2，则 CD= ．

15. 如图，A，B 是双曲线 y=kx 上的两点，过 A 点作 AC⊥x轴，交 OB 于 D 点，垂足为 C，若 △ADO 的面积为 1，D 为 OB 中点，则 k 的值为 ．

16. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BE⊥AC，垂足为点 F，连接 DF，分析下列四个结论 ①△AEF∽△CAB，②CF=2AF，③DF=DC，④tan∠CAD=34．其中正确的结论是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x+32−4x−16=1．

18. 已知 E，F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF=CE．求证：∠CDF=∠ABE．

19. 已知 A=x−22x+2÷x−1−3x+1．
（1）化简 A．
（2）已知 x=1−tan60∘−1，求 A 的值．

20. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=8，BC=6．
（1）尺规作图：作 △BAC 的角平分线 AD（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）求 AD 的长．

21. 某初中为了提高学生综合素质，决定开设以下校本课程：A软笔书法，B经典诵读，C钢笔画，D花样跳绳．为了了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行了调查，并将调査结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有多少人?
（2）请将条形统计图 2）补充完整．
（3）在平时的花样跳绳的课堂学习中，甲、乙、丙三人表现优秀，现决定从这三名同学中任选两名参加全区综合素质展示，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率．

22. 已知二次函数 y=ax2+b 的图象与直线 y=x+2 相交于点 A1,m 和点 Bn,0．
（1）求二次函数的解析式．
（2）在图中的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并结合图象直接写出 ax2+b>x+2 时 x 的取值范围．

23. 某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知 2 根A型跳绳和 1 根B型跳绳共需 56 元，1 根A型跳绳和 2 根B型跳绳共需 82 元．
（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元?
（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共 50 根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的 3 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

24. 如图，已知点 A−3,0，二次函数 y=ax2+bx+3 的对称轴为直线 x=−1，其图象过点 A 与 x 轴交于另一点 B，与 y 轴交于点 C．
（1）求二次函数的解析式，写出顶点坐标．
（2）动点 M，N 同时从 B 点出发，均以每秒 2 个单位长度的速度分别沿 △ABC 的 BA，BC 边上运动，设其运动的时间为 t 秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连接 MN，将 △BMN 沿 MN 翻折，若点 B 恰好落在抛物线弧上的 Bʹ 处，试求 t 的值及点 Bʹ 的坐标．
（3）在（2）的条件下，Q 为 BN 的中点，试探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 B，Q，P 为顶点的三角形与 △ABC 相似?如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，试说明理由．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=5，csB=45，点 P 为边 BC 上一动点，过点 P 作射线 PE 交射线 BA 于点 D，∠BPD=∠BAC，以点 P 为圆心，PC 长为半径作 ⊙P 交射线 PD 于点 E，连接 CE，设 BD=x，CE=y．
（1）当 ⊙P 与 AB 相切时，求 ⊙P 的半径．
（2）当点 D 在 BA 的延长线上时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围．
（3）在 CE 的垂直平分线上存在一点 O，使得 OB=OC，连接 OP，当 OP=54 时，求 AD 的长．
答案
第一部分
1. C【解析】A．1×−1=−1．
B．2×−12=−1．
C．3×33=1．
D．2×−2=−2．
2. B【解析】由分式可得 x−1≠0，故 x≠1．
3. A【解析】B．x2+x3 不能直接合并．
C．a2−b2a−b=a+b．
D．a2=∣a∣．
4. D【解析】A．∵a=−12<0，
∴ 抛物线开口方向向下，故此选项正确，不合题意．
B．∵y=−12x−32−2 的顶点坐标为：3,−2，
故当 x=3 时，函数有最大值 −2，故此选项正确，不合题意．
C．当 x>3 时，y 随 x 的增大而减小，此选项正确，不合题意．
D．抛物线 y=−12x−32−2 可由 y=−12x2 经过平移得到，不是由 y=12x2 经过平移得 到，故此选项错误，符合题意．
5. C
【解析】根据题意得：这 12 名队员年龄的众数为 16，平均数为：
15×4+16×5+17×2+18×14+5+2+1=16．
6. D【解析】A，D 两点关于 C 成中心对称，可将 AC 向下平移一个单位，
则 Aʹ−3,2 关于原点对称有 Dʹ−3,2，
则 D 为 −3,3．
7. B【解析】∵AB=AC=13，AD 平分 ∠BAC，
∴D 为 BC 中点．
又 E 为 AD 中点，
∴DE=12AB=132，CE=12AC=132，CD=5，
∴△CDE周长=132+132+5=18．
8. C【解析】∵ 第 1 个图形中，小正方形的个数是：22−1=3；
第 2 个图形中，小正方形的个数是：32−1=8；
第 3 个图形中，小正方形的个数是：42−1=15；
⋯
∴ 第 n 个图形中，小正方形的个数是：n+12−1=n2+2n+1−1=n2+2n．
9. C【解析】x★2=x2−2x+2=10，解得 x1=4，x2=−2．
10. A
【解析】如图，作 AM⊥x轴 于点 M，
∵ 正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为 2,0，
∴OA=OB=2，∠AOB=60∘，
∴OM=12OA=1，AM=3OM=3，
∴A1,3，
∴ 直线 OA 的解析式为 y=3x，
∴ 当 x=3 时，y=33，
∴Aʹ3,33，
∴ 将点 A 向右平移 2 个单位，再向上平移 23 个单位后可得 Aʹ，
∴ 将点 B2,0 向右平移 2 个单位，再向上平移 23 个单位后可得 Bʹ，
∴ 点 Bʹ 的坐标为 4,23．
第二部分
11. 45∘
【解析】
∵ ∠3=100∘，
∴ ∠5=80∘．
∵ a∥b，
∴ ∠4=∠2=55∘，
∠1=180∘−80∘−55∘=45∘．
12. ba−2b2
【解析】a2b−4ab2+4b3=ba2−4ab+4b2=ba−2b2．
13. 2π
【解析】此几何体为圆锥，母线长为 2，底面半径为 1，
故侧面积为 πra=2π．
14. 43
【解析】连接 OD，如图，
设 ⊙O 的半径为 R，
∵∠BAD=30∘，
∴∠BOD=2∠BAD=60∘，
∵CD⊥AB，
∴DE=CE，
在 Rt△ODE 中，OE=OB−BE=R−2，OD=R，
∵cs∠EOD=cs60∘=OEOD，
∴R−2R=12，解得 R=4，
∴OE=4−2=2，
∴DE=3OE=23，
∴CD=2DE=43．
15. 83
【解析】如图，过 B 作 BE⊥x轴 于 E，
∵S△AOC=S△OBE，
∴S△AOD=S四边形BECD=1，
∵D 为 OB 中点，
∴ODOB=12，
∵△OCD∽△OEB，
∴S△OCD:S△OEB=1:4，
∴S△OCD:S四边形BECD=1:3，
∴S△DBE=43，
∴k=83．
16. ①②③
【解析】∵ AD∥BC，
∴∠DAF=∠ACB．又 ∠AFE=∠ABC=90∘，
∴△AEF∽△CAB，故 ① 正确．
∵ AD∥BC，
∴△AFE∽△CFB．又 AE=12AD，
∴CFAF=BCAE=2，
∴CF=2AF，故 ② 正确．
如图，过 D 作 DM∥BE 交 AC 于 N，
可得四边形 BMDE 为平行四边形，
∴BM=DE=12BC，
∴BM=QM．
∵ BE⊥AC，MN∥BE，
∴MN 垂直平分 CF，
∴DF=CD，故 ③ 正确．
设 AE=a，AB=b，则 AD=2a．
由 △BAE∽△ADC，
有 ba=2ab，故 b=2a．
∴tan∠CAD=CDAD=b2a=22，故 ④ 错误．
第三部分
17. 方程两边同时乘以 6 得，
3x+3−4x−1=6.3x+9−4x+1=6.−x=6−10.x=4.
18. ∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，即 AE=CF，
又 CD∥AB 且 CD=AB，
∴∠DCF=∠EAB，CD=AB，
∴△CDF≌△ABESAS，
∴∠CDF=∠ABE．
19. （1） A=x−22x+2÷x−1−3x+1=x−22x+2×x+1x+2x−2=12x+2=12x+4.
（2） x=1−tan60∘−1=1−3−1=3−2，
∴A=12x+4=123−4+4=36．
20. （1） 角平分线如图所求：
（2） 过 D 作 DE⊥AB 于 E，
∵ AD 平分 ∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴ AE=AC=8，DE=CD，
在 Rt△ABC 中，AB=AC2+BC2=10，
∴ BE=2，设 DE=CD=x，BD=6−x，
由 DE2+BE2=BD2 得 x2+4=6−x2，
解得 x=83，
∴ AD=AC2+CD2=82+832=8310．
21. （1） 10÷60∘360∘=100（人）．
答：被调查的学生共有 100 人．
（2） 如图所示：
（3） 树状图如图：
共有 6 种情况，选中甲、乙两位同学有 2 种，故恰好同时选中甲、乙两位的 P=26=13．
22. （1） 当 x=1，y=x+2=3，即 m=3，
当 y=0，x+2=0，x=−2，即 n=−2，
∴A1,3，B−2,0，
∴a+b=3,4a−2b=0,
解得 a=−1,b=4,
∴y=−x2+4．
（2） 图象如图所示，故由图象可知当 −2x+2．
23. （1） 设一根A跳绳为 x 元，一根B跳绳为 y 元，
由题有
2x+y=56,x+2y=82.
解得
x=10,y=36.
答：一根A跳绳为 10 元，一根B跳绳为 36 元．
（2） 设购进A型跳绳 m 根，总费用为 W 元．
根据题意得 W=10m+3650−m=−26m+1800，
∵ −26<0，
∴ W 随 m 的增大而减小，
又 ∵ m≤350−m，解得 m≤37.5，
而 m 为正整数，
∴ 当 m=37 时，W最小=−26×37+1800=838．
此时 50−37=13．
答：当购买A型跳绳 37 根，B型跳绳 13 根时，最省钱．
24. （1） 由题意得 −a2b=−1,9a−3b+3=0,
解得 a=−33,b=−233,
∴ 二次函数的解析式为 y=−33x2−233x+3，
∴B1,0，其顶点坐标为 −1,433．
（2） 由题意知 AO=3，OB=1，OC=3，
∴∠CBA=60∘，
又 ∵BM=BN，
∴△MBN 是正三角形，
∴M1−2t,0，N1−t,3t，
将 △BMN 沿 MN 翻折后，BʹN=BN=2t，∠BʹNM=∠BMN=60∘，
∴BʹN∥MB，
∴Bʹ1−3t,3t，
若点 Bʹ 在抛物线上，
则有 3t=−331−3t2−2331−3t+3，
化简得：9t2−9t=0，
∵t≠0，
∴t=1，
此时，M−1,0，N0,3，Bʹ−2,3．
（3） 由题意可得 △ABC 为直角三角形，且 ∠BAC=30∘，∠ABC=60∘，
又 Q12,32，
分二种情况讨论：
① 当 P 在 x 轴上时，过 Q 作 P1Q⊥BQ 交 x 轴于 P1，
则 △P1BQ∽△ABC，此时 P1−1,0，
过 Q 作 P2Q⊥x轴 于 P2，则 △QBP2∽△ABC，
此时 P212,0．
P 在 x 轴上其他位置时，三角形 △PQB 不为直角三角形，不可能与 △ABC 相似．
② 同理，当 P 点在 y 轴上时，设 P3Q⊥BQ 交 y 轴于 P3，则 △BP3Q∽△ABC，
此时 P30,33．
过 B 作 P4B⊥BQ 交 y 轴于 P4，但 BP4BQ≠ACBC，
则 △QBP4 与 △ABC 不相似，
P 在 y 轴上其他位置时，三角形 △PQB 不为直角三角形，不可能与 △ABC 相似．
综上，P 的坐标为 0,33，−1,0，12,0．
25. （1） 作 PF⊥BD 于 F，作 AH⊥BC 于 H，
设 ⊙O 半径为 r，
∵AB=AC，BH=CH，
在 Rt△ABH 中，
∵csB=BHAB=45，
∴BH=45×5=4，
∴AH=3，BC=8．
在 Rt△ABH 中，sinB=35，
在 Rt△BFP 中，sinB=PFPB=35，
∴PF=358−r．
当 ⊙P 与 AB 相切时，PF=PC，即 358−r=r，解得 r=3，
即当 ⊙P 与 AB 相切时，⊙P 半径为 3．
（2） ∵∠BPD=∠BAC，∠DBP=∠ABC，
∴△BDP∽△BCA，
∴BPBA=BDBC，即 8−r5=x8，
∴r=8−58x．
作 PG⊥CE 于 G，如图，
则 CG=EG=12y．
∵PE=PC，
∴∠EPG=12∠EPC．
∵△BDP∽△BCA，
∴∠D=∠C=∠B，
∴PB=PD，
∴∠DPF=12∠DPB，
∴∠GPF=12∠DPC+12∠DPB=90∘，
∴FP⊥PG，
∴∠GPC=∠B，
在 Rt△PGC 中，sinB=CGPC=35，
∴12y=35r，
∴12y=358−58x，
∴y=192−15x20．
当 P 在 C 点时，r=0，
即 8−58x=0，解得 x=645．
∴x 的取值范围为 5 （3） ∵OB=OC，O 在 CE 垂直平分线上，
∴ 点 O 在 CE 与 BC 的垂直平分线上，即点 O 为 AH 与 GP 交点．
∵∠OPH=∠GPC，
∴cs∠OPH=PHOP=45，
∴PH=45×54=1．
当 P 在 BH 上时，即 D 在 AB 上时，此时 r=1+4=5，则 8−58x=5，
解得 x=245，AD=AB−AD=5−x=5−245=15．
当 P 在 CH 时，即 D 在 AB 延长线上时，此时 r=4−1=3，则 8−58x=3．
∴x=8，
∴AD=AB−AD=5−x=8−5=3．
综上，AD 的长为 15 或 3．