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2018年江苏省徐州市泉山区中考三模数学试卷
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这是一份2018年江苏省徐州市泉山区中考三模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列各式结果是负数的是
A. −−3B. −−3C. 3−2D. −32
2. 下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x>3 的是
A. y=x−3B. y=1x−3C. y=x−3D. y=1x−3
3. 已知反比例函数 y=−3x，下列结论不正确的是
A. 图象必经过点 −1,3B. 若 x>1，则 −3C. 图象在第二、四象限内D. y 随 x 的增大而增大
4. 下列说法中，正确的是
A. 对载人航天器“神舟十号”的零部件的检查适合采用抽样调查的方式
B. 某市天气预报中说“明天降雨的概率是 80%”，表示明天该市有 80% 的地区降雨
C. 第一枚硬币，正面朝上的概率为 12
D. 若甲组数据的方差 s甲2=0.1，乙组数据的方差 s乙2=0.01，则甲组数据比乙组数据稳定
5. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是
A. B.
C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 OACB 的顶点 O 在原点，点 C 的坐标为 4,0，点 B 的纵坐标是 −1，则顶点 A 坐标是
A. 2,1B. 1,−2C. 1,2D. 2,−1
7. 如图，Rt△OAB 的顶点 O 与坐标原点重合，∠AOB=90∘，AO=2BO，当点 A 在反比例函数 y=2xx>0 的图象上移动时，点 B 的坐标满足的函数解析式为
A. y=−1xx<0B. y=−12xx<0
C. y=−14xx<0D. y=−18xx<0
8. 如图，在正方形 ABCD 中，AD=5，点 E，F 是正方形 ABCD 内的两点，且 AE=FC=3，BE=DF=4，则 EF 的长为
A. 32B. 232C. 75D. 2
二、填空题（共10小题；共50分）
9. 16 的平方根是 ．
10. 南海资源丰富，其面积约为 3500000 km2，相当于我国渤海、黄海和东海总面积的 3 倍．该面积可用科学记数法表示为 km2．
11. 如果实数 x，y 满足方程组 2x−2y=1,x+y=4, 那么 x2−y2= ．
12. 某药品原价每盒 25 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒 16 元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．
13. 口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是 0.2，摸出白球的概率是 0.5，那么摸出黑球的概率是 ．
14. 若正多边形的一个内角等于 140∘，则这个正多边形的边数是 ．
15. 如图，△ABC 的三个顶点都在 ⊙O 上，AD 是直径，且 ∠CAD=56∘，则 ∠B 的度数为 ∘．
16. 在 △ABC 中，AB=AC，CD=CB，若 ∠ACD=42∘，则 ∠BAC= ∘．
17. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30∘，以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E，连接 CE，则阴影部分的面积是 （结果保留 π）．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=kxk≠0 经过点 a,3aa>0，线段 BC 的两个端点分别在 x 轴与直线 y=kx 上（点 B，C 均与原点 O 不重合）滑动，且 BC=2，分别作 BP⊥x 轴，CP⊥ 直线 y=kx，交点为 P．经探究，在整个滑动过程中，P，O 两点间的距离为定值 ．
三、解答题（共10小题；共130分）
19. 请回答：
（1）计算：27+12−2−1−3；
（2）化简：3x−1−x−1÷x−2x2−2x+1．
20. 解答下列问题．
（1）解方程：x2−x−3=0；
（2）解不等式组：5x−2>3x+1,12x≤8−32x.
21. 某中学初三（1）班共有 40 名同学，在一次 30 秒跳绳测试中他们的成绩统计如下表：
跳绳数/个818590939598100人数128115
将这些数据按组距 5（个）分组，绘制成如图的频数分布直方图（不完整）．
（1）将表中空缺的数据填写完整，并补全频数分布直方图；
（2）这个班同学这次跳绳成绩的众数是 个，中位数是 个；
（3）若跳满 90 个可得满分，学校初三年级共有 720 人，试估计该中学初三年级还有多少人跳绳不能得满分．
22. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
23. 已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD，∠BAF=∠DAE，AE 与 BD 交于点 G．
（1）求证：BE=DF；
（2）当 DFFC=ADDF 时，求证：四边形 BEFG 是平行四边形．
24. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?
25. 某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为 30∘，山高 857.5 尺，组员从山脚 D 处沿山坡向着雕像方向前进 1620 尺到达 E 点，在点 E 处测得雕像顶端 A 的仰角为 60∘，求雕像 AB 的高度．
26. 甲乙两地相距 400 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段 OA 表示货车离甲地的路程 y（千米）与所用时间 x（小时）之间的函数关系，折线 BCD 表示轿车离甲地的路程 y（千米）与 x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：
（1）求线段 CD 对应的函数表达式；
（2）求 E 点的坐标，并解释 E 点的实际意义；
（3）若已知轿车比货车晚出发 20 分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当 x= 小时，货车和轿车相距 30 千米．
27. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图（1），在边长为 aa>2 的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE=BF=CG=DH=1，当 ∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45∘ 时，求正方形 MNPQ 的面积．
小明发现，分别延长 QE，MF，NG，PH 交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点 R，S，T，W，可得 △RQF，△SMG，△TNH，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图（2））．
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为 ；
（2）求正方形 MNPQ 的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图（3），在等边 △ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF，再分别过点 D，E，F 作 BC，AC，AB 的垂线，得到等边 △RPQ．若 S△RPQ=33，则 AD 的长为 ．
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+4 经过 A−3,0，B4,0 两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 在 x 轴的负半轴上，且 BD=BC，有一动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 移动，同时另一个动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 以某一速度向点 A 移动．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 CD 垂直平分，求此时 t 的值；
（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQ+MA 的值最小?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】A、 −−3=3，故错误；
B、 −−3=−3，正确；
C、 3−2=19，故错误；
D、 −32=9，故错误；
故选：B．
2. D【解析】A、 x−3 是整式，自变量 x 的取值范围是全体实数，故本选项错误；
B、由 x−3≠0 得 x≠3，故本选项错误；
C、由 x−3≥0 得，x≥3，故本选项错误；
D、由 x−3>0 得 x>3，故本选项正确．
故选：D．
3. D【解析】A．将 x=−1 代入反比例解析式得：y=3，
∴ 反比例函数图象过 −1,3，本选项正确；
B．由反比例函数图象可得：当 x>1 时，y>−3，本选项正确，
C．由反比例函数的系数 k=−3<0，得到反比例函数图象位于第二、四象限，本选项正确；
D．反比例函数 y=−3x，在第二或第四象限 y 随 x 的增大而增大，本选项错误．
综上，不正确的结论是D．
4. C【解析】A、对载人航天器“神舟十号”的零部件的检查，因为意义重大，适合采用全面调查的方式，故此选项错误；
B、某市天气预报中说“明天降雨的概率是 80%”，表示明天该市有 80% 的可能降水，故此选项错误；
C、一枚硬币，正面朝上的概率为 12，故此选项正确；
D、若甲组数据的方差 s甲2=0.1，乙组数据的方差 s乙2=0.01，则乙组数据比甲组数据稳定，故此选项错误．
5. D
【解析】如图，俯视图为三角形，故可排除A，B．主视图以及左视图都是矩形，可排除C，故选：D．
6. A【解析】∵ 连接 AB 交 OC 于点 D，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB⊥OC，OD=CD，AD=BD，
∵ 点 C 的坐标是 4,0，点 B 的纵坐标是 −1，
∴OC=4，BD=AD=1，
∴OD=CD=2，
∴ 点 A 的坐标为：2,1．
7. B【解析】如图，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D，
设 B 点坐标满足的函数解析式是 y=kx，
∴∠ACO=∠BDO=90∘，
∴∠AOC+∠OAC=90∘，
∵∠AOB=90∘，
∴∠AOC+∠BOD=90∘，
∴∠BOD=∠OAC，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△AOC:S△BOD=AOBO2，
∵AO=2BO，
∴S△AOC:S△BOD=4，
∵ 当 A 点在反比例函数 y=2xx>0 的图象上移动，
∴S△AOC=12OC⋅AC=12⋅x⋅2x=1，
∴S△BOD=12DO⋅BD=12−x⋅kx=−12k，
∴1=4×−12k，解得 k=−12，
∴B 点坐标满足的函数解析式 y=−12xx<0．
8. D【解析】延长 AE 交 DF 于 G，如图：
∵ AB=5，AE=3，BE=4，
∴ △ABE 是直角三角形，
∴ 同理可得 △DFC 是直角三角形，
∵ △ABE≌△CDF，
∴ ∠BAE=∠DCF，
∵ ∠FCD+∠CDF=90∘，
∴ ∠BAE+∠CDF=90∘，
∵ ∠BAD=∠ADC=90∘，
∴ ∠DAG+∠ADG=90∘，
可得 △AGD 是直角三角形，
∴ ∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴ ∠GAD=∠EBA，
同理可得：∠ADG=∠BAE，
在 △AGD 和 △BAE 中，
∠EAB=∠GDA,AD=AB,∠ABE=∠DAG,
∴ △AGD≌△BAEASA，
∴ AG=BE=4，DG=AE=3，
∴ EG=4−3=1，
同理可得：GF=1，
∴ EF=12+12=2，故选：D．
第二部分
9. ±4
【解析】∵±42=16，
∴16 的平方根是 ±4．
10. 3.5×106
【解析】3500000 km2=3.5×106 km2．
11. 2
【解析】2x−2y=1, ⋯⋯①x+y=4. ⋯⋯②
由①得：x−y=12，
则 x2−y2=x+yx−y=4×12=2．
12. 20%
【解析】设该药品平均每次降价的百分率为 x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒 16 元，
故 251−x2=16，
解得 x=0.2 或 1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为 20%．
13. 0.3
【解析】根据概率公式摸出黑球的概率是 1−0.2−0.5=0.3．
14. 9
【解析】∵ 正多边形的一个内角是 140∘，
∴ 它的外角是：180∘−140∘=40∘，
360∘÷40∘=9．
故答案为：9．
15. 34
【解析】连接 DC．
∵AD 为直径，
∴∠ACD=90∘，
∵∠CAD=56∘，
∴∠D=90∘−56∘=34∘，
∴∠B=∠D=34∘．
16. 32
【解析】设 ∠BAC=x，则 ∠BDC=42∘+x，
∵CD=CB，
∴∠B=∠BDC=42∘+x，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=42∘+x，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=x，
∴∠ADC=∠B+∠BCD=42∘+x+x=42∘+2x，
∵∠ADC+∠BDC=180∘，
∴42∘+2x+42∘+x=180∘，
解得 x=32∘，
∴∠BAC=32∘．
17. 3−13π
【解析】过 D 点作 DF⊥AB 于点 F．
∵AD=2，AB=4，∠A=30∘，
∴DF=AD⋅sin30∘=1，EB=AB−AE=2，
∴ 阴影部分的面积：
4×1−30×π×22360−2×1÷2=4−13π−1=3−13π．
故答案为：3−13π．
18. 433
【解析】∵ 直线 y=kxk≠0 经过点 a,3aa>0，
∴3a=ka，
∴k=3，
∴∠BOC=60∘，
又由题意可知 ∠PCO=∠PBO=90∘，
∴∠PCO+∠PBO=180∘，
∴O，B，P，C 四点共圆，OP 为直径，
如图，设圆心为 D，分别连接 CD 和 BD，过 D 作 DE⊥BC 于点 E，
则 BE=12BC=1，
∵∠BDC=2∠BOC=120∘，
∴∠BDE=60∘，
∴DE=12BD，
在 Rt△BDE 中，由勾股定理可得 BD2=DE2+BE2，
即 BD2=14BD2+1，解得 BD=233，
∴OP=2BD=433．
第三部分
19. （1） 原式=33+4−3−1=23+5.
（2） 原式=4−x2x−1⋅x−12x−2=−x+2x−1=−x2−x+2.
20. （1）
x2−x−3=0.a=1,b=−1,c=−3.∵Δ=1+12=13.∴x=1±132.
（2）
5x−2>3x+1, ⋯⋯①12x≤8−32x. ⋯⋯②
由①得：
x>52.
由②得：
x≤4.
故不等式组的解集是
5221. （1） 根据直方图得到 95.5−100.5 小组共有 13 人，由统计表知道跳 100 个的有 5 人，
∴ 跳 98 个的有 13−5=8 人，
跳 90 个的有 40−1−2−8−11−8−5=5 人，
故统计表为：
跳绳数/个818590939598100人数12581185
直方图为：
（2） 95；95
【解析】观察统计表知：众数为 95 个，中位数为 95 个．
（3） 估计该中学初三年级不能得满分的有 720×1+240=54 人．
22. 画树状图：
共有 12 个等可能的结果，其中恰好是甲乙的占 2 个，
∴ 恰好选中甲、乙两位同学的概率 =212=16．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF−∠EAF=∠DAE−∠EAF，即：∠BAE=∠DAF，
∴△BAE≌△DAF，
∴BE=DF．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG．
∴ADBE=DGBG．
又 ∵BE=DF，DFFC=ADDF，
∴DGBG=ADDF=DFFC．
∴DGDB=DFDC，又 ∠BDC=∠GDF，
故 △BDC∽△GDF，再由对应角相等有 ∠DBC=∠DGF，
∴GF∥BC（同位角相等则两直线平行），
∴∠DGF=∠DBC，
∵BC=CD，
∴∠BDC=∠DBC=∠DGF．
∴GF=DF=BE．
∵GF∥BC，GF=BE，
∴ 四边形 BEFG 是平行四边形．
24. 设甲工厂每天加工 x 件产品，则乙工厂每天加工 1.5x 件产品，
依题意得
1200x−12001.5x=10.
解得：
x=40.
经检验：x=40 是原方程的根，且符合题意．
所以 1.5x=60．
答：甲工厂每天加工 40 件产品，乙工厂每天加工 60 件产品．
25. 如图，过点 E 作 EF⊥AC，EG⊥CD．
在 Rt△DEG 中，∵DE=1620，∠D=30∘，
∴EG=DEsin∠D=1620×12=810，
∵BC=857.5，CF=EG，
∴BF=BC−CF=47.5，
在 Rt△BEF 中，tan∠BEF=BFEF，
∴EF=3BF，
在 Rt△AEF 中，∠AEF=60∘，设 AB=x，
∵tan∠AEF=AFEF，
∴AF=EF×tan∠AEF，
∴x+47.5=3×47.5，
∴x=95．
答：雕像 AB 的高度为 95 尺．
26. （1） 设线段 CD 对应的函数解析式为 y=kx+b，
可得：100=2k+b,400=4.5k+b.
解得：k=120,b=−140.
所以线段 CD 对应的函数表达式为：y=120x−1402≤x≤4.5．
（2） 由图象可得：直线 OA 的解析式为：y=80x，
根据两图象相交的交点指的是两车相遇，
可得：80x=120x−140，
解得：x=3.5，
把 x=3.5 代入 y=80x，得：y=280；
所以 E 点的坐标为 3.5,280，
即表示当货车出发 3.5 小时时货车和轿车相遇．
（3） 12，114，174，378
【解析】设货车出发 x h 后，
可得：120x−140−30=80x，
解得：x=4.25，
故答案为：4.25．
由题意知，B13,0，
∴BC 段解析式为 y=60x−2013≤x≤2，
货车与轿车相距 30 km 有四种情况：
（1）13≤x≤2 时，80x−60x−20=30，解得 x=12；
（2）2（3）72（4）92 ∴x=12,114,174,378．
27. （1） a
【解析】四个等腰直角三角形的斜边长为 a，则斜边上的高为 12a，
每个等腰直角三角形的面积为：12a⋅12a=14a2，
则拼成的新正方形面积为：4×14a2=a2，即与原正方形 ABCD 面积相等，
∴ 这个新正方形的边长为 a．
（2） ∵ 四个等腰直角三角形的面积和为 a2，正方形 ABCD 的面积为 a2，
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4×12×12=2.
（3） 23
【解析】如答图 1 所示，分别延长 RD，QF，PE，交 FA，EC，DB 的延长线于点 S，T，W．
由题意易得：△RSF，△QET，△PDW 均为底角是 30∘ 的等腰三角形，其底边长均等于 △ABC 的边长．
不妨设等边三角形边长为 a，则 SF=AC=a．
如答图 2 所示，过点 R 作 RM⊥SF 于点 M，则 MF=12SF=12a，
在 Rt△RMF 中，RM=MF⋅tan30∘=12a×33=36a，
∴S△RSF=12a⋅36a=312a2．
过点 A 作 AN⊥SD 于点 N，设 AD=AS=x，
则 AN=AD⋅sin30∘=12x，SD=2ND=2ADcs30∘=3x，
∴S△ADS=12SD⋅AN=12⋅3x⋅12x=34x2．
∵ 三个等腰三角形 △RSF，△QET，△PDW 的面积和 =3S△RSF=3×312a2=34a2，
∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，
∴33=3×34x2，得 x2=49，解得 x=23 或 x=−23（不合题意，舍去）
∴x=23，即 AD 的长为 23．
28. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+4 经过 A−3,0，B4,0 两点，
∴9a−3b+4=0,16a+4b+4=0, 解得 a=−13,b=13,
∴ 所求抛物线的解析式为：y=−13x2+13x+4．
（2） 如图 1，依题意知 AP=t，连接 DQ，
∵A−3,0，B4,0，C0,4，
∴AC=5，BC=42，AB=7．
∵BD=BC，
∴AD=AB−BD=7−42，
∵CD 垂直平分 PQ，
∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP．
∵BD=BC，
∴∠DCB=∠CDB．
∴∠CDQ=∠DCB．
∴DQ∥BC．
∴△ADQ∽△ABC．
∴ADAB=DQBC，
∴ADAB=DPBC，
∴7−427=DP42，解得 DP=42−327，
∴AP=AD+DP=177．
∴ 线段 PQ 被 CD 垂直平分时，t 的值为 177．
（3） 如图 2，设抛物线 y=−13x2+13x+4 的对称轴 x=12 与 x 轴交于点 E．
点 A，B 关于对称轴 x=12 对称，连接 BQ 交该对称轴于点 M．
则 MQ+MA=MQ+MB，即 MQ+MA=BQ，
∵ 当 BQ⊥AC 时，BQ 最小，此时，∠EBM=∠ACO，
∴tan∠EBM=tan∠ACO=34，
∴MEBE=34，
∴ME72=34，解 ME=218．
∴M12,218，即在抛物线 y=−13x2+13x+4 的对称轴上存在一点 M12,218，使得 MQ+MA 的值最小．
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列各式结果是负数的是
A. −−3B. −−3C. 3−2D. −32
2. 下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x>3 的是
A. y=x−3B. y=1x−3C. y=x−3D. y=1x−3
3. 已知反比例函数 y=−3x，下列结论不正确的是
A. 图象必经过点 −1,3B. 若 x>1，则 −3
4. 下列说法中，正确的是
A. 对载人航天器“神舟十号”的零部件的检查适合采用抽样调查的方式
B. 某市天气预报中说“明天降雨的概率是 80%”，表示明天该市有 80% 的地区降雨
C. 第一枚硬币，正面朝上的概率为 12
D. 若甲组数据的方差 s甲2=0.1，乙组数据的方差 s乙2=0.01，则甲组数据比乙组数据稳定
5. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是
A. B.
C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 OACB 的顶点 O 在原点，点 C 的坐标为 4,0，点 B 的纵坐标是 −1，则顶点 A 坐标是
A. 2,1B. 1,−2C. 1,2D. 2,−1
7. 如图，Rt△OAB 的顶点 O 与坐标原点重合，∠AOB=90∘，AO=2BO，当点 A 在反比例函数 y=2xx>0 的图象上移动时，点 B 的坐标满足的函数解析式为
A. y=−1xx<0B. y=−12xx<0
C. y=−14xx<0D. y=−18xx<0
8. 如图，在正方形 ABCD 中，AD=5，点 E，F 是正方形 ABCD 内的两点，且 AE=FC=3，BE=DF=4，则 EF 的长为
A. 32B. 232C. 75D. 2
二、填空题（共10小题；共50分）
9. 16 的平方根是 ．
10. 南海资源丰富，其面积约为 3500000 km2，相当于我国渤海、黄海和东海总面积的 3 倍．该面积可用科学记数法表示为 km2．
11. 如果实数 x，y 满足方程组 2x−2y=1,x+y=4, 那么 x2−y2= ．
12. 某药品原价每盒 25 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒 16 元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．
13. 口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是 0.2，摸出白球的概率是 0.5，那么摸出黑球的概率是 ．
14. 若正多边形的一个内角等于 140∘，则这个正多边形的边数是 ．
15. 如图，△ABC 的三个顶点都在 ⊙O 上，AD 是直径，且 ∠CAD=56∘，则 ∠B 的度数为 ∘．
16. 在 △ABC 中，AB=AC，CD=CB，若 ∠ACD=42∘，则 ∠BAC= ∘．
17. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30∘，以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E，连接 CE，则阴影部分的面积是 （结果保留 π）．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=kxk≠0 经过点 a,3aa>0，线段 BC 的两个端点分别在 x 轴与直线 y=kx 上（点 B，C 均与原点 O 不重合）滑动，且 BC=2，分别作 BP⊥x 轴，CP⊥ 直线 y=kx，交点为 P．经探究，在整个滑动过程中，P，O 两点间的距离为定值 ．
三、解答题（共10小题；共130分）
19. 请回答：
（1）计算：27+12−2−1−3；
（2）化简：3x−1−x−1÷x−2x2−2x+1．
20. 解答下列问题．
（1）解方程：x2−x−3=0；
（2）解不等式组：5x−2>3x+1,12x≤8−32x.
21. 某中学初三（1）班共有 40 名同学，在一次 30 秒跳绳测试中他们的成绩统计如下表：
跳绳数/个818590939598100人数128115
将这些数据按组距 5（个）分组，绘制成如图的频数分布直方图（不完整）．
（1）将表中空缺的数据填写完整，并补全频数分布直方图；
（2）这个班同学这次跳绳成绩的众数是 个，中位数是 个；
（3）若跳满 90 个可得满分，学校初三年级共有 720 人，试估计该中学初三年级还有多少人跳绳不能得满分．
22. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
23. 已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD，∠BAF=∠DAE，AE 与 BD 交于点 G．
（1）求证：BE=DF；
（2）当 DFFC=ADDF 时，求证：四边形 BEFG 是平行四边形．
24. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?
25. 某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为 30∘，山高 857.5 尺，组员从山脚 D 处沿山坡向着雕像方向前进 1620 尺到达 E 点，在点 E 处测得雕像顶端 A 的仰角为 60∘，求雕像 AB 的高度．
26. 甲乙两地相距 400 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段 OA 表示货车离甲地的路程 y（千米）与所用时间 x（小时）之间的函数关系，折线 BCD 表示轿车离甲地的路程 y（千米）与 x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：
（1）求线段 CD 对应的函数表达式；
（2）求 E 点的坐标，并解释 E 点的实际意义；
（3）若已知轿车比货车晚出发 20 分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当 x= 小时，货车和轿车相距 30 千米．
27. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图（1），在边长为 aa>2 的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE=BF=CG=DH=1，当 ∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45∘ 时，求正方形 MNPQ 的面积．
小明发现，分别延长 QE，MF，NG，PH 交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点 R，S，T，W，可得 △RQF，△SMG，△TNH，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图（2））．
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为 ；
（2）求正方形 MNPQ 的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图（3），在等边 △ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF，再分别过点 D，E，F 作 BC，AC，AB 的垂线，得到等边 △RPQ．若 S△RPQ=33，则 AD 的长为 ．
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+4 经过 A−3,0，B4,0 两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 在 x 轴的负半轴上，且 BD=BC，有一动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 移动，同时另一个动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 以某一速度向点 A 移动．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 CD 垂直平分，求此时 t 的值；
（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQ+MA 的值最小?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】A、 −−3=3，故错误；
B、 −−3=−3，正确；
C、 3−2=19，故错误；
D、 −32=9，故错误；
故选：B．
2. D【解析】A、 x−3 是整式，自变量 x 的取值范围是全体实数，故本选项错误；
B、由 x−3≠0 得 x≠3，故本选项错误；
C、由 x−3≥0 得，x≥3，故本选项错误；
D、由 x−3>0 得 x>3，故本选项正确．
故选：D．
3. D【解析】A．将 x=−1 代入反比例解析式得：y=3，
∴ 反比例函数图象过 −1,3，本选项正确；
B．由反比例函数图象可得：当 x>1 时，y>−3，本选项正确，
C．由反比例函数的系数 k=−3<0，得到反比例函数图象位于第二、四象限，本选项正确；
D．反比例函数 y=−3x，在第二或第四象限 y 随 x 的增大而增大，本选项错误．
综上，不正确的结论是D．
4. C【解析】A、对载人航天器“神舟十号”的零部件的检查，因为意义重大，适合采用全面调查的方式，故此选项错误；
B、某市天气预报中说“明天降雨的概率是 80%”，表示明天该市有 80% 的可能降水，故此选项错误；
C、一枚硬币，正面朝上的概率为 12，故此选项正确；
D、若甲组数据的方差 s甲2=0.1，乙组数据的方差 s乙2=0.01，则乙组数据比甲组数据稳定，故此选项错误．
5. D
【解析】如图，俯视图为三角形，故可排除A，B．主视图以及左视图都是矩形，可排除C，故选：D．
6. A【解析】∵ 连接 AB 交 OC 于点 D，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB⊥OC，OD=CD，AD=BD，
∵ 点 C 的坐标是 4,0，点 B 的纵坐标是 −1，
∴OC=4，BD=AD=1，
∴OD=CD=2，
∴ 点 A 的坐标为：2,1．
7. B【解析】如图，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D，
设 B 点坐标满足的函数解析式是 y=kx，
∴∠ACO=∠BDO=90∘，
∴∠AOC+∠OAC=90∘，
∵∠AOB=90∘，
∴∠AOC+∠BOD=90∘，
∴∠BOD=∠OAC，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△AOC:S△BOD=AOBO2，
∵AO=2BO，
∴S△AOC:S△BOD=4，
∵ 当 A 点在反比例函数 y=2xx>0 的图象上移动，
∴S△AOC=12OC⋅AC=12⋅x⋅2x=1，
∴S△BOD=12DO⋅BD=12−x⋅kx=−12k，
∴1=4×−12k，解得 k=−12，
∴B 点坐标满足的函数解析式 y=−12xx<0．
8. D【解析】延长 AE 交 DF 于 G，如图：
∵ AB=5，AE=3，BE=4，
∴ △ABE 是直角三角形，
∴ 同理可得 △DFC 是直角三角形，
∵ △ABE≌△CDF，
∴ ∠BAE=∠DCF，
∵ ∠FCD+∠CDF=90∘，
∴ ∠BAE+∠CDF=90∘，
∵ ∠BAD=∠ADC=90∘，
∴ ∠DAG+∠ADG=90∘，
可得 △AGD 是直角三角形，
∴ ∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴ ∠GAD=∠EBA，
同理可得：∠ADG=∠BAE，
在 △AGD 和 △BAE 中，
∠EAB=∠GDA,AD=AB,∠ABE=∠DAG,
∴ △AGD≌△BAEASA，
∴ AG=BE=4，DG=AE=3，
∴ EG=4−3=1，
同理可得：GF=1，
∴ EF=12+12=2，故选：D．
第二部分
9. ±4
【解析】∵±42=16，
∴16 的平方根是 ±4．
10. 3.5×106
【解析】3500000 km2=3.5×106 km2．
11. 2
【解析】2x−2y=1, ⋯⋯①x+y=4. ⋯⋯②
由①得：x−y=12，
则 x2−y2=x+yx−y=4×12=2．
12. 20%
【解析】设该药品平均每次降价的百分率为 x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒 16 元，
故 251−x2=16，
解得 x=0.2 或 1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为 20%．
13. 0.3
【解析】根据概率公式摸出黑球的概率是 1−0.2−0.5=0.3．
14. 9
【解析】∵ 正多边形的一个内角是 140∘，
∴ 它的外角是：180∘−140∘=40∘，
360∘÷40∘=9．
故答案为：9．
15. 34
【解析】连接 DC．
∵AD 为直径，
∴∠ACD=90∘，
∵∠CAD=56∘，
∴∠D=90∘−56∘=34∘，
∴∠B=∠D=34∘．
16. 32
【解析】设 ∠BAC=x，则 ∠BDC=42∘+x，
∵CD=CB，
∴∠B=∠BDC=42∘+x，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=42∘+x，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=x，
∴∠ADC=∠B+∠BCD=42∘+x+x=42∘+2x，
∵∠ADC+∠BDC=180∘，
∴42∘+2x+42∘+x=180∘，
解得 x=32∘，
∴∠BAC=32∘．
17. 3−13π
【解析】过 D 点作 DF⊥AB 于点 F．
∵AD=2，AB=4，∠A=30∘，
∴DF=AD⋅sin30∘=1，EB=AB−AE=2，
∴ 阴影部分的面积：
4×1−30×π×22360−2×1÷2=4−13π−1=3−13π．
故答案为：3−13π．
18. 433
【解析】∵ 直线 y=kxk≠0 经过点 a,3aa>0，
∴3a=ka，
∴k=3，
∴∠BOC=60∘，
又由题意可知 ∠PCO=∠PBO=90∘，
∴∠PCO+∠PBO=180∘，
∴O，B，P，C 四点共圆，OP 为直径，
如图，设圆心为 D，分别连接 CD 和 BD，过 D 作 DE⊥BC 于点 E，
则 BE=12BC=1，
∵∠BDC=2∠BOC=120∘，
∴∠BDE=60∘，
∴DE=12BD，
在 Rt△BDE 中，由勾股定理可得 BD2=DE2+BE2，
即 BD2=14BD2+1，解得 BD=233，
∴OP=2BD=433．
第三部分
19. （1） 原式=33+4−3−1=23+5.
（2） 原式=4−x2x−1⋅x−12x−2=−x+2x−1=−x2−x+2.
20. （1）
x2−x−3=0.a=1,b=−1,c=−3.∵Δ=1+12=13.∴x=1±132.
（2）
5x−2>3x+1, ⋯⋯①12x≤8−32x. ⋯⋯②
由①得：
x>52.
由②得：
x≤4.
故不等式组的解集是
52
∴ 跳 98 个的有 13−5=8 人，
跳 90 个的有 40−1−2−8−11−8−5=5 人，
故统计表为：
跳绳数/个818590939598100人数12581185
直方图为：
（2） 95；95
【解析】观察统计表知：众数为 95 个，中位数为 95 个．
（3） 估计该中学初三年级不能得满分的有 720×1+240=54 人．
22. 画树状图：
共有 12 个等可能的结果，其中恰好是甲乙的占 2 个，
∴ 恰好选中甲、乙两位同学的概率 =212=16．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF−∠EAF=∠DAE−∠EAF，即：∠BAE=∠DAF，
∴△BAE≌△DAF，
∴BE=DF．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG．
∴ADBE=DGBG．
又 ∵BE=DF，DFFC=ADDF，
∴DGBG=ADDF=DFFC．
∴DGDB=DFDC，又 ∠BDC=∠GDF，
故 △BDC∽△GDF，再由对应角相等有 ∠DBC=∠DGF，
∴GF∥BC（同位角相等则两直线平行），
∴∠DGF=∠DBC，
∵BC=CD，
∴∠BDC=∠DBC=∠DGF．
∴GF=DF=BE．
∵GF∥BC，GF=BE，
∴ 四边形 BEFG 是平行四边形．
24. 设甲工厂每天加工 x 件产品，则乙工厂每天加工 1.5x 件产品，
依题意得
1200x−12001.5x=10.
解得：
x=40.
经检验：x=40 是原方程的根，且符合题意．
所以 1.5x=60．
答：甲工厂每天加工 40 件产品，乙工厂每天加工 60 件产品．
25. 如图，过点 E 作 EF⊥AC，EG⊥CD．
在 Rt△DEG 中，∵DE=1620，∠D=30∘，
∴EG=DEsin∠D=1620×12=810，
∵BC=857.5，CF=EG，
∴BF=BC−CF=47.5，
在 Rt△BEF 中，tan∠BEF=BFEF，
∴EF=3BF，
在 Rt△AEF 中，∠AEF=60∘，设 AB=x，
∵tan∠AEF=AFEF，
∴AF=EF×tan∠AEF，
∴x+47.5=3×47.5，
∴x=95．
答：雕像 AB 的高度为 95 尺．
26. （1） 设线段 CD 对应的函数解析式为 y=kx+b，
可得：100=2k+b,400=4.5k+b.
解得：k=120,b=−140.
所以线段 CD 对应的函数表达式为：y=120x−1402≤x≤4.5．
（2） 由图象可得：直线 OA 的解析式为：y=80x，
根据两图象相交的交点指的是两车相遇，
可得：80x=120x−140，
解得：x=3.5，
把 x=3.5 代入 y=80x，得：y=280；
所以 E 点的坐标为 3.5,280，
即表示当货车出发 3.5 小时时货车和轿车相遇．
（3） 12，114，174，378
【解析】设货车出发 x h 后，
可得：120x−140−30=80x，
解得：x=4.25，
故答案为：4.25．
由题意知，B13,0，
∴BC 段解析式为 y=60x−2013≤x≤2，
货车与轿车相距 30 km 有四种情况：
（1）13≤x≤2 时，80x−60x−20=30，解得 x=12；
（2）2
27. （1） a
【解析】四个等腰直角三角形的斜边长为 a，则斜边上的高为 12a，
每个等腰直角三角形的面积为：12a⋅12a=14a2，
则拼成的新正方形面积为：4×14a2=a2，即与原正方形 ABCD 面积相等，
∴ 这个新正方形的边长为 a．
（2） ∵ 四个等腰直角三角形的面积和为 a2，正方形 ABCD 的面积为 a2，
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4×12×12=2.
（3） 23
【解析】如答图 1 所示，分别延长 RD，QF，PE，交 FA，EC，DB 的延长线于点 S，T，W．
由题意易得：△RSF，△QET，△PDW 均为底角是 30∘ 的等腰三角形，其底边长均等于 △ABC 的边长．
不妨设等边三角形边长为 a，则 SF=AC=a．
如答图 2 所示，过点 R 作 RM⊥SF 于点 M，则 MF=12SF=12a，
在 Rt△RMF 中，RM=MF⋅tan30∘=12a×33=36a，
∴S△RSF=12a⋅36a=312a2．
过点 A 作 AN⊥SD 于点 N，设 AD=AS=x，
则 AN=AD⋅sin30∘=12x，SD=2ND=2ADcs30∘=3x，
∴S△ADS=12SD⋅AN=12⋅3x⋅12x=34x2．
∵ 三个等腰三角形 △RSF，△QET，△PDW 的面积和 =3S△RSF=3×312a2=34a2，
∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，
∴33=3×34x2，得 x2=49，解得 x=23 或 x=−23（不合题意，舍去）
∴x=23，即 AD 的长为 23．
28. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+4 经过 A−3,0，B4,0 两点，
∴9a−3b+4=0,16a+4b+4=0, 解得 a=−13,b=13,
∴ 所求抛物线的解析式为：y=−13x2+13x+4．
（2） 如图 1，依题意知 AP=t，连接 DQ，
∵A−3,0，B4,0，C0,4，
∴AC=5，BC=42，AB=7．
∵BD=BC，
∴AD=AB−BD=7−42，
∵CD 垂直平分 PQ，
∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP．
∵BD=BC，
∴∠DCB=∠CDB．
∴∠CDQ=∠DCB．
∴DQ∥BC．
∴△ADQ∽△ABC．
∴ADAB=DQBC，
∴ADAB=DPBC，
∴7−427=DP42，解得 DP=42−327，
∴AP=AD+DP=177．
∴ 线段 PQ 被 CD 垂直平分时，t 的值为 177．
（3） 如图 2，设抛物线 y=−13x2+13x+4 的对称轴 x=12 与 x 轴交于点 E．
点 A，B 关于对称轴 x=12 对称，连接 BQ 交该对称轴于点 M．
则 MQ+MA=MQ+MB，即 MQ+MA=BQ，
∵ 当 BQ⊥AC 时，BQ 最小，此时，∠EBM=∠ACO，
∴tan∠EBM=tan∠ACO=34，
∴MEBE=34，
∴ME72=34，解 ME=218．
∴M12,218，即在抛物线 y=−13x2+13x+4 的对称轴上存在一点 M12,218，使得 MQ+MA 的值最小．
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