2018年杭州市拱墅区中考二模数学试卷

这是一份2018年杭州市拱墅区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −22=
A. 14B. −14C. 4D. −4

2. 2018 年五一小长假，杭州市公园、景区共接待游客总量 617.57 万人次，用科学记数法表示 617.57 万的结果是
A. 6.1757×105B. 6.1757×106C. 0.61757×106D. 0.61757×107

3. 四张分别画有平行四边形、等腰直角三角形、正五边形、圆的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图形恰好是中心对称图形的概率是
A. 14B. 12C. 34D. 1

4. 如表是某校乐团的年龄分布，其中一个数据被遮盖了，下面对于中位数的说法正确的是
年龄13141516频数5713■
A. 中位数是 14B. 中位数可能是 14.5
C. 中位数是 15 或 15.5D. 中位数可能是 16

5. 当 x=1 时，代数式 x3+x+m 的值是 7，则当 x=−1 时，这个代数式的值是
A. 7B. 3C. 1D. −7

6. 某班分两组志愿者去社区服务，第一组 20 人，第二组 26 人．现第一组发现人手不够，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的 2 倍?设抽调 x 人，则可列方程
A. 20=226−xB. 20+x=2×26
C. 220+x=26−xD. 20+x=226−x

7. 如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m 分别交直线 a，b，c 于点 A，B，C，直线 n 分别交直线 a，b，c 于点 D，E，F，若 AB=2，AD=BC=4，则 BECF 的值应该
A. 等于 13B. 大于 13C. 小于 13D. 不能确定

8. 方程 x2−6x+9x−1−3−xx2−1=0 的解的个数为
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个

9. 二次函数 y=−x2+mx 的图象如图，对称轴为直线 x=2，若关于 x 的一元二次方程 −x2+mx−t=0（t 为实数）在 1A. t>−5B. −5
10. 如图，已知 E，F 分别为正方形 ABCD 的边 AB，BC 的中点，AF 与 DE 交于点 M，O 为 BD 的中点，则下列结论：①∠AME=90∘；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90∘；④MD=2AM=4EM；⑤AM=23MF．其中正确结论的个数是
A. 5 个B. 4 个C. 3 个D. 2 个

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：a3−16a= ．

12. 已知 2xx+1=x+1，则 x= ．

13. 一个仅装有球的不透明布袋里共有 4 个球（只有颜色不同），其中 3 个是红球，1 个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是 ．

14. 已知一块直角三角形钢板的两条直角边分别为 30 cm，40 cm，能从这块钢板上截得的最大圆的半径为 ．

15. 如图，点 A 是双曲线 y=−9x 在第二象限分支上的一个动点，连接 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为底作等腰 △ABC，且 ∠ACB=120∘，点 C 在第一象限，随着点 A 的运动，点 C 的位置也不断变化，但点 C 始终在双曲线 y=kx 上运动，则 k 的值为 ．

16. 如图，⊙O 的半径为 2，弦 BC=23，点 A 是优弧 BC 上一动点（不包括端点），△ABC 的高 BD，CE 相交于点 F，连接 ED．下列四个结论：
① ∠A 始终为 60∘；
②当 ∠ABC=45∘ 时，AE=EF；
③当 △ABC 为锐角三角形时，ED=3；
④线段 ED 的垂直平分线必平分弦 BC．
其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 某校实验课程改革，初三年级设罝了A，B，C，D四门不同的拓展性课程（每位学生只选修其中一门，所有学生都有一门选修课程），学校摸底调査了初三学生的选课意向，并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，问该校初三年级共有多少名学生?其中要选修B，C课程的各有多少名学生?

18. 在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c（b，c 都是常数）的图象经过点 1,0 和 0,2．
（1）当 −2≤x≤2 时，求 y 的取值范围．
（2）已知点 Pm,n 在该函数的图象上，且 m+n=1，求点 P 的坐标．

19. 已知，如图，△ABC 中，AB=2，BC=4，D 为 BC 边上一点，BD=1．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）在原图上作 DE∥AB 交 AC 与点 E，请直接写出另一个与 △ABD 相似的三角形，并求出 DE 的长．

20. 某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了 40 min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段 DE 表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据 y 与时间 xmin 之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数 y=kx 对应曲线 EF 表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据 y 与时间 xmin 之间的函数关系（40≤x≤?）．根据图象解答下列问题：
（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是 ；
（2）求反比例函数 y=kx 的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应 x 的值．

21. 如图，以 △ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其他两边 AC，BC 的交点分别为 D，E，且 DE=BE．
（1）试判断 △ABC 的形状，并说明理由；
（2）已知半圆的半径为 5，BC=12，求 sin∠ABD 的值．

22. 已知 y 关于 x 的二次函数 y=ax2−bx+2a≠0．
（1）当 a=−2，b=−4 时，求该函数图象的对称轴及顶点坐标．
（2）在（1）的条件下，Qm,t 为该函数图象上的一点，若 Q 关于原点的对称点 P 也落在该函数图象上，求 m 的值．
（3）当该函数图象经过点 1,0 时，若 A12,y1，B12+3a,y2 是该函数图象上的两点，试比较 y1 与 y2 的大小．

23. 已知边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 在射线 BC 上，且 BE=2CE，连接 AE 交射线 DC 于点 F，若 △ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 B1 处．
（1）如图 1，若点 E 在线段 BC 上，求 CF 的长；
（2）求 sin∠DAB1 的值；
（3）如果题设中“BE=2CE”改为“BECE=x”，其它条件都不变，试写出 △ABE 翻折后与正方形 ABCD 公共部分的面积 y 与 x 的关系式及自变量 x 的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．
答案
第一部分
1. C
2. B【解析】617.57 万 =6.1757×106．
3. B【解析】∵ 四张卡片中中心对称图形有平行四边形、圆，共 2 个，
∴ 卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为 24=12．
4. D【解析】5+7+13=25，由列表可知，人数大于 25 人，则中位数是 15 或 15+16÷2=15.5 或 16．
5. B
【解析】将 x=1 代入得：1+1+m=7，
解得：m=5．
将 x=−1 代入得：
原式=−1−1+m=−1−1+5=3.
6. D【解析】设抽调 x 人，由题意得：20+x=226−x．
7. B【解析】作 AH∥n 分别交 b，c 于 G，H，如图，
易得四边形 AGED 、四边形 AHFD 为平行四边形，
∴HF=GE=AD=4，
∵ 直线 a∥b∥c，
∴ABAC=BGCH，即 BGCH=22+4=13，
∴BECF=BG+2CH+2=13CH+2CH+2=13CH+2+43CH+2=13+43CH+2，
∴BECF>13．
8. D【解析】去分母得：x−32x+1+x−3=0，
分解因式得：x−3x−3x+1+1=0，
可得 x−3=0 或 x2−2x−2=0，
解得：x=3 或 x=1±3，
经检验 x=3 与 x=1±3 都为分式方程的解，
则分式方程的解的个数为 3 个．
9. D
10. B
【解析】在正方形 ABCD 中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90∘，
∵E，F 分别为边 AB，BC 的中点，
∴AE=BF=12BC，
在 △ABF 和 △DAE 中，
BF=AE,∠ABF=∠DAE,AB=DA,
∴△ABF≌△DAE，
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90∘，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90∘，
∴∠AMD=180∘−∠ADE+∠DAF=180∘−90∘=90∘，
∴ ∠AME=180∘−∠AMD=180∘−90∘=90∘，故 ① 正确；
∵ DE 是 △ABD 的中线，
∴ ∠ADE≠∠EDB，
∴ ∠BAF≠∠EDB，故 ② 错误；
∵ ∠BAD=90∘，AM⊥DE，
∴ ∠AME=∠AMD=∠EAD=90∘，
又 ∵ ∠AEM=∠DEA，∠ADE=∠MAE，
∴ △AED∽△MAD∽△MEA，
∴ AMEM=MDAM=ADAE=2，
∴ AM=2EM，MD=2AM，
∴ MD=2AM=4EM，故 ④ 正确；
设正方形 ABCD 的边长为 2a，则 BF=a，
在 Rt△ABF 中，AF=AB2+BF2=2a2+a2=5a，
∵ ∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90∘，
∴ △AME∽△ABF，
∴ AMAB=AEAF，即 AM2a=a5a，
解得 AM=255a，
∴ MF=AF−AM=5a−255a=355a，
∴ AM=23MF，故 ⑤ 正确；
如图，过点 M 作 MN⊥AB 于点 N，
则 MNBF=ANAB=AMAF，即 MNa=AN2a=255a5a，
解得 MN=25a，AN=45a，
∴ NB=AB−AN=2a−45a=65a，
根据勾股定理，BM=NB2+MN2=65a2+25a2=2105a，
过点 M 作 GH∥AB，过点 O 作 OK⊥GH 于点 K，
由题意得 OK=HF，KH=a，则 OK=a−25a=35a，MK=65a−a=15a，
在 Rt△MKO 中，MO=MK2+OK2=15a2+35a2=105a，
根据正方形的性质得，BO=2a×22=2a，
∵ BM2+MO2=2105a2+105a2=2a2，BO2=2a2=2a2，
∴ BM2+MO2=BO2，
∴ △BMO 是直角三角形，∠BMO=90∘，故 ③ 正确；
综上所述，正确的结论有 ①③④⑤ 共 4 个．
第二部分
11. a(a−4)(a+4)
12. −1 或 12
【解析】2xx+1−x+1=0，
x+12x−1=0，
x+1=0 或 2x−1=0，
∴x1=−1，x2=12．
13. 12
【解析】画树状图如下：
一共 12 种等可能性的情况，两次都摸到红球的有 6 种情况，
故两次都摸到红球的概率是 612=12．
14. 10 cm
【解析】∵ 有一块直角三角形的钢板，其两条直角边分别为 30 cm 和 40 cm，
∴ 斜边为：50 cm，
∴ 直角三角形的内切圆半径为：30+40−502=10cm．
15. 3
【解析】连接 CO，过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，
∵ 连接 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为底作等腰 △ABC，且 ∠ACB=120∘，
∴CO⊥AB，∠CAB=30∘，则 ∠AOD+∠COE=90∘，
∵∠DAO+∠AOD=90∘，
∴∠DAO=∠COE，
又 ∵∠ADO=∠CEO=90∘，
∴△AOD∽△OCE，
∴ADEO=ODCE=OAOC=tan60∘=3，
∴S△AODS△EOC=32=3，
∵ 点 A 是双曲线 y=−9x 在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD=12×xy=92，
∴S△EOC=32，即 12×OE×CE=32，
∴k=OE×CE=3．
16. ①②③④
【解析】①延长 CO 交 ⊙O 于点 G，如图 1．
则有 ∠BGC=∠BAC．
∵CG 为 ⊙O 的直径，
∴∠CBG=90∘．
∴sin∠BGC=BCCG=234=32．
∴∠BGC=60∘．
∴∠BAC=60∘，故①正确．
②如图 2，
∵∠ABC=45∘，CE⊥AB，即 ∠BEC=90∘，
∴∠ECB=45∘=∠EBC．
∴EB=EC．
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC=∠BDC=90∘．
∴∠EBF+∠EFB=90∘，∠DFC+∠DCF=90∘．
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF．
在 △BEF 和 △CEA 中，
∠FBE=∠ACE,BE=CE,∠BEF=∠CEA=90∘,
∴△BEF≌△CEA．
∴AE=EF，故②正确．
③如图 2，
∵∠AEC=∠ADB=90∘，∠A=∠A，
∴△AEC∽△ADB．
∴AEAD=ACAB．
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB．
∴EDBC=AEAC．
∵csA=AEAC=cs60∘=12，
∴EDBC=12．
∴ED=12BC=3，故③正确．
④取 BC 中点 H，连接 EH，DH，如图 3 、图 4．
∵∠BEC=∠CDB=90∘，点 H 为 BC 的中点，
∴EH=DH=12BC．
∴ 点 H 在线段 DE 的垂直平分线上，即线段 ED 的垂直平分线平分弦 BC，故④正确．
第三部分
17. 180÷45%=400（名），
所以该校初三年级共有 400 名学生，
要选修C的学生数为 400×12%=48（名）；
要选修B的学生数为 400−180−48−72=100（名）．
18. （1） 将 1,0，0,2 代入 y=x2+bx+c 得：1+b+c=0,c=2.
解得：b=−3,c=2,
∴ 这个函数的解析式为：y=x2−3x+2=x−322−14，
把 x=−2 代入 y=x2−3x+2 得，y=12，
∴y 的取值范围是 −14≤y≤12．
（2） ∵ 点 Pm,n 在该函数的图象上，
∴n=m2−3m+2，
∵m+n=1，
∴m2−2m+1=0，
解得 m=1，n=0，
∴ 点 P 的坐标为 1,0．
19. （1） ∵AB=2，BC=4，BD=1，
∴ABBC=24=12，BDAB=12，
∴ABBC=BDAB，
∵∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA．
（2） ∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴△ABD∽△CDE，
∴DE=1.5．
20. （1） 20
【解析】当 0≤x≤40 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y=ax+b，
10a+b=35,30a+b=65, 得 a=1.5,b=20,
∴y=1.5x+20，
当 x=0 时，y=1.5×0+20=20．
（2） 将 x=40 代入 y=1.5x+20，得 y=80，
∴ 点 E40,80，
∵ 点 E 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴80=kx，得 k=3200，
即反比例函数 y=3200x，
当 y=20 时，20=3200x，得 x=160，
即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应 x 的值是 160．
21. （1） △ABC 为等腰三角形．理由如下：
连接 AE，
∵DE=BE．
∴∠DAE=∠BAE，即 AE 平分 ∠BAC．
∵AB 为直径，
∴∠AEB=90∘，
∴AE⊥BC．易得 △ABE≌△ACE，
∴AB=AC，
△ABC 为等腰三角形．
（2） ∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=CE=12BC=12×12=6．
在 Rt△ABE 中，
∵AB=10，BE=6，
∴AE=102−62=8．
∵AB 为直径，
∴∠ADB=90∘．
∴S△ABC=12AE⋅BC=12BD⋅AC，
∴BD=8×1210=485．
在 Rt△ABD 中，
∵AB=10，BD=485．
在 Rt△ABD 中，
∵AB=10，BD=485，
∴AD=AB2−BD2=145．
∴sin∠ABD=ADAB=14510=725．
22. （1） 当 a=−2，b=−4 时，y=−2x2+4x+2=−2x−12+4，
∴ 该函数图象的顶点坐标是 1,4，对称轴为直线 x=1；
（2） 点 Qm,t 关于原点对称的点的坐标 P 是 −m,−t，
则 t=−2m−12+4,−t=−2−m−12+4, 解得，m=±1．
（3） ∵ 函数的图象经过点 1,0，
∴0=a−b+2，
∴b=a+2，
∵y=ax2−bx+2，
∴ 函数的对称轴为直线 x=b2a=a+22a=12+1a，
当 a>0 时，12<12+1a<12+3a，
∵12+1a−12=1a，12+3a−12+1a=2a，A12,y1，B12+3a,y2 是该函数图象上的两点，
∴y2>y1，
当 a<0 时，12+3a<12+1a<12，
∵12−1a+12=−1a，12+1a−12+3a=−2a，A12,y1，B12+3a,y2 是该函数图象上的两点，
∴y1>y2．
23. （1） ∵AB∥DF，
∴ABCF=BECE，
∵BE=2CE，AB=3，
∴3CF=2CECE，
∴CF=32．
（2） ①若点 E 在线段 BC 上，如图 1，设直线 AB1 与 DC 相交于点 M．
由题意翻折得：∠1=∠2．
∵AB∥DF，
∴∠1=∠F，
∴∠2=∠F，
∴AM=MF．
设 DM=x，则 CM=3−x．
又 ∵CF=1.5，
∴AM=MF=92−x，
在 Rt△ADM 中，AD2+DM2=AM2，
∴32+x2=92−x2，
∴x=54，
∴DM=54，AM=134，
∴sin∠DAB1=DMAM=513；
②若点 E 在边 BC 的延长线上，如图 2，设直线 AB1 与 CD 延长线相交于点 N．
同理可得：AN=NF．
∵BE=2CE，
∴BC=CE=AD．
∵AD∥BE，
∴ADCE=DFFC，
∴DF=FC=32，
设 DN=x，则 AN=NF=x+32．
在 Rt△ADN 中，AD2+DN2=AN2，
∴32+x2=x+322，
∴x=94，
∴DN=94，AN=154sin∠DAB1=DNAN=35．
（3） 若点 E 在线段 BC 上，y=9x2x+2，定义域为 x>0；
若点 E 在边 BC 的延长线上，y=9x−92x，定义域为 x>1．