2018年江苏省南京市溧水县中考一模数学试卷

这是一份2018年江苏省南京市溧水县中考一模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. −23 的相反数是
A. −32B. 23C. 32D. −23

2. 下列运算正确的是
A. 2a+3b=5abB. a2⋅a3=a5C. 2a3=6a3D. a6+a3=a9

3. 纳米是非常小的长度单位，1 纳米=10−9 米，目前发现一种新型病毒直径为 25100 纳米，用科学记数法表示该病毒直径是
A. 2.51×10−5 米B. 25.1×10−6 米
C. 0.251×10−4 米D. 2.51×10−4 米

4. 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A. a>−4B. bd>0
C. a>dD. b+c>0

5. 如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是
A. B.
C. D.

6. 如图，⊙O 是以原点为圆心，23 为半径的圆，点 P 是直线上 y=−x+8 的一点，过点 P 作 ⊙O 的一条切线 PQ，Q 为切点，则切线长 PQ 的最小值为
A. 4B. 25C. 8−23D. 213

二、填空题（共10小题；共50分）
7. 计算：12−1−9= ．

8. 当 x 时，二次根式 2x−3 有意义．

9. 化简 2a2−1−1a−1 的结果是 ．

10. 若关于 x 的方程 x2+5x+m=0 的两个根分别为 x1，x2，且 1x1+1x2=1，则 m= ．

11. 已知圆锥的底面半径长为 5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为 ．

12. 某校开展“节约用电，保护环境”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用电情况，从九年级的 300 名同学中随机选取 40 名同学，统计了他们各自家庭一个月节约用电的情况，绘制统计表如下：
节电量/度23456家庭数/个5121283
请你估计九年级 300 名同学的家庭一个月节约用电的总量大约是 度．

13. 如图，已知直角三角形 ABC 中，∠C=90∘，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转至 △AED，使点 C 的对应点 D 恰好落在边 AB 上，E 为点 B 的对应点．设 ∠BAC=a，则 ∠BED= ．（用含 a 的代数式表示）

14. 如图，一次函数的图象与 x 轴交于点 A1,0，它与 x 轴所成的锐角为 α，且 tanα=32，则此一次函数表达式为 ．

15. 如图，平行四边形 ABCD 的顶点 A 在函数 y=3xx>0 的图象上，其余点均在坐标轴上，则平行四边形 ABCD 的面积为 ．

16. 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点 A ，再走上坡路到达点 B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示.下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. （1）计算：12−3+56−712÷−136；
（2）化简：3a−2−12a2−4÷1a+2．

18. 某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶 5 次，成绩统计如下：
命中环数/环678910甲命中相应环数的次数/次01310乙命中相应环数的次数/次20021
（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是 ，乙命中环数的众数是 ；
（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定?
（3）如果乙再射击 1 次，命中 8 环，那么乙射击成绩的方差会 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）

19. 一个不透明箱子中有 2 个红球，1 个黑球和 1 个白球，四个小球的形状、大小完全相同．
（1）从中随机摸取 1 个球，则摸到黑球的概率为 ．
（2）小明和小贝做摸球游戏，游戏规则如下．
游戏规则让小明先从箱子中随机摸取一个小球,记下颜色后放回箱子,摇匀后再让小贝随机摸取一个小球,记下颜色,若两人所摸小球的颜色相同,则小明胜;反之,则小贝胜
你认为这个游戏公平吗?请说明理由．

20. 某工厂有甲、乙两台机器加工同一种零件，已知一小时甲加工的零件数与一小时乙加工的零件数的和为 36 个，甲加工 80 个零件与乙加工 100 个零件的所用时间相等．求甲、乙两台机器每小时分别加工零件多少个?

21. 如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC．
（1）用尺规作出圆心在直线 BC 上，且过 A，C 两点的 ⊙O；（注：保留作图痕迹，标出点 O，并写出作法）
（2）若 ∠B=30∘，求证：AB 与（1）中所作 ⊙O 相切．

22. 现正是闽北特产杨梅热销的季节．某水果零售商店分两批次批发市场购进杨梅 40 箱．已知一、二次进货价分别为每箱 50 元、 40 元，且第二次比第一次多付款 700 元．（注：按整箱出售，利润=销售总收入−进货总成本）
（1）设第一，二次购进杨梅的箱数分别为 a 箱、 b 箱．求 a，b 的值；
（2）若商店对这 40 箱杨梅先按每箱 60 元销售了 x 箱，其余的按每箱 35 元全部售完．
①求商店销售完全部杨梅所获利润 y（元）与 x（箱）之间的函数关系式；
②当 x 的值至少为多少时，商店才不会亏本．

23. 如图，一艘救生船在码头 A 接到小岛 C 处一艘渔船的求救信号，立即出发，沿北偏东 67∘ 方向航行 10 海里到达小岛 C 处，将人员撤离到位于码头 A 正东方向的码头 B，测得小岛 C 位于码头 B 的北偏西 53∘ 方向，求码头 A 与码头 B 的距离．
【参考数据：sin23∘≈0.39，cs23∘≈0.92，tan23∘≈0.42，sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75 】

24. 如图，在菱形 ABCD 中，G 是 BD 上一点，连接 CG 并延长交 BA 的延长线于点 F，交 AD 于点 E．
（1）求证：△ADG≌△CDG．
（2）若 EFEC=12，EG=4，求 AG 的长．

25. 已知抛物线 y=2x2+bx+c 经过 A2,−1．
（1）若抛物线的对称轴为直线 x=1，求 b，c 的值；
（2）求证：抛物线与 x 轴有两个不同的交点；
（3）设抛物线顶点为 P，若 O，A，P 三点共线（O 为坐标原点），求 b 的值．

26. 正方形网格（边长为 1 的小正方形组成的网格纸，正方形的顶点称为格点）是我们在初中阶段常用的工具，利用它可以解决很多问题．
（1）如图①中，△ABC 是格点三角形（三个顶点为格点），则它的面积为 ；
（2）如图②，在 4×4 网格中作出以 A 为顶点，且面积最大的格点正方形（四个顶点均为格点）；
（3）人们发现，记格点多边形（顶点均为格点）内的格点数为 a 个，边界上的格点数为 b 个，则格点多边形的面积可表示为 S＝ma+nb−1，其中 m，n 为常数．试确定 m，n 的值．

27. 我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角 ω（0∘<ω<180∘ 且 ω≠90∘），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点．如图 1，经过平面内一点 P 作坐标轴的平行线 PM 和 PN，分别交 x 轴和 y 轴于点 M，N，点 M，N 在 x 轴和 y 轴上所对应的数分别叫做 P 点的 x 坐标和 y 坐标，有序实数对 x,y 称为点 P 的斜坐标，记为 Px,y．
（1）如图 2，ω=45∘，矩形 OABC 中的一边 OA 在 x 轴上，BC 与 y 轴交于点 D，OA=2，OC=1．
①点 A，B，C 在此斜坐标系内的坐标分别为 A ，B ，C ；
②设点 Px,y 在经过 O，B 两点的直线上，则 y 与 x 之间满足的关系为 ；
③设点 Qx,y 在经过 A，D 两点的直线上，则 y 与 x 之间满足的关系为 ．
（2）若 ω=120∘，O 为坐标原点．
①如图 3，⊙M 与 y 轴相切于原点 O，被 x 轴截得的弦长 OA=43，求 ⊙M 的半径及圆心 M 的斜坐标；
②如图 4，⊙M 的圆心斜坐标为 M2,2，若圆上恰有两个点到 y 轴的距离为 1，则 ⊙M 的半径 r 的取值范围是 ．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. A
4. C
5. A
6. B
第二部分
7. −1
8. ≥32
9. −1a+1
【解析】原式=2a+1a−1−a+1a+1a−1=−a−1a+1a−1=−1a+1.
10. −5
11. 10
12. 1140
13. 12α
14. y=32x−32
15. 3
16. 15
【解析】由图象可知，去时，平路路程 1 千米，时间 3 分钟，平路速度 =13 千米/分，
上坡路程为 2−1=1 千米，时间 8−3=5 分钟，上坡路速度 =15 千米/分，
下坡路程 4−2=2 千米，时间 12−8=4 分钟，下坡路速度 =24=12 千米/分，
所以，王师傅从单位到家门口需要时间 =2÷15+1÷12+1÷13=15 分钟
第三部分
17. （1） 解法 1：
原式=12×−36−3×−36+56×−36−712×−36=−18+108−30+21=81.
【解析】解法 2：
原式=−94×−36=81.
（2） 原式=3a+2a+2a−2−12a+2a−2⋅a+2=3a−2a+2a−2⋅a+2=3.
18. （1） 8；6 或 9
（2） x甲=8 环，x乙=8 环，
S甲2=15×1+0+0+0+1=25；
S乙2=15×4+4+1+1+4=145，
因为 x甲=x乙，S甲2所以甲的成绩比较稳定．
（3） 变小
19. （1） 14
【解析】箱子中有 2 个红球，1 个黑球和 1 个白球，从中随机摸取 1 个球，则摸到黑球的概率为 14．
（2） 画树状图：
共有 16 种等可能的结果，其中两人所摸小球的颜色相同的有 6 种，两人所摸小球的颜色不同的有 10 种，
∴ 两人所摸小球的颜色相同的概率为 616=38，两人所摸小球的颜色不同的概率为 1016=58，
∴ 小贝胜的可能性大，
∴ 这个游戏不公平．
20. 设甲机器每小时加工 x 个零件，则乙机器每小时加工 36−x 个零件，可得方程：
80x=10036−x.
解得：
x=16.
经检验：x=16 是方程的解．
∴36−x=20
答：甲机器每小时加工 16 个零件，乙机器每小时加工 20 个零件．
21. （1） 如图 1 所示为所求：
作法：
①作 AC 的垂直平分线交 BC 于点 O；
②以点 O 为圆心，OC 为半径作 ⊙O，则 ⊙O 为所求作的圆．
（2） 如图 2，连接 OC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30∘，
∴∠BAC=120∘，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=30∘，
∴∠BAO=90∘，
∵ 点 A 在 ⊙O 上，
∴AB 与 ⊙O 相切．
22. （1） 依题意，得
a+b=40,40b−50a=700.
解得
a=10,b=30.
答：a，b 的值分别为 10，30．
（2） ①依题意，得 y=60x+3540−x−10×50+30×40，
所以 y=25x−300．
②商店要不亏本，则 y≥0，
所以 25x≥300，
解得 x≥12．
答：当 x 的值至少为 12 时，商店才不会亏本．
23. 如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，
由题意得 ∠CAD=23∘，∠CBD=37∘，
在 Rt△ACD 中，sin∠CAD=CDAC，
∴CD=sin∠CAD⋅AC≈0.39×10=3.9（海里），
∵cs∠CAD=ADAC，
∴AD=cs∠CAD⋅AC≈0.92×10=9.2（海里），
在 Rt△CDB 中，tan∠CBD=CDDB，
∴DB=CDtan∠CBD≈（海里），
∴AB=AD+BD=9.2+5.2=14.4（海里）．
答：码头 A 与码头 B 相距 14.4 海里．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=CD，AD=CB，
在 △ABD 和 △CDB 中，
AB=CD,AD=CB,BD=DB,
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ADB=∠CDB，
在 △ADG 和 △CDG 中，
AD=CD,∠ADB=∠CDB,DG=DG,
∴△ADG≌△CDG．
（2） ∵△ADG≌△CDG，
∴AG=GC，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△FAE∽△FBC，
∴AEBC=EFCF，
∵EFEC=12，
∴EFFC=13，
∴AEBC=13，
∴DEBC=23 ，
∵AD∥BC，
∴∠GDE=∠GBC，∠GED=∠GCB，
又 ∵∠DGE=∠BGC，
∴△DGE∽△BGC，
∴EGCG=DEBC=23，
∵EG=4，
∴CG=6，
∴AG=6．
25. （1） ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴−b2a=−b4=1，
∴b=−4，
将 A2,−1 代入 y=2x2−4x+c 中，解得 c=−1．
（2） 由题意可得，b2−4ac=b2−8c，将点 2,−1 代入 y=2x2+bx+c，得 c=−2b−9，
即 b2−4ac=b2−8−2b−9=b+82+8>0，
∴ 方程 2x2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，
∴ 抛物线与 x 轴有两个不同的交点．
（3） 由题意得，抛物线顶点坐标为 −b4,−b+82−88，
直线 OA 关系式为 y=−12x，将顶点坐标代入直线 OA，
得方程 b2+17b+72=0，
解得 b1=−8，b2=−9．
26. （1） 5
（2） 如图所示为所求．
（3） 由题意得，4m+4n−1=5,9m+4n−1=10. 解得：m=1,n=12.
27. （1） ① 2,0；1,2；−1,2；
② y=2x；
③ y=−22x+2
（2） ①如图，作 ME∥x 轴，MF∥y 轴，MN⊥x 轴，
则四边形 MEOF 是平行四边形，
∵⊙M 与 y 轴相切于原点 O，
∴∠MOE=90∘，
∵ω=120∘，
∴∠MON=30∘，
∵MN⊥OA，
∴ON=23，
求得 MO=4，MN=2，
∵ 四边形 MEOF 是平行四边形，ω=120∘，
∴∠MEO=60∘，
又 ∵MO=4，∠MOE=90∘，
∴ME=833，
∴OF=833，
∴NF=233，求得 MF=433，
∴M833,433．
② 3−1