2018年广东省广州市番禺区中考一模数学试卷

这是一份2018年广东省广州市番禺区中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列运算正确的是
A. 3a+2a=5a2B. 9=±3C. x2+x2=2x2D. x6÷x2=x3

2. 若 α，β 是一元二次方程 x2−5x−2=0 的两个实数根，则 α+β 的值为
A. −5B. 5C. −2D. 25

3. 如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是
A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④

4. 已知 a，b 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是
A. a>bB. ab<0C. b−a>0D. a+b>0

5. 袋中有同样大小的 4 个小球，其中 3 个红色，1 个白色．从袋中任意地同时摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是
A. 12B. 13C. 23D. 14

6. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=3，∠ABC=60∘，则对角线 AC=
A. 12B. 9C. 6D. 3

7. 如图，AB 是 ⊙O 直径，AC 是 ⊙O 的切线，连接 OC 交 ⊙O 于点 D，连接 BD，若 ∠C=42∘，则 ∠ABD 的度数是
A. 48∘B. 28∘C. 34∘D. 24∘

8. 桌子上摆放了若干碟子，其三视图如图所示，则桌子上共有碟子
A. 17 个B. 12 个C. 9 个D. 8 个

9. 如图所示，小明同学用纸制作了一个圆锥形漏斗模型，它的底面直径 AB=12 cm，高 OC=8 cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是
A. 30 cm2B. 36π cm2C. 60π cm2D. 120 cm2

10. 如图，抛物线 y=x2−9 与 x 轴交于 A，B 两点，点 P 在函数 y=3x 的图象上，若 △PAB 为直角三角形，则满足条件的点 P 的个数为
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 6 个

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 函数 y=x−5 中，自变量 x 的取值范围是 ．

12. 分解因式：a2b−4ab+4b= ．

13. 某射击俱乐部将 11 名成员在某次射击训练中取得的成绩绘制成如图所示的条形统计图．由图可知，11 名成员射击成绩的中位数是 环．

14. 不等式组 x+3>0,2x−1+3≥3x 的解集为 ．

15. 如图，在一次测绘活动中，某同学站在点 A 的位置观测停放于点 B，C 两处的小船，测得船 B 在点 A 北偏东 75∘ 方向 150 米处，船 C 在点 A 南偏东 15∘ 方向 120 米处，则船 B 与船 C 之间的距离为 米（精确到 0.1 m）．

16. 直线 y=x−2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B，C，与反比例函数 y=kxk>0 的图象在第一象限交于点 A，连接 OA，若 S△AOB:S△BOC=1:2，则 k 是值为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程组：x+3>5 ⋯⋯①2x−3
18. 已知，如图，点 E、F 分别为矩形 ABCD 的边 AD 和 BC 上的点，AE=CF，求证：BE=DF．

19. 已知 a2−4ab+4b2=0，ab≠0，求 a−b22ab+a+2ba2−b2⋅a−b 的值．

20. 已知四边形 ABCD 是平行四边形（如图），把 △ABD 沿对角线 BD 翻折 180∘ 得到 △AʹBD．
（1）利用尺规作出 △AʹBD．（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设 DAʹ 与 BC 交于点 E，求证：△BAʹE≌△DCE．

21. 初一（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查（每名学生分别选一个活动项目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选项目人数统计表
项目男生人数女生人数机器人793D打印m4航模22其他5n
根据以上信息解决下列问题：
（1）m= ，n= ；
（2）扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为 ∘；
（3）从选航模项目的 4 名学生中随机选取 2 名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的 2 名学生中恰好有 1 名男生，1 名女生的概率．

22. 为了提升中学生阅读能力，某区各中学开展了“师生共读一本书”活动，经过一学期的阅读训练，小周同学发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的 2 倍还多 300 个字，现在读 9100 个字的文章与原来读 3500 个字的文章所用的时间相同，求小周现在每分钟阅读的字数．

23. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，∠BAC 平分线 AD 交 BC 于点 O，以 OB 为半径作 ⊙O．
（1）判定直线 AC 是否是 ⊙O 的切线，并说明理由；
（2）连接 AO 交 ⊙O 于点 E，其延长线交 ⊙O 于点 D，tanD=12，求 AEAB 的值；
（3）在（2）的条件下，设 ⊙O 的半径为 3，求 AC 的长．

24. 如图①，在等腰 Rt△OAB 中，OA=OB=3，OA⊥OB，P 为线段 AO 上一点，以 OP 为半径作 ⊙O 交 OB 于点 Q，连接 BP，PQ，线段 BP，AB，PQ 的中点分别为点 D，M，N．
（1）试探究 △DMN 是什么特殊三角形?说明理由；
（2）将 △OPQ 绕点 O 逆时针方向旋转到图②的位置，上述结论是否成立?并证明结论；
（3）若 OP=x0
25. 已知：二次函数 y=ax2−2ax−3a>0，当 2≤x≤4 时，函数有最大值 5．
（1）求此二次函数图象与坐标轴的交点；
（2）将函数 y=ax2−2ax−3a>0 图象 x 轴下方部分沿 x 轴向上翻折，得到的新图象与直线 y=n 恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为 A，B，C，D，当以 BC 为直径的 ⊙F 与 x 轴相切时，求 n 的值．
（3）若 px0,y0 是（2）中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于 m 的一元二次方程 m2−y0m+k−4+y0=0 恒有实数根时，求实数 k 的最大值．
答案
第一部分
1. C
2. B【解析】∵α，β 是一元二次方程 x2−5x−2=0 的两个实数根，
∴α+β=5．
3. B【解析】∵ ①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是 360∘，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是 180∘；
∴ ①③剪开后的两个图形的内角和相等．
4. A
5. A
【解析】一共有 12 种等可能情况，两个球颜色相同的有 6 种情况，
∴ 这两个球颜色相同的概率是 612=12．
6. D
7. D【解析】∵AC 是 ⊙O 的切线，
∴∠OAC=90∘，
∵∠C=42∘，
∴∠AOC=48∘，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠BDO，
∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，
∴∠ABD=24∘．
8. B【解析】由图可看出，桌子上的碟子可以分成三摞，他们的个数分别是 5，4，3，
因此，桌子上碟子的个数应该是 4+5+3=12 个．
9. C【解析】圆锥的母线长 =62+82=10cm，
∴ 这个圆锥漏斗的侧面积 =12⋅2π⋅6⋅10=60πcm2．
10. D
【解析】设点 P 的坐标为 x,y，当 ∠APB=90∘ 时，以 AB 为直径作圆，如图 1 所示，
∵ 圆与双曲线 4 个交点，
∴ 点 P 有 4 个；
如图 2 ，
当 ∠PAB=90∘ 时，x=−3，y=3x=−33，
∴ 点 P 的坐标 −3,−33；
如图 3 ，
当 ∠PBA=90∘ 时，x=3，y=33，
∴ 点 P 的坐标为 3,33．
综上所述：满足条件的点 P 有 6 个．
第二部分
11. x≥5
12. ba−22
13. 8
14. −315. 191.1
【解析】根据题意得：∠BAC=90∘，AB=150 米，AC=120 米，
在 Rt△ABC 中，BC=AB2+AC≈3041≈191.1 米．
16. 3
【解析】y=x−2，当 x=0 时，y=−2，则点 C 的坐标为 0,−2，
∴OC=2，
当 y=0 时，x=2，则点 B 的坐标为 2,0，
∴OB=2，
∴S△BOC=12×2×2=2，
∵S△AOB:S△BOC=1:2，
∴S△AOB=1，
又 ∵OB=2，
∴ 点 A 的纵坐标为 1，
把 y=1 代入 y=x−2，得 x=3，
∴ 点 A 的坐标为 3,1，
代入反比例函数 y=kxk>0，可得 1=k3，解得 k=3．
第三部分
17. 解不等式①，得 x>2.
解不等式②，得 x<5.
所以，这个不等式组的解集是 218. ∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又 ∵AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
即 ED=BF，
而 ED∥BF，
∴ 四边形 BFDE 为平行四边形，
∴BE=DF（平行四边形对边相等）．
19. a−b22ab+a+2ba2−b2⋅a−b=a−b22ab+a+2b⋅a−ba+ba−b=a−b22ab+a+2ba+b,
∵a2−4ab+4b2=0，ab≠0，
∴a−2b2=0，
∴a=2b，
∴原式=2b−b22⋅2b⋅b+2b+2b2b+b=b24b2+4b3b=14+43=1912.
20. （1） 如图，△AʹBD 为所求．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAD=∠C．
由折叠的性质可得：∠BAʹD=∠BAD，AʹB=AB．
∴∠BAʹD=∠C，AʹB=CD．
在 △BAʹE 和 △DCE 中，
∠BAʹE=∠C,∠BEAʹ=∠DEC,AʹB=CD,
∴△BAʹE≌△DCE AAS．
21. （1） 8；3
【解析】由两种统计表可知：总人数 =4÷10%=40（人），
∵3D 打印项目占 30%，
∴3D 打印项目人数 =40×30%=12（人），
∴m=12−4=8，
∴n=40−16−12−4−5=3．
（2） 144
【解析】扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数 =1640×360∘=144∘．
（3） 列表得：
男1男2女1女2男1−−男2男1女1男1女2男1男2男1男2−−女1男2女2男2女1男1女1男2女1−−女2女1女2男1女2男2女2女1女2−−
由表格可知，共有 12 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1 名男生，1 名女生”有 8 种可能结果．
∴P1名男生、1名女生=812=23．
22. 设小周原来每分钟阅读 x 个字，则现在每分钟阅读 2x+300 个字，
根据题意得：
3500x=91002x+300.
解得：
x=500.
经检验，x=500 是原方程的解，且符合题意．
∴2x+300=1300（个）．
答：小周现在每分钟阅读 1300 个字．
23. （1） AC 是 ⊙O 的切线，
理由：
∵∠ABC=90∘，
∴OB⊥AB，
如图，过点 O 作 OF⊥AC 于点 F，
∵AO 是 ∠BAC 的平分线，
∴OF=OB，
∵OB 是 ⊙O 半径，
∴AC 是 ⊙O 的切线．
（2） 如图，连接 BE，
∵DE 是 ⊙O 的直径，
∴∠DBE=90∘，即 ∠2+∠3=90∘．
∵∠1+∠2=90∘，
∴∠1=∠3．
∵OB=OD，
∴∠3=∠D，
∴∠1=∠D，
又 ∵∠BAE=∠DAB（同角），
∴△ABE∽△ADB，
∴AEAB=BEBD=tanD=12．
（3） 设 FC=n，OC=m．
在 Rt△ABC 和 Rt△ABC 中，
由三角函数定义有：tanC=ABBC=OFFC，sinC=ABAC=OFOC，
∵AEAB=12，设 AE=x，则 AB=2x，
∴AO=x+3，
在 Rt△ABO 中，AO2=AB2+BO2，
x+32=2x2+32，
解得：x=2 或 x=0（不合题意，舍去），
则 AB=4，得：43+m=3n,44+n=3m.
解之得：n=727，
∴AC=4+n=1007，
即 AC 的长为 1007．
24. （1） △DMN 为等腰直角三角形．
理由：
∵ 点 D，M 分别为 PB，AB 的中点，
∴DM 是 △PAB 的中位线，
∴DM∥AP，且 DM=12AP．
同理：DN∥BQ，DN=12BQ，
∵OA=OB，OP=OQ，
∴AP=BQ．
又 ∵AP⊥BQ，
∴DM=DN，DM⊥DN，
即 △DMN 为等腰直角三角形．
（2） 如图②，△DMN 仍然为等腰直角三角形．
证明：由旋转的性质，∠AOP=∠BOQ．
∵OA=OB，OP=OQ，
∴△AOP≌△BOQSAS，
∴AP=BQ，∠1=∠5．
∵ 点 D，M 分别为 PB，AB 的中点，
∴DM 是 △PAB 的中位线，
∴DM∥AP，且 DM=12AP．
同理：DN∥BQ，DN=12BQ，
∴DM=DN，
在等腰 Rt△OAB 中，∠OAB=∠OBA=45∘．
∴∠2=45∘−∠1，∠3+∠4=45∘．
∵DM∥AP，
∴∠DMB=∠2，
同理：∠NDP=∠4+∠5，
∴∠MDN=∠PDM+∠PDN=∠DMB+∠3+∠4+∠5=∠2+∠3+∠4+∠5=45∘−∠1+45∘+∠5=90∘.
∴DM⊥DN．
∴△DMN 为等腰直角三角形．
（3） 如图 3，设 ⊙O 交 AO 于点 P0，交 AO 延长线于点 P1，连接 P0P，P1P，OP1．
∵AP+OP≥AO=AP0+OP0，而 OP0=OP=x，
∴AP≥AP0=3−x，同理：AP≤AP1=3+x，
由题意，y=12DM×DN=12DM2=18AP2≥183−x2，
∴y 的最小值为 183−x2．
同理：y 的最大值为 183+x2，
∴y 的最大值与最小值的差为：183+x2−183−x2=32x．
25. （1） 抛物线 y=ax2−2ax−3a>0 的对称轴为：直线 x=−−2a2a=1．
∵a>0，抛物线开口向上，大致图象如图 1 所示．
∴ 当 x≥1 时，y 随 x 增大而增大；
由已知：当 2≤x≤4 时，函数有最大值 5．
∴ 当 x=4 时，y=5，
∴16a−8a−3=5，得：a=1．
∴y=x2−2x−3．
令 x=0，得 y=−3，令 y=0，得 x=−1 或 x=3，
∴ 抛物线与 y 轴交于 0,−3，
抛物线与 x 轴交于 −1,0，3,0；
（2） y=x2−2x−3=x−12−4，
其折叠得到的部分对应的解析式为：y=−x−12+4−1 ∵ 图象与直线 y=n 恒有四个交点，
∴0由 −x−12+4=n，解得 x=1±4−n，
∴B1−4−n,n，C1+4−n,n，BC=24−n．
当以 BC 为直径的 ⊙F 与 x 轴相切时，BC=2n．
即：24−n=2n，
∴4−n=n，
∴n2=4−n，
得 n=−1±172，
∵0 ∴n=−1+172．
【解析】另法：∵BC 直径，且 ⊙F 与 x 轴相切，
∴FC=y=n，
∵ 对称轴为直线 x=1，
∴F1,n，则 C1+n,n，
∵ 点 C 在 y=−x−12+4−1 ∴n=−1+n−12+4，
得 n=−1±172，
∵0 ∴n=−1+172．
（3） 如图 2，
若关于 m 的一元二次方程 m2−y0m+k−4+y0=0 恒有实数根，则需 Δ=−y02−4k−4+y0≥0 恒成立，即 4k≤y02−4y0+16 恒成立，即 k≤y0−22+124 恒成立．
∵Px0,y0 是（2）中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，
∴0 ∴3≤y0−22+124≤4（k 取 y0−22+124 值之上限），
∴ 实数 k 的最大值为 4．