2018年上海市宝山区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2018年上海市宝山区中考一模数学试卷（期末），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 符号 tanA 表示
A. ∠A 的正弦B. ∠A 的余弦C. ∠A 的正切D. ∠A 的余切

2. 如图 △ABC 中 ∠C=90∘，如果 CD⊥AB 于 D，那么
A. CD=12ABB. BD=12AD
C. CD2=AD⋅BDD. AD2=BD⋅AB

3. 已知 a，b 为非零向量，下列判断错误的是
A. 如果 a=2b，那么 a∥b
B. 如果 a=b，那么 a=b 或 a=−b
C. 0 的方向不确定，大小为 0
D. 如果 e 为单位向量且 a=2e，那么 a=2

4. 二次函数 y=x2+2x+3 的图象的开口方向为
A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右

5. 如果从某一高处甲看低处乙的俯角为 30∘，那么从乙处看甲处，甲在乙的
A. 俯角 30∘ 方向B. 俯角 60∘ 方向C. 仰角 30∘ 方向D. 仰角 60∘ 方向

6. 如图，如果把抛物线 y=x2 沿直线 y=x 向上方平移 22 个单位后，其顶点在直线 y=x 上的 A 处，那么平移后的抛物线解析式是
A. y=x+222+22B. y=x+22+2
C. y=x−222+22D. y=x−22+2

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 2a=3b，那么 a:b= ．

8. 如果两个相似三角形的周长之比 1:4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为 ．

9. 如图，D，E 为 △ABC 的边 AC，AB 上的点，当 时，△ADE∽△ABC．其中 D，E 分别对应 B，C（填一个条件）．

10. 计算：124a−5b+32b= ．

11. 如图，在锐角 △ABC 中，BC=10，BC 上的高 AQ=6，正方形 EFGH 的顶点 E，F 在 BC 边上，G，H 分别在 AC，AB 边上，则此正方形的边长为 ．

12. 如果一个滚筒沿斜坡向正下直线滚动 13 米后，其水平高度下降了 5 米，那么该斜坡的坡度 i= ．

13. 如图，四边形 ABCD，CDEF，EFGH 都是正方形，则 tan∠CAF= ．

14. 抛物线 y=5x−42+3 的顶点坐标是 ．

15. 二次函数 y=−2x−12+3 的图象与 y 轴的交点坐标是 ．

16. 如果点 A0,2 和点 B4,2 都在二次函数 y=x2+bx+c 的图象上，那么此抛物线在直线 的部分是上升的．（填具体某直线的某侧）

17. 如图，点 D，E，F 分别为 △ABC 三边的中点，如果 △ABC 的面积为 S，那么以 AD，BE，CF 为边的三角形的面积是 ．

18. 如图，点 M 是正方形 ABCD 的边 BC 的中点，连接 AM，将 BM 沿某一过 M 的直线翻折，使 B 落在 AM 上的 E 处，将线段 AE 绕 A 顺时针旋转一定角度，使 E 落在 F 处，如果 E 在旋转过程中曾经交 AB 于 G，当 EF=BG 时，旋转角 ∠EAF 的度数是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：sin60∘cs45∘−sin30∘+tan60∘+π0−1．

20. 如图，AB∥CD∥EF，而且线段 AB，CD，EF 的长度分别为 5，3，2．
（1）求 AC:CE 的值；
（2）如果 AE 记作 a，BF 记作 b，求 CD（用 a，b 表示）．

21. 已知在港口 A 的南偏东 75∘ 方向有一礁石 B，轮船从港口出发，沿正东北方向（北偏东 45∘ 方向）前行 10 里到达 C 后测得礁石 B 在其南偏西 15∘ 处，求轮船行驶过程中离礁石 B 的最近距离．

22. 如图，在直角坐标系中，已知直线 y=−12x+4 与 y 轴交于 A 点，与 x 轴交于 B 点，C 点坐标为 −2,0．
（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；
（2）如果 M 为抛物线的顶点，联结 AM，BM，求四边形 AOBM 的面积．

23. 如图，△ABC 中，AB=AC，过点 C 作 CF∥AB 交 △ABC 的中位线 DE 的延长线于 F，连接 BF，交 AC 于点 G．
（1）求证：AEAC=EGCG；
（2）若 AH 平分 ∠BAC，交 BF 于 H，求证：BH 是 HG 和 HF 的比例中项．

24. 设 a，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为 a,b．对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当 m≤x≤n 时，有 m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间 m,n 上的“闭函数”．如函数 y=−x+4，当 x=1 时，y=3；当 x=3 时，y=1，即当 1≤x≤3 时，恒有 1≤y≤3，所以说函数 y=−x+4 是闭区间 1,3 上的“闭函数”，同理函数 y=x 也是闭区间 1,3 上的“闭函数”．
（1）反比例函数 y=2018x 是闭区间 1,2018 上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；
（2）如果已知二次函数 y=x2−4x+k 是闭区间 2,t 上的“闭函数”，求 k 和 t 的值；
（3）如果（2）所述的二次函数的图象交 y 轴于 C 点，A 为此二次函数图象的顶点，B 为直线 x=1 上的一点，当 △ABC 为直角三角形时，写出点 B 的坐标．

25. 如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=7，AB=CD=15，BC=25，E 为腰 AB 上一点且 AE:BE=1:2，F 为 BC 一动点，∠FEG=∠B，EG 交射线 BC 于 G，直线 EG 交射线 CA 于 H．
（1）求 sin∠ABC；
（2）求 ∠BAC 的度数；
（3）设 BF=x，CH=y，求 y 与 x 的函数关系式及其定义域．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. B
4. A
5. C
【解析】∵ 甲看乙的俯角为 30∘，
∴ 从乙处看甲处，甲在乙的仰角 30∘ 方向．
6. D【解析】∵A 在直线 y=x 上，
∴ 设 Am,m，
∵OA=22，
∴m2+m2=222，
解得：m=±2（m=−2 舍去），
∴m=2，
∴A2,2，
∴ 抛物线解析式为：y=x−22+2．
第二部分
7. 3:2
8. 1:4
9. ∠ADE=∠B
10. 2a−b
11. 154
12. 1:2.4
13. 13
14. 4,3
15. 0,−2+3
16. x=2 右侧
17. 34S
【解析】连接 DE 并延长至 P，使 EP=DE，连接 PF，PC，
则 △PFC 是以中线 AD，BE，CF 的长度为三边长的一个三角形．
连接 AP，
∵AE=EC，DE=EP，
∴ 四边形 ADCP 为平行四边形，AD=PC，
∵BF∥DP，BF=DE=EP，
∴ 四边形 BEPF 为平行四边形，BE=PF，
∴ 以 AD，BE，CF 的长度为三边长的一个三角形是 △CFP．
连接 EF，则 EF∥BC∥AP，S△PEF=S△AFE=14S△ABC=14S，
∵CE=AE，PE=ED，
∴S△CEF=S△AEF=14S，S△PEC=S△CED=14S，
∴S△PFC=34S．
18. 36∘
【解析】设 BM=a，则 AB=2a，
在 Rt△ABM 中，AM=5a，EM=BM=a，
∴ AE=AF=5−1a，AG=5−1a，
∴ BG=2a−5−1a=3−5a，
∴ EF=3−5a，
则 EFAG=3−55−1=5−12，
∴ ∠EAF=36∘．
第三部分
19. 原式=3222−12+13+1=6+332−12.
20. （1） 过点 E 作 EH∥BF 交 CD，AB 于 G，H，
所以 CG=1，AH=3，
所以 CEAE=CGAH=13，
所以 ACCE=2．
（2） AH=AE+EH=AE+FB=AE−BF=a−b，
且 AH∥CD，AH=CD，
所以 CD=a−b．
21. ∵ 在 △ABC 中，∠BAC=60∘，∠ACB=30∘，AC=10，
∴ ∠ABC=90∘．
∴ AB=12AC=5．
∴ 轮船行驶过程中离礁石 B 的最近距离 32AB=523（里）．
22. （1） 当 x=0 时，y=−12x+4=4，则 A0,4，
当 y=0 时，−12x+4=0，解得 x=8，则 B8,0，
设抛物线解析式为 y=ax+2x−8，
把 A0,4 代入得 a⋅2⋅−8=4，解得 a=−14，
∴ 抛物线解析式为 y=−14x+2x−8，
即 y=−14x2+32x+4．
（2） ∵y=−14x−32+254，
∴M3,254，
作 MD⊥x 轴于 D，如图，
四边形AOBM的面积=S梯形AODM+S△BDM=12×4+254×3+12×5×254=31.
23. （1） 因为 CF∥AB，DE 是 △ABC 的中位线，
所以四边形 BCFD 是平行四边形．
所以 DE=EF．
所以 AEAC=DEDF=EFBC=EGCG．
（2） 连接 CH，如图，
易证 △ABH≌△ACH，
所以 ∠HCG=∠DBH=∠HFC，
又因为 ∠GHC=∠CHF，
所以 △GHC∽△CHF，
所以 HCHF=GHCH．
所以 HC2=HG⋅HF，
又因为 BH=HC，
所以 BH2=HG⋅HF．
即 BH 是 HG 和 HF 的比例中项．
24. （1） y=2018x 在闭区间 1,2018 中，y 随 x 增大而减小，
当 x=1 时，y=2018，当 x=2018 时，y=1，
即当 1≤x≤2018 时，1≤y≤2018．
∴y=2018x 是在闭区间 1,2018 上的“闭函数”．
（2） y=x2−4x+k，y=x−22+k−4，
在闭区间 2,t 上，y 随 x 增大而增大，
当 x=2 时，y=k−4；当 x=t 时，y=t2−4t+k，
∴k−4=2,t2−4t+k=t, 解得 k=6,t=3（t=2 舍）．
（3） A2,2，C0,6，B1,t，
过 A 作 AH⊥y 轴，易得 △ACH 的三边比为 1:2:5，
AC=25，AC 中点在直线 x=1 上，
① ∠ABC=90∘，
以 AC 为直径作圆，与直线 x=1 相交，交点为 B，如图 1，
易得 B11,4+5，B21,4−5；
② ∠BAC=90∘，
过 A 作 AB3⊥AC 交直线 x=1 于 B3，如图 2，
△OAB3∽△CHA，
∴OB3=52，
∴B31,32；
③ ∠BCA=90∘，
同理，B41,132．
25. （1） 过 A 作 AP⊥BC 于 H，如图 1，
∵ 四边形 ABCD 是等腰梯形，
∴BP=12BC−AD=9，
在 Rt△ABP 中，由勾股定理得 AP=12，
∴sin∠ABC=APAB=45．
（2） PC=BC−BP=16，
在 Rt△ACP 中，由勾股定理得 AC=20，
∵AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90∘．
（3） 如图 2，过点 E 作 EM⊥BF，
∵∠AEH+∠FEG+∠MEF+∠BEM=180∘，∠BEM+∠MEF+∠EFM+∠B=180∘，∠B=∠FEG，
∴∠AEH=∠EFM，
∵∠EAH=∠EMF，
∴△HAE∽△EMF，
如图 3，
∵∠HEA=∠BEG=∠FEG+∠BEF，∠EFM=∠B+∠BEF，∠B=∠FEG，
∴∠AEH=∠EFM，
∴△HAE∽△EMF，
则 HAAE=EMMF，即 20−y8=5x−6，
y=20x−160x−6（0≤x<6 或 8≤x<12）．
当 G 在 BC，H 在 CA 的延长线上时，如图 4，
△FEG∽△FBE，
∴FE2=FG⋅FB，
则 FG=x2−12x+100x，BG=12x−100x，
∴BN=35⋅12x−100x，GN=45⋅12x−100x，
又 ∵△AHE∽△NGE，
∴AHAE=NGNE，则 5y−20=10−35⋅12x−100x45⋅12x−100x，
解得：y=2000+260x7x+150253≤x≤25．