2018年上海市松江区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2018年上海市松江区中考一模数学试卷（期末），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知 ab=13，那么 aa+b 的值为
A. 13B. 23C. 14D. 34

2. 下列函数中，属于二次函数的是
A. y=x−3B. y=x2−x+12
C. y=xx−1−1D. y=1x2

3. 已知飞机离水平地面的高度为 5 千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标 A 的俯角为 α，那么这时飞机与目标 A 的距离为
A. 5sinαB. 5sinαC. 5csαD. 5csα

4. 已知非零向量 a，b，c，在下列条件中，不能判定 a∥b 的是
A. a∥c，b∥cB. a=2c，b=3c
C. a=−5bD. a=2b

5. 在 △ABC 中，边 BC=6，高 AD=4，正方形 EFGH 的顶点 E，F 在边 BC 上，顶点 H，G 分别在边 AB 和 AC 上，那么这个正方形的边长等于
A. 3B. 2.5C. 2.4D. 2

6. 如图，已知在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，AD:BD=2:1，点 F 在 AC 上，AF:FC=1:2，连接 BF，交 DE 于点 G，那么 DG:GE 等于
A. 1:2B. 1:3C. 2:3D. 2:5

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知线段 a=4，b=1，如果线段 c 是线段 a，b 的比例中项，那么 c= ．

8. 在比例尺是 1:15000000 的地图上，测得甲乙两地的距离是 2 厘米，那么甲乙两地的实际距离是 千米．

9. 如果抛物线 y=a+2x2+x−1 的开口向下，那么 a 的取值范围是 ．

10. 已知一个斜坡的坡度 i=1:3，那么该斜坡的坡角的度数是 度．

11. 线段 AB=10，点 P 是 AB 的黄金分割点，且 AP>BP，则 AP= （用根式表示）．

12. 已知等腰 △ABC 中，AB=AC=5，BC=6，G 是 △ABC 的重心，那么 AG= ．

13. 已知直线 a∥b∥c，直线 m，n 与直线 a，b，c 分别交于点 A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则 BF= ．

14. 已知平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，点 P 的坐标为 5,12，那么 OP 与 x 轴正半轴所夹角的余弦值为 ．

15. 已知抛物线 y=fx 开口向下，对称轴是直线 x=1，那么 f2 f4．（填“>”或“<”）

16. 把抛物线 y=x2 向下平移，如果平移后的抛物线经过点 A2,3，那么平移后的抛物线的表达式是 ．

17. 我们定义：关于 x 的函数 y=ax2+bx 与 y=bx2+ax（其中 a≠b）叫做互为交换函数．如 y=3x2+4x 与 y=4x2+3x 是互为交换函数．如果函数 y=2x2+bx 与它的交换函数图象顶点关于 x 轴对称，那么 b= ．

18. 如图，△ABC 中，∠C=90∘，AC=BC=4，将 △ABC 翻折，使得点 A 落在 BC 的中点 Aʹ 处，折痕分别交边 AB，AC 于点 D 、点 E，那么 AD:AE 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 如图在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 A3,0 、点 B0,3，顶点为 M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求 ∠OBM 的正切值．

20. 如图，已知 △ABC 中，D，E，F 分别是边 AB，BC，CA 上的点，且 EF∥AB，CFFA=ADDB=2．
（1）设 AB=a，AC=b．试用 a，b 表示 AE；
（2）如果 △ABC 的面积是 9，求四边形 ADEF 的面积．

21. 如图，已知 △ABC 中，AB=AC=25，BC=4．线段 AB 的垂直平分线 DF 分别交边 AB，AC，BC 所在的直线于点 D，E，F．
（1）求线段 BF 的长；
（2）求 AE:EC 的值．

22. 某条道路上通行车辆的限速 60 千米/时，道路的 AB 段为监测区，监测点 P 到 AB 的距离 PH 为 50 米（如图）．已知点 P 在点 A 的北偏东 45∘ 方向上，且在点 B 的北偏西 60∘ 方向上，点 B 在点 A 的北偏东 75∘ 方向上，那么车辆通过 AB 段的时间在多少秒以内，可认定为超速?（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）．

23. 已知四边形 ABCD 中，∠BAD=∠BDC=90∘，BD2=AD⋅BC．
（1）求证：AD∥BC；
（2）过点 A 作 AE∥CD 交 BC 于点 E．请完善图形并求证：CD2=BE⋅BC．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB=4，又 P 是抛物线上位于第一象限的点，直线 AP 与 y 轴交于点 D，与对称轴交于点 E，设点 P 的横坐标为 t．
（1）求点 A 的坐标和抛物线的表达式；
（2）当 AE:EP=1:2 时，求点 E 的坐标；
（3）记抛物线的顶点为 M，与 y 轴的交点为 C，当四边形 CDEM 是等腰梯形时，求 t 的值．

25. 如图，已知 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=1，BC=2，CD 平分 ∠ACB 交边 AB 于点 D，P 是射线 CD 上一点，连接 AP．
（1）求线段 CD 的长；
（2）当点 P 在 CD 的延长线上，且 ∠PAB=45∘ 时，求 CP 的长；
（3）记点 M 为边 AB 的中点，连接 CM，PM，若 △CMP 是等腰三角形，求 CP 的长．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. A
4. D
5. C
6. B
第二部分
7. 2
8. 300
9. a<−2
10. 30
11. 55−5
12. 83
13. 7.5
14. 513
15. >
16. y=x2−1
17. −2
18. 223
【解析】连接 AAʹ 交 DE 于点 M，过点 Aʹ 作 AʹN⊥AB 于点 N，如图所示．
∵AC=BC=4，∠C=90∘，Aʹ 为线段 BC 的中点，
∴AʹC=AʹB=2，AAʹ=AC2+AʹC2=25，AB=42，
∴AM=12AAʹ=5，AʹN=BN=2，
∴AN=AB−BN=32．
∵∠EAM=∠AʹAC，∠AME=∠C，
∴△AEM∽△AAʹC，
∴AEAAʹ=AMAC，
∴AE=52．
同理：△ADM∽△AAʹN，
∴ADAAʹ=AMAN，
∴AD=523，
∴ADAE=223．
第三部分
19. （1） 把 A3,0，B0,3 代入 y=x2+bx+c 得 9+3b+c=0,c=3, 解得 b=−4,c=3,
∴y=x2−4x+3．
（2） 作 MH⊥y 轴于 H，如图，
∵y=x2−4x+3=x−22−1，
∴M2,−1，
∵MH⊥y 轴，
∴H0,−1，
在 Rt△BMH 中，tan∠HBM=24=12，
即 ∠OBM 的正切值为 12．
20. （1） ∵EF∥AB，
∴CFFA=CEEB，
又 ∵CFFA=ADDB=2，
∴CFFA=ADDB=CEEB=2，
∴BDAB=BEBC=13，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴∠BDE=∠A，
∴DE∥AC，则四边形 ADEF 是平行四边形，
∵AB=a，AC=b，
∴AD=23AB=23a，AF=13AC=13b，
则 AE=AD+AF=23a+13b．
（2） 由（1）知 CFCA=23，BDBA=13，
∵EF∥AB，DE∥AC，
∴△CFE∽△CAB，△BDE∽△BAC，
∴S△CFES△CAB=CFCA2=49，S△BDES△BAC=BDBA2=19，
∵S△ABC=9，
∴S△CFE=4，S△BDE=1，
则四边形 ADEF 的面积 =S△ABC−S△CFE−S△BDE=4．
21. （1） 作 AH⊥BC 于 H，如图，
∵AB=AC=25，
∴BH=CH=12BC=2，
在 Rt△ABH 中，AH=252−22=4，
∵DF 垂直平分 AB，
∴BD=5，∠BDF=90∘，
∵∠ABH=∠FBD，
∴Rt△FBD∽Rt△ABH，
∴BFAB=BDBH=DFAH，即 BF25=52=DF4，
∴BF=5，DF=25．
（2） 作 CG∥AB 交 DF 于 G，如图，
∵BF=5，BC=4，
∴CF=1，
∵CG∥BD，
∴CGBD=CFBF=15，
∵CG∥AD，
∴AECE=ADCG=BDCG=5．
22. 如图，
由题意知 ∠CAB=75∘，∠CAP=45∘，∠PBD=60∘，
∴∠PAH=∠CAB−∠CAP=30∘，
∵∠PHA=∠PHB=90∘，PH=50，
∴AH=PHtan∠PAN=5033=503，
∵AC∥BD，
∴∠ABD=180∘−∠CAB=105∘，
∴∠PBH=∠ABD−∠PBD=45∘，则 PH=BH=50，
∴AB=AH+BH=503+50，
∵60 千米/时 =503 米/秒，
∴ 时间 t=503+50503=3+33≈8.1（秒），
即车辆通过 AB 段的时间在 8.1 秒以内，可认定为超速．
23. （1） ∵∠BAD=∠BDC=90∘，BD2=AD⋅BC，
∴BDBC=ADBD，
∴△ADB∽△DBC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴AD∥BC．
（2） 如图所示，
∵AD∥BC，AE∥DC，
∴ 四边形 ADEC 是平行四边形，∠AEB=∠BCD，
∴AE=DC，
又 ∵∠BAD=∠BDC=90∘，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABE=180∘，
∴∠ABE=90∘，
∴∠ABE=∠BDC，
∴△ABE∽△BDC，
∴BEDC=AEBC，
∴AE⋅DC=BE⋅BC，
∵AE=DC，
∴CD2=BE⋅BC．
24. （1） ∵AB=4，抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，
∴ 点 A 到对称轴的距离为 2，
∴A−1,0，B3,0，
∴y=x+1x−3，整理得：y=x2−2x−3．
（2） 如图所示：过点 P 作 PF⊥x 轴，垂足为 F．
∵EG∥PF，AE:EP=1:2，
∴AGAF=EGPF=13．
又 ∵AG=2，
∴AF=6，
∴F5,0．
当 x=5 时，y=12，
∴EG=4，
∴E1,4．
（3） ∵CD∥EM，
∴∠ADO=∠AEM．
又 ∵ 四边形 CDEM 是等腰梯形，
∴∠AEM=∠CME．
∴∠ADO=∠CME．
∵y=x2−2x−3，
∴C0,−3，M1,−4，
∴tan∠ADO=tan∠CME=1．
∴OA=OD=1．
∴ 直线 AP 的解析式为 y=x+1．
把 y=x+1 代入 y=x2−2x−3 得：x+1=x2−2x−3，解得：x=4 或 x=−1（舍去），
∴ 点 P 的横坐标为 4，即 t=4．
25. （1） 如图 1，过 D 作 DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F，
∵DF 平分 ∠ACB，∠ACB=90∘，
∴DE=DF，
∵∠DEC=∠ACB=∠CFD=90∘，
∴ 四边形 ECFD 是正方形，
设 DF=x，则 CF=x，BF=2−x，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴DFAC=BFBC，
∴x1=2−x2，
∴x=23，
∵△CDE 是等腰直角三角形，
∴CD=223．
（2） 如图 2，
∵∠PAB=∠PCB=45∘，
∴C，B，P，A 四点共圆，
∴∠ACB+∠APB=180∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠APB=90∘，
∴△APB 是等腰直角三角形，
∴AP=BP，
过 P 作 PM⊥AC 于 M，PN⊥BC 于 N，连接 PB，
∵PM=PN，
∴Rt△PMA≌Rt△PNBHL，
∴AM=BN，
由（1）知：四边形 MCNP 是正方形，
∴CM=CN，
设 AM=x，则 PM=CM=x+1，CN=2−x，
∴x+1=2−x，x=12，
∴CM=32，
∴CP=322．
（3） 若 △CMP 是等腰三角形，存在三种情况：
①当 PM=CM 时，如图 3，
同理作出辅助线，
∵∠PCN=45∘，
∴△PCM 是等腰直角三角形，
∴CN=PN，
同（2）得：CP=322；
②如图 4，
当 CM=CP 时，Rt△ACB 中，AC=1，BC=2，
∴AB=5，
∵M 是 AB 的中点，
∴CM=CP=12AB=52；
③如图 5，作 CM 的中垂线交 CD 于 P，则 CP=PM，过 M 作 MH⊥CD 于 H，
由①知：CG（就是 CP=322）=322，CH=324，
∵△CPN∽△CMH，
∴CMCH=CPCN，
∴52324=CP54，CP=5122，
综上所述，CP 的长是 322 或 52 或 5212．