2018年天津市南开区中考二模数学试卷
展开一、选择题(共12小题;共60分)
1. −6÷16 的结果等于
A. 1B. −1C. 36D. −36
2. 2sin60∘ 的值等于
A. 3B. 2C. 1D. 2
3. 观察下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
4. 某商城开设一种摸奖游戏,中一等奖的机会为 20 万分之一,将这个数用科学记数法表示为
A. 2×10−5B. 2×10−6C. 5×10−5D. 5×10−6
5. 用五块大小相同的小正方体搭成如图所示的几何体,这个几何体的左视图是
A. B.
C. D.
6. 在实数 −3,−2,12,2 中,最小的是
A. −3B. −2C. 12D. 2
7. 如图,在 △ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,DE∥BC,若 BD=2AD,则
A. ADAB=12B. AEEC=12C. ADEC=12D. DEBC=12
8. 一个正六边形的半径为 R,边心距为 r,那么 R 与 r 的关系是
A. r=32RB. r=22RC. r=34RD. r=53R
9. 设点 Ax1,y1 和 Bx2,y2 是反比例函数 y=kx 图象上的两个点,当 x1
10. 如图,A,B,C,D 四个点均在 ⊙O 上,∠AOD=50∘,AO∥DC,则 ∠B 的度数为
A. 50∘B. 55∘C. 60∘D. 65∘
11. 观察如图所示的图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第 9 个图形中的点一共有
A. 162 个B. 135 个C. 30 个D. 27 个
12. 如图,抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的顶点和该抛物线与 y 轴的交点在一次函数 y=kx+1k≠0 的图象上,它的对称轴是直线 x=1,有下列四个结论:
①abc<0,
②a<−13,
③a=−k,
④ 当 0
其中正确结论的个数是 个.
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题(共6小题;共30分)
13. 分解因式:x2−5x= .
14. 计算 2×6−212 的结果等于 .
15. 有四张卡片,分别写有数 −2,0,1,5,将它们背面朝上(背面无差别)洗匀后放在桌上,从中任意抽出两张,则抽出卡片上的数的积是正数的概率是 .
16. 如图1,两个等边 △ABD,△CBD 的边长均为 1,将 △ABD 沿 AC 方向向右平移到 △AʹBʹDʹ 的位置,得到图 2,则阴影部分的周长为 .
17. 如图.在直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为 1,3,将矩形沿对角线 AC 翻折,B 点落在 D 点的位置,且 AD 交 y 轴于点 E.那么点 D 的坐标为 .
18. 如图,在每个小正方形的边长为 1 的网格中,A,B 为格点.
(Ⅰ)AB 的长等于 .
(Ⅱ)请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中求作一点 C,使得 CA=CB 且 △ABC 的面积等于 32,并简要说明点 C 的位置是如何找到的 .
三、解答题(共7小题;共91分)
19. 解不等式组 7x+1−3≥2x−1, ⋯⋯①−x−1<21−x. ⋯⋯②
请结合题填空,完成本题的解答
(1)解不等式 ①,得 ;
(2)解不等式 ②,得 ;
(3)把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来;
(4)原不等式组的解集为 .
20. 某校为了解学生每天参加户外活动的情况,随机抽查了一部分学生每天参加户外活动的时间情况,绘制出如下的统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列问题.
(1)在图①中,m 的值为 ,表示“2 小时”的扇形的圆心角为 度;
(2)求统计的这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数.
21. 如图,⊙O 的直径 AB 的长为 2,点 C 在圆周上,∠CAB=30∘,点 D 是圆上一动点,DE∥AB 交 CA 的延长线于点 E,连接 CD,交 AB 于点 F.
(1)如图 1,当 ∠ACD=45∘ 时,请你判断 DE 与 ⊙O 的位置关系并加以证明;
(2)如图 2,当点 F 是 CD 的中点时,求 △CDE 的面积.
22. 某中学依山而建,校门 A 处有一斜坡 AB,长度为 13 米,在坡顶 B 处看教学楼 CF 的楼顶 C 的仰角 ∠CBF=53∘,离 B 点 4 米远的 E 处有一花台,在 E 处仰望 C 的仰角 ∠CEF=63.4∘,CF 的延长线交校门处的水平面于 D 点,FD=5 米.(参考数据:tan53∘≈43,tan63.4∘≈2)
(1)求 ∠BAD 的正切值;
(2)求 DC 的长.
23. 某文物古迹遗址每周都吸引大量中外游客前来参观,如果游客过多,对文物古迹会产生不良影响,但同时考虑到文物的修缮和保存费用的问题,还要保证有一定的门票收入,因此遗址的管理部门采取了升、降门票价格的方法来控制参观人数.在实施过程中发现:每周参观人数 y(人)与票价 x(元)之间恰好构成一次函数关系.
(1)根据题意完成下列表格.
票价x元1015x18参观人数y人70004500
(2)在这样的情况下,如果要确保每周有 40000 元的门票收入,那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应定为多少元?
(3)门票价格应该是多少元时,门票收入最大?这样每周应有多少人参观?
24. 如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 的顶点 O 是坐标原点,点 A 的坐标为 6,0,点 B 的坐标为 0,8,点 C 的坐标为 −25,4,点 M,N 分别为四边形 OABC 边上的动点,动点 M 从点 O 开始,以每秒 1 个单位长度的速度沿 O→A→B 路线向终点 B 匀速运动,动点 N 从 O 点开始,以每秒两个单位长度的速度沿 O→C→B→A 路线向终点 A 匀速运动,点 M,N 同时从 O 点出发,当其中一点到达终点后,另一点也随之停止运动,设动点运动的时间 t 秒(t>0),△OMN 的面积为 S.
(1)填空:AB 的长是 ,BC 的长是 ;
(2)当 t=3 时,求 S 的值;
(3)当 3
25. 已知抛物线 l1 与 l2 形状相同,开口方向不同,其中抛物线 l1:y=ax2−8ax−72 交 x 轴于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),且 AB=6;抛物线 l1 与 l2 交于点 A 和点 C5,n.
(1)求抛物线 l1,l2 的表达式;
(2)当 x 的取值范围是 时,抛物线 l1 与 l2 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大;
(3)直线 MN∥y轴,交 x 轴,l1,l2 分别相交于点 Pm,0,M,N,当 1≤m≤7 时,求线段 MN 的最大值.
答案
第一部分
1. D【解析】原式=−6×6=−36.
2. A【解析】2sin60∘=2×32=3.
3. C
4. D【解析】1200000=0.000005=5×10−6.
5. D
【解析】从左面看,是两层都有两个正方形的田字格形排列.
6. B【解析】正数有:12,2;
负数:−3,−2,
∵3<2,
∴−3>−2,
∴ 最小的数是 −2.
7. B【解析】∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∵BD=2AD,
∴ADAB=DEBC=AEAC=13,则 AEEC=12,
∴ A,C,D选项错误,B选项正确.
8. A【解析】∵ 正六边形的半径为 R,
∴ 边心距 r=32R.
9. A【解析】∵ 点 A 和点 B 是反比例函数 y=kx 图象上的两个点,且当 x1
∴ 一次函数 y=−2x+k 的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限.
10. D
【解析】连接 AD,如图所示.
∵OA=OD,∠AOD=50∘,
∴∠ADO=180∘−∠AOD2=65∘.
∵AO∥DC,
∴∠ODC=∠AOD=50∘,
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115∘,
∴∠B=180∘−∠ADC=65∘.
11. B【解析】第 1 个图形有 3=3×1=3(个)点,
第 2 个图形有 3+6=3×1+2=9(个)点,
第 3 个图形有 3+6+9=3×1+2+3=18(个)点;
⋯⋯
第 n 个图形有 3+6+9+⋯+3n=3×1+2+3+⋯+n=3nn+12(个)点;
当 n=9 时,3nn+12=3×9×102=135.
12. A【解析】由抛物线的开口向下,且对称轴为直线 x=1 可知 a<0,−b2a=1,
即 b=−2a>0,
由抛物线与 y 轴的交点在一次函数 y=kx+1k≠0 的图象上知 c=1,
则 abc<0,故 ① 正确;
由 ① 知 y=ax2−2ax+1,
∵x=−1 时,y=a+2a+1=3a+1<0,
∴a<−13,故 ② 正确;
∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的顶点在一次函数 y=kx+1k≠0 的图象上,
∴a+b+1=k+1,即 a+b=k,
∵b=−2a,
∴−a=k,即 a=−k,故 ③ 正确;
由函数图象知,当 0
∵x>0,
∴ax+b>k,故 ④ 正确.
第二部分
13. xx−5
【解析】x2−5x=xx−5.
14. 23−2
【解析】原式=2×6−22×12=23−2.
15. 16
【解析】画树状图如图所示:
由树状图知,共有 12 种等可能结果,其中抽出卡片上的数字积为正数的结果为 2 种,
所以抽出卡片上的数字积为正数的概率为 212=16.
16. 2
【解析】由题意可得,△AʹMN,△DMO,△DʹEO,△CEG,△GBʹR,△NBR 均为等边三角形.
所以 OM+MN+NR+GR+EG+OE=BD+BʹDʹ=1+1=2.
17. −45,125
【解析】如图,过 D 作 DF⊥AO 于 F,
∵ 点 B 的坐标为 1,3,
∴BC=AO=1,AB=OC=3,
根据折叠可知:CD=BC=OA=1,∠CDE=∠B=∠AOE=90∘,AD=AB=3,
在 △CDE 和 △AOE 中,
∠CDE=∠AOE,∠CED=∠AEO,CD=AO,
∴△CDE≌△AOE,
∴OE=DE,OA=CD=1,AE=CE,
设 OE=x,那么 CE=3−x,DE=x,
∴ 在 Rt△DCE 中,CE2=DE2+CD2,
∴3−x2=x2+12,
∴x=43,
∴OE=43,AE=CE=OC−OE=3−43=53,
又 ∵DF⊥AF,
∴DF∥EO,
∴△AEO∽△ADF,
∴AE:AD=EO:DF=AO:AF,
即 53:3=43:DF=1:AF,
∴DF=125,AF=95,
∴OF=95−1=45,
∴ 点 D 的坐标为:−45,125.
18. 5,
取格点 P,N(使得 S△PAB=32),作直线 PN,再作线段 AB 的垂直平分线 EF 交 PN 于点 C,点 C 即为所求
【解析】(Ⅰ)AB=22+12=5.
第三部分
19. (1) x≥−1
(2) x<3
(3) 把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来如图所示.
(4) −1≤x<3
20. (1) 20;54
【解析】m%=1−40%−25%−15%=20%,
即 m 的值是 20,
表示“2 小时”的扇形的圆心角度数为:360∘×15%=54∘.
(2) 这组数据的平均数是:0.5×12+1×24+1.5×15+2×912+24+15+9=1.175,
众数是:1,
中位数是:1.
21. (1) DE 与 ⊙O 相切.
理由如下:连接 OD,如图 1,
∵∠AOD=2∠ACD=2×45∘=90∘,
∴OD⊥AB,
∵DE∥AB,
∴OD⊥DE,
∴DE 与 ⊙O 相切.
(2) 连接 OC,如图 2,
∵ 点 F 是 CD 的中点,
∴AB⊥CD,CF=DF,
∵∠COF=2∠CAB=60∘,
∴OF=12OC=12,CF=3OF=32,
∴CD=2CF=3,AF=OA+OF=32,
∵AF∥AD,F 点为 CD 的中点,
∴DE⊥CD,AF 为 △CDE 的中位线,
∴DE=2AF=3,
∴△CDE的面积=12×3×3=332.
22. (1) 过 B 作 BG⊥AD 于 G,如图所示.
则四边形 BGDF 是矩形,
∴BG=DF=5 米,
∵AB=13 米,
∴AG=AB2−BG2=12(米),
∴tan∠BAD=BGAG=125.
(2) 在 Rt△BCF 中,BF=CFtan∠CBF≈CF43,
在 Rt△CEF 中,EF=CFtan∠CEF≈CF2,
∵BE=4 米,
∴BF−EF=CF43−CF2=4(米),
解得:CF=16 米.
∴DC=CF+DF=16+5=21(米).
23. (1)
票价x元1015x18参观人数y人70004500−500x+120003000
【解析】设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为 y=kx+b,
把点 10,7000,15,4500 代入 y=kx+b 中得
10k+b=7000,15k+b=4500.
解得
k=−500,b=12000.∴y=−500x+12000
,
当 x=18 时,y=3000.
(2) 根据确保每周 4 万元的门票收入,得 xy=40000,
即 x−500x+12000=40000,
x2−24x+80=0,
解得 x1=20,x2=4,
把 x1=20,x2=4 分别代入 y=−500x+12000 中,
得 y1=2000,y2=10000,
因为控制参观人数,所以取 x=20,y=2000,
答:每周应限定参观人数是 2000 人,门票价格应是 20 元/人.
(3) 设门票收入为 w 元,
依题意有
w=x−500x+12000=−500x2−24x=−500x−122+72000,
故当 x=12 时,w 取得最大值.
可得:y=−500×12+12000=6000.
故门票价格应该是 12 元时门票收入最大,这样每周应有 6000 人参观.
24. (1) 10;6
【解析】在 Rt△AOB 中,
∵∠AOB=90∘,OA=6,OB=8,
∴AB=OA2+OB2=62+82=10,
BC=252+42=6.
(2) 如图 1 中,作 CE⊥x 轴于 E.连接 CM.
∵C−25,4,
∴CE=25,
在 Rt△COE 中,OC=OE2+CE2=252+42=6,
即当 t=3 时,点 N 与 C 重合,此时 OM=3,
∴S△ONM=12⋅OM⋅CE=12×3×4=6,
即 S=6.
(3) 如图 2 中,当 3
∵OF=4,OB=8,
∴BF=8−4=4,
∵GN∥CF,
∴BNBC=BGBF,即 12−2t6=BG4,
∴BG=8−43t,
∴y=OB−BG=8−8−43t=43t.
(4) t 的值为 8 或 323 或 6105.
【解析】①当点 N 在边长上,点 M 在 OA 上时,12×43t×t=485,
解得 t1=6105(舍去),t2=−6105.
②如图 3 中,当 M,N 在线段 AB 上,相遇之前.
作 OE⊥AB 于 E,
则 OE=OB⋅OAAB=245,
由题意得:12×10−2t−12−t−6×245=485,
解得 t=8,
同理,当 M,N 在线段 AB 上,相遇之后.
由题意得 12×2t−12+t−6−10×245=485,
解得 t=323,
综上所述,若 S=485,此时 t 的值为 8 或 323 或 6105.
25. (1) 由题意可知,抛物线 l1 的对称轴为直线 x=−−8a2a=4,
∵ 抛物线 l1 交 x 轴于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),且 AB=6,
∴A1,0,B7,0,
把 A1,0 代入 y=ax2−8ax−72,解得 a=−12,
∴ 抛物线 l1 的解析式为 y=−12x2+4x−72,
把 C5,n 代入 y=−12x2+4x−72,解得 n=4,
∴C5,4,
∵ 抛物线 l1 与 l2 形状相同,开口方向不同,
∴ 可以假设抛物线 l2 的解析式为 y=12x2+bx+c,
把 A1,0,C5,4 代入 y=12x2+bx+c,
得到 12+b+c=0,252+5b+c=4,
解得 b=−2,c=32.
∴ 抛物线 l2 的解析式为 y=12x2−2x+32.
(2) 2≤x≤4
【解析】如图 1,
观察图象可知,当 x 位于两个抛物线的顶点之间时,抛物线 l1 与 l2 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大,
∵ 两抛物线的顶点分别为 E2,−12,F4,92,
∴2≤x≤4 时,抛物线 l1 与 l2 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大.
(3) ∵ 直线 MN∥y轴,交 x 轴,l1,l2 分别相交于点 Pm,0,M,N,
∴Mm,−12m2+4m−72,Nm,12m2−2m+32,
① 如图 1 中,当 1≤m≤5 时,
MN=−m2+6m−5=−m−32+4,
∴m=3 时,MN 的最大值为 4.
② 如图 2 中,当 5
综上所述,MN 的最大值为 12.
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2023年天津市南开区中考数学二模试卷(含解析): 这是一份2023年天津市南开区中考数学二模试卷(含解析),共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2019年天津市南开区中考二模数学试卷: 这是一份2019年天津市南开区中考二模数学试卷,共15页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。