2018年天津市南开区中考二模数学试卷

这是一份2018年天津市南开区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −6÷16 的结果等于
A. 1B. −1C. 36D. −36

2. 2sin60∘ 的值等于
A. 3B. 2C. 1D. 2

3. 观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

4. 某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为 20 万分之一，将这个数用科学记数法表示为
A. 2×10−5B. 2×10−6C. 5×10−5D. 5×10−6

5. 用五块大小相同的小正方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是
A. B.
C. D.

6. 在实数 −3，−2，12，2 中，最小的是
A. −3B. −2C. 12D. 2

7. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，若 BD=2AD，则
A. ADAB=12B. AEEC=12C. ADEC=12D. DEBC=12

8. 一个正六边形的半径为 R，边心距为 r，那么 R 与 r 的关系是
A. r=32RB. r=22RC. r=34RD. r=53R

9. 设点 Ax1,y1 和 Bx2,y2 是反比例函数 y=kx 图象上的两个点，当 x1A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

10. 如图，A，B，C，D 四个点均在 ⊙O 上，∠AOD=50∘，AO∥DC，则 ∠B 的度数为
A. 50∘B. 55∘C. 60∘D. 65∘

11. 观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 9 个图形中的点一共有
A. 162 个B. 135 个C. 30 个D. 27 个

12. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的顶点和该抛物线与 y 轴的交点在一次函数 y=kx+1k≠0 的图象上，它的对称轴是直线 x=1，有下列四个结论：
①abc<0，
②a<−13，
③a=−k，
④ 当 0k，
其中正确结论的个数是 个．
A. 4B. 3C. 2D. 1

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 分解因式：x2−5x= ．

14. 计算 2×6−212 的结果等于 ．

15. 有四张卡片，分别写有数 −2，0，1，5，将它们背面朝上（背面无差别）洗匀后放在桌上，从中任意抽出两张，则抽出卡片上的数的积是正数的概率是 ．

16. 如图1，两个等边 △ABD，△CBD 的边长均为 1，将 △ABD 沿 AC 方向向右平移到 △AʹBʹDʹ 的位置，得到图 2，则阴影部分的周长为 ．

17. 如图．在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为 1,3，将矩形沿对角线 AC 翻折，B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E．那么点 D 的坐标为 ．

18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，B 为格点．
（Ⅰ）AB 的长等于 ．
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点 C，使得 CA=CB 且 △ABC 的面积等于 32，并简要说明点 C 的位置是如何找到的 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 7x+1−3≥2x−1, ⋯⋯①−x−1<21−x. ⋯⋯②
请结合题填空，完成本题的解答
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 某校为了解学生每天参加户外活动的情况，随机抽查了一部分学生每天参加户外活动的时间情况，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）在图①中，m 的值为 ，表示“2 小时”的扇形的圆心角为 度；
（2）求统计的这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数．

21. 如图，⊙O 的直径 AB 的长为 2，点 C 在圆周上，∠CAB=30∘，点 D 是圆上一动点，DE∥AB 交 CA 的延长线于点 E，连接 CD，交 AB 于点 F．
（1）如图 1，当 ∠ACD=45∘ 时，请你判断 DE 与 ⊙O 的位置关系并加以证明；
（2）如图 2，当点 F 是 CD 的中点时，求 △CDE 的面积．

22. 某中学依山而建，校门 A 处有一斜坡 AB，长度为 13 米，在坡顶 B 处看教学楼 CF 的楼顶 C 的仰角 ∠CBF=53∘，离 B 点 4 米远的 E 处有一花台，在 E 处仰望 C 的仰角 ∠CEF=63.4∘，CF 的延长线交校门处的水平面于 D 点，FD=5 米．（参考数据：tan53∘≈43，tan63.4∘≈2）
（1）求 ∠BAD 的正切值；
（2）求 DC 的长．

23. 某文物古迹遗址每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对文物古迹会产生不良影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用的问题，还要保证有一定的门票收入，因此遗址的管理部门采取了升、降门票价格的方法来控制参观人数．在实施过程中发现：每周参观人数 y（人）与票价 x（元）之间恰好构成一次函数关系．
（1）根据题意完成下列表格．
票价x元1015x18参观人数y人70004500
（2）在这样的情况下，如果要确保每周有 40000 元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应定为多少元?
（3）门票价格应该是多少元时，门票收入最大?这样每周应有多少人参观?

24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点 O 是坐标原点，点 A 的坐标为 6,0，点 B 的坐标为 0,8，点 C 的坐标为 −25,4，点 M，N 分别为四边形 OABC 边上的动点，动点 M 从点 O 开始，以每秒 1 个单位长度的速度沿 O→A→B 路线向终点 B 匀速运动，动点 N 从 O 点开始，以每秒两个单位长度的速度沿 O→C→B→A 路线向终点 A 匀速运动，点 M，N 同时从 O 点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间 t 秒（t>0），△OMN 的面积为 S．
（1）填空：AB 的长是 ，BC 的长是 ；
（2）当 t=3 时，求 S 的值；
（3）当 3（4）若 S=485，请直接写出此时 t 的值．

25. 已知抛物线 l1 与 l2 形状相同，开口方向不同，其中抛物线 l1:y=ax2−8ax−72 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB=6；抛物线 l1 与 l2 交于点 A 和点 C5,n．
（1）求抛物线 l1，l2 的表达式；
（2）当 x 的取值范围是 时，抛物线 l1 与 l2 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；
（3）直线 MN∥y轴，交 x 轴，l1，l2 分别相交于点 Pm,0，M，N，当 1≤m≤7 时，求线段 MN 的最大值．
答案
第一部分
1. D【解析】原式=−6×6=−36.
2. A【解析】2sin60∘=2×32=3．
3. C
4. D【解析】1200000=0.000005=5×10−6．
5. D
【解析】从左面看，是两层都有两个正方形的田字格形排列．
6. B【解析】正数有：12，2；
负数：−3，−2，
∵3<2，
∴−3>−2，
∴ 最小的数是 −2．
7. B【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵BD=2AD，
∴ADAB=DEBC=AEAC=13，则 AEEC=12，
∴ A，C，D选项错误，B选项正确．
8. A【解析】∵ 正六边形的半径为 R，
∴ 边心距 r=32R．
9. A【解析】∵ 点 A 和点 B 是反比例函数 y=kx 图象上的两个点，且当 x1 ∴k<0，
∴ 一次函数 y=−2x+k 的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
10. D
【解析】连接 AD，如图所示．
∵OA=OD，∠AOD=50∘，
∴∠ADO=180∘−∠AOD2=65∘．
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=50∘，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115∘，
∴∠B=180∘−∠ADC=65∘．
11. B【解析】第 1 个图形有 3=3×1=3（个）点，
第 2 个图形有 3+6=3×1+2=9（个）点，
第 3 个图形有 3+6+9=3×1+2+3=18（个）点；
⋯⋯
第 n 个图形有 3+6+9+⋯+3n=3×1+2+3+⋯+n=3nn+12（个）点；
当 n=9 时，3nn+12=3×9×102=135．
12. A【解析】由抛物线的开口向下，且对称轴为直线 x=1 可知 a<0，−b2a=1，
即 b=−2a>0，
由抛物线与 y 轴的交点在一次函数 y=kx+1k≠0 的图象上知 c=1，
则 abc<0，故 ① 正确；
由 ① 知 y=ax2−2ax+1，
∵x=−1 时，y=a+2a+1=3a+1<0，
∴a<−13，故 ② 正确；
∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的顶点在一次函数 y=kx+1k≠0 的图象上，
∴a+b+1=k+1，即 a+b=k，
∵b=−2a，
∴−a=k，即 a=−k，故 ③ 正确；
由函数图象知，当 0 ∴ax2+bx+1>kx+1，即 ax2+bx>kx，
∵x>0，
∴ax+b>k，故 ④ 正确．
第二部分
13. xx−5
【解析】x2−5x=xx−5．
14. 23−2
【解析】原式=2×6−22×12=23−2.
15. 16
【解析】画树状图如图所示：
由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中抽出卡片上的数字积为正数的结果为 2 种，
所以抽出卡片上的数字积为正数的概率为 212=16．
16. 2
【解析】由题意可得，△AʹMN，△DMO，△DʹEO，△CEG，△GBʹR，△NBR 均为等边三角形．
所以 OM+MN+NR+GR+EG+OE=BD+BʹDʹ=1+1=2.
17. −45,125
【解析】如图，过 D 作 DF⊥AO 于 F，
∵ 点 B 的坐标为 1,3，
∴BC=AO=1，AB=OC=3，
根据折叠可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90∘，AD=AB=3，
在 △CDE 和 △AOE 中，
∠CDE=∠AOE,∠CED=∠AEO,CD=AO,
∴△CDE≌△AOE，
∴OE=DE，OA=CD=1，AE=CE，
设 OE=x，那么 CE=3−x，DE=x，
∴ 在 Rt△DCE 中，CE2=DE2+CD2，
∴3−x2=x2+12，
∴x=43，
∴OE=43，AE=CE=OC−OE=3−43=53，
又 ∵DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
∴AE:AD=EO:DF=AO:AF，
即 53:3=43:DF=1:AF，
∴DF=125，AF=95，
∴OF=95−1=45，
∴ 点 D 的坐标为：−45,125．
18. 5，
取格点 P，N（使得 S△PAB=32），作直线 PN，再作线段 AB 的垂直平分线 EF 交 PN 于点 C，点 C 即为所求
【解析】（Ⅰ）AB=22+12=5．
第三部分
19. （1） x≥−1
（2） x<3
（3） 把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来如图所示．
（4） −1≤x<3
20. （1） 20；54
【解析】m%=1−40%−25%−15%=20%，
即 m 的值是 20，
表示“2 小时”的扇形的圆心角度数为：360∘×15%=54∘．
（2） 这组数据的平均数是：0.5×12+1×24+1.5×15+2×912+24+15+9=1.175，
众数是：1，
中位数是：1．
21. （1） DE 与 ⊙O 相切．
理由如下：连接 OD，如图 1，
∵∠AOD=2∠ACD=2×45∘=90∘，
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE 与 ⊙O 相切．
（2） 连接 OC，如图 2，
∵ 点 F 是 CD 的中点，
∴AB⊥CD，CF=DF，
∵∠COF=2∠CAB=60∘，
∴OF=12OC=12，CF=3OF=32，
∴CD=2CF=3，AF=OA+OF=32，
∵AF∥AD，F 点为 CD 的中点，
∴DE⊥CD，AF 为 △CDE 的中位线，
∴DE=2AF=3，
∴△CDE的面积=12×3×3=332．
22. （1） 过 B 作 BG⊥AD 于 G，如图所示．
则四边形 BGDF 是矩形，
∴BG=DF=5 米，
∵AB=13 米，
∴AG=AB2−BG2=12（米），
∴tan∠BAD=BGAG=125．
（2） 在 Rt△BCF 中，BF=CFtan∠CBF≈CF43，
在 Rt△CEF 中，EF=CFtan∠CEF≈CF2，
∵BE=4 米，
∴BF−EF=CF43−CF2=4（米），
解得：CF=16 米．
∴DC=CF+DF=16+5=21（米）．
23. （1）
票价x元1015x18参观人数y人70004500−500x+120003000
【解析】设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为 y=kx+b，
把点 10,7000，15,4500 代入 y=kx+b 中得
10k+b=7000,15k+b=4500.
解得
k=−500,b=12000.∴y=−500x+12000
，
当 x=18 时，y=3000．
（2） 根据确保每周 4 万元的门票收入，得 xy=40000，
即 x−500x+12000=40000，
x2−24x+80=0，
解得 x1=20，x2=4，
把 x1=20，x2=4 分别代入 y=−500x+12000 中，
得 y1=2000，y2=10000，
因为控制参观人数，所以取 x=20，y=2000，
答：每周应限定参观人数是 2000 人，门票价格应是 20 元/人．
（3） 设门票收入为 w 元，
依题意有
w=x−500x+12000=−500x2−24x=−500x−122+72000，
故当 x=12 时，w 取得最大值．
可得：y=−500×12+12000=6000．
故门票价格应该是 12 元时门票收入最大，这样每周应有 6000 人参观．
24. （1） 10；6
【解析】在 Rt△AOB 中，
∵∠AOB=90∘，OA=6，OB=8，
∴AB=OA2+OB2=62+82=10，
BC=252+42=6．
（2） 如图 1 中，作 CE⊥x 轴于 E．连接 CM．
∵C−25,4，
∴CE=25，
在 Rt△COE 中，OC=OE2+CE2=252+42=6，
即当 t=3 时，点 N 与 C 重合，此时 OM=3，
∴S△ONM=12⋅OM⋅CE=12×3×4=6，
即 S=6．
（3） 如图 2 中，当 3则 F0,4．
∵OF=4，OB=8，
∴BF=8−4=4，
∵GN∥CF，
∴BNBC=BGBF，即 12−2t6=BG4，
∴BG=8−43t，
∴y=OB−BG=8−8−43t=43t．
（4） t 的值为 8 或 323 或 6105．
【解析】①当点 N 在边长上，点 M 在 OA 上时，12×43t×t=485，
解得 t1=6105（舍去），t2=−6105．
②如图 3 中，当 M，N 在线段 AB 上，相遇之前．
作 OE⊥AB 于 E，
则 OE=OB⋅OAAB=245，
由题意得：12×10−2t−12−t−6×245=485，
解得 t=8，
同理，当 M，N 在线段 AB 上，相遇之后．
由题意得 12×2t−12+t−6−10×245=485，
解得 t=323，
综上所述，若 S=485，此时 t 的值为 8 或 323 或 6105．
25. （1） 由题意可知，抛物线 l1 的对称轴为直线 x=−−8a2a=4，
∵ 抛物线 l1 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB=6，
∴A1,0，B7,0，
把 A1,0 代入 y=ax2−8ax−72，解得 a=−12，
∴ 抛物线 l1 的解析式为 y=−12x2+4x−72，
把 C5,n 代入 y=−12x2+4x−72，解得 n=4，
∴C5,4，
∵ 抛物线 l1 与 l2 形状相同，开口方向不同，
∴ 可以假设抛物线 l2 的解析式为 y=12x2+bx+c，
把 A1,0，C5,4 代入 y=12x2+bx+c，
得到 12+b+c=0,252+5b+c=4,
解得 b=−2,c=32.
∴ 抛物线 l2 的解析式为 y=12x2−2x+32．
（2） 2≤x≤4
【解析】如图 1，
观察图象可知，当 x 位于两个抛物线的顶点之间时，抛物线 l1 与 l2 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，
∵ 两抛物线的顶点分别为 E2,−12，F4,92，
∴2≤x≤4 时，抛物线 l1 与 l2 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大．
（3） ∵ 直线 MN∥y轴，交 x 轴，l1，l2 分别相交于点 Pm,0，M，N，
∴Mm,−12m2+4m−72，Nm,12m2−2m+32，
① 如图 1 中，当 1≤m≤5 时，
MN=−m2+6m−5=−m−32+4，
∴m=3 时，MN 的最大值为 4．
② 如图 2 中，当 5 ∵5 ∴m=7 时，MN 的值最大，最大值是 12，
综上所述，MN 的最大值为 12．