2018年上海市普陀区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2018年上海市普陀区中考一模数学试卷（期末），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列函数中，y 关于 x 的二次函数是
A. y=ax2+bx+cB. y=xx−1
C. y=1x2D. y=x−12−x2

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=2，下列结论中，正确的是
A. AB=2sinAB. AB=2csAC. BC=2tanAD. BC=2ctA

3. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判定 ED∥BC 的是
A. BABD=CACEB. EAEC=DADBC. EDBC=EAACD. EAAD=ACAB

4. 已知 a=5b，下列说法中，不正确的是
A. a−5b=0B. a 与 b 方向相同
C. a∥bD. a=5b

5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是边 AD 上的一点，射线 CF 和 BA 的延长线交于点 E，如果 C△EAFC△CDF=12，那么 S△EAFS△EBC 的值是
A. 12B. 13C. 14D. 19

6. 如图，已知 AB 和 CD 是 ⊙O 的两条等弦，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点 M，N，BA，DC 的延长线交于点 P，连接 OP，下列四个说法中：
① AB=CD；
② OM=ON；
③ PA=PC；
④ ∠BPO=∠DPO．
正确的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 ab=23，那么 b−aa+b= ．

8. 已知线段 a=4 厘米，b=9 厘米，线段 c 是线段 a 和线段 b 的比例中项，线段 c 的长度等于 厘米．

9. 化简：b−4a−32b= ．

10. 在直角坐标系平面内，抛物线 y=3x2+2x 在对称轴的左侧部分是 的（填“上升”或“下降”）．

11. 二次函数 y=x−12−3 的图象与 y 轴的交点坐标是 ．

12. 将抛物线 y=2x2 平移，使顶点移动到点 P−3,1 的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是 ．

13. 在直角坐标平面内有一点 A3,4，点 A 与原点 O 连线与 x 轴的正半轴夹角为 α，那么角 α 的余弦值是 ．

14. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D，E 分别在边 BC，AB 上，且 ∠ADE=∠B，如果 DE:AD=2:5，BD=3，那么 AC= ．

15. 如图，某水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 AD=6 米，坝高是 20 米，背水坡 AB 的坡角为 30∘，迎水坡 CD 的坡度为 1:2，那么坝底 BC 的长度等于 米（结果保留根号）．

16. 已知 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=7，CD⊥AB，垂足为点 D，以点 D 为圆心作 ⊙D，使得点 A 在 ⊙D 外，且点 B 在 ⊙D 内．设 ⊙D 的半径为 r，那么 r 的取值范围是 ．

17. 如图，点 D 在 △ABC 的边 BC 上，已知点 E 、点 F 分别为 △ABD 和 △ADC 的重心，如果 BC=12，那么两个三角形重心之间的距离 EF 的长等于 ．

18. 如图，△ABC 中，AB=5，AC=6，将 △ABC 翻折，使得点 A 落到边 BC 上点 Aʹ 处，折痕分别交边 AB，AC 于点 E，点 F，如果 AʹF∥AB，那么 BE=

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：12cs30∘−ct45∘−tan60∘⋅sin245∘．

20. 已知一个二次函数的图象经过 A0,−3，B1,0，Cm,2m+3，D−1,−2 四点，求这个函数解析式以及点 C 的坐标．

21. 如图，已知 ⊙O 经过 △ABC 的顶点 A 、 B，交边 BC 于点 D，点 A 恰为 BD 的中点，且 BD=8，AC=9，sinC=13，求 ⊙O 的半径．

22. 下面是一位同学的一道作图题：
已知线段 a，b，c（如图），求作线段 x，使 a:b=c:x．
他的作法如下：
（1）以点 O 为端点画射线 OM，ON．
（2）在 OM 上依次截取 OA=a，AB=b .
（3）在 ON 上截取 OC=c．
（4）连接 AC，过点 B 作 BD∥AC，交 ON 于点 D．
所以：线段 就是所求的线段 x．
（1）试将结论补完整．
（2）这位同学作图的依据是 ．
（3）如果 OA=4，AB=5，AC=π，试用向量 π 表示向量 DB．

23. 已知：如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 E，AD=DC，DC2=DE⋅DB，求证：
（1）△BCE∽△ADE；
（2）AB⋅BC=BD⋅BE．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+2ax+c（其中 a，c 为常数，且 a<0）与 x 轴交于点 A−3,0，与 y 轴交于点 B，此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求 ∠CAB 的正切值；
（3）如果点 P 是 x 轴上的一点，且 ∠ABP=∠CAO，直接写出点 P 的坐标．

25. 如图 1，∠BAC 的余切值为 2，AB=25，点 D 是线段 AB 上的一动点（点 D 不与点 A，B 重合），以点 D 为顶点的正方形 DEFG 的另两个顶点 E，F 都在射线 AC 上，且点 F 在点 E 的右侧，连接 BG，并延长 BG，交射线 EC 于点 P．
（1）点 D 在运动时，下列的线段和角中， 是始终保持不变的量（填序号）；
① AF；② FP；③ BP；④ ∠BDG；⑤ ∠GAC；⑥ ∠BPA．
（2）设正方形的边长为 x，线段 AP 的长为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果 △PFG 与 △AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．
答案
第一部分
1. B【解析】A．当 a=0 时，y=ax2+bx+c=bx+c，不是二次函数，故不符合题意；
B．y=xx−1=x2−x，是二次函数，故符合题意；
C．y=1x2 的自变量在分母中，不是二次函数，故不符合题意；
D．y=x−12−x2=−2x+1，不是二次函数，故不符合题意．
2. C【解析】∵∠C=90∘，AC=2，
∴csA=ACAB=2AB，
∴AB=2csA，
故选项A，B错误，
∵tanA=BCAC=BC2，
∴BC=2tanA，
故选项C正确；选项D错误．
3. C【解析】A，当 BABD=CACE 时，能判断 ED∥BC；
B，当 EAEC=DADB 时，能判断 ED∥BC；
C，当 EDBC=EAAC 时，不能判断 ED∥BC；
D，当 EAAD=ACAB 时，EAAC=ADAB，能判断 ED∥BC．
4. A【解析】A、 a−5b=0，故该选项说法错误；
B、因为 a=5b，所以 a 与 b 的方向相同，故该选项说法正确；
C、因为 a=5b，所以 a∥b，故该选项说法正确；
D、因为 a=5b，所以 a=5b；故该选项说法正确．
5. D
【解析】∵ 在平行四边形 ABCD 中，
∴AE∥CD，
∴△EAF∽△CDF，
∵C△EAFC△CDF=12，
∴AFDF=12，
∴AFBC=11+2=13，
∵AF∥BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴S△EAFS△EBC=132=19．
6. D【解析】如图连接 OB，OD；
∵ AB=CD，
∴ AB=CD，故①正确．
∵ OM⊥AB，ON⊥CD，
∴ AM=MB，CN=ND，
∴ BM=DN，
∵ OB=OD，
∴ Rt△OMB≌Rt△OND，
∴ OM=ON，故②正确，
∵ OP=OP，
∴ Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴ PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵ AM=CN，
∴ PA=PC，故③正确．
第二部分
7. 15
【解析】∵ab=23，
设 a=2t，b=3t，
∴b−aa+b=3t−2t2t+3t=15
8. 6
【解析】∵ 线段 c 是线段 a 和线段 b 的比例中项，
∴c2=4×9，
解得 c=±6（线段是正数，负值舍去），
∴c=6 cm．
9. −4a+7b
【解析】b−4a−32b=b−4a+6b=−4a+7b．
10. 下降
【解析】∵ 在 y=3x2+2x 中，a=3>0，
∴ 抛物线开口向上，
∴ 在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的．
11. 0,−2
【解析】把 x=0 代入 y=x−12−3 得：y=1−3=−2，
∴ 该二次函数的图象与 y 轴的交点坐标为 0,−2．
12. y=2x+32+1
13. 35
【解析】∵ 点 A 坐标为 3,4，
∴OA=32+42=5，
∴csα=35．
14. 152
【解析】∵∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，
∴△AED∽△ABD，
∴DEAD=BDAB，即 3AB=25，
∴AB=152，
∵AB=AC，
∴AC=152．
15. 46+203
【解析】如图，作 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点 E，F，则四边形 ADFE 是矩形，
由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30∘，斜坡 CD 的坡度为 1:2，
在 Rt△ABE 中，
因为 ∠B=30∘，
所以 BE=3AE=203 米，
在 Rt△DCF 中，
因为斜坡 CD 的坡度为 1:2，
所以 DFCF=12，
所以 CF=2DF=40 米，
所以 BC=BE+EF+FC=203+6+40=46+203（米）．
所以坝底 BC 的长度等于 46+203 米．
16. 74【解析】∵Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=7，
∴AB=32+72=4，
∵CD⊥AB，
∴CD=374，
∵AD⋅BD=CD2，
设 AD=x，BD=4−x，
解得 x=94，
∴ 点 A 在圆外，点 B 在圆内，
r 的范围是 7417. 4
【解析】如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，
∵ 点 E，F 分别是 △ABD 和 △ACD 的重心，
∴DG=12BD，DH=12CD，AE=2GE，AF=2HF，
∵BC=12，
∴GH=DG+DH=12BD+CD=12BC=12×12=6，
∵AE=2GE，AF=2HF，
∴AEAG=AFAH=23，
∵∠EAF=∠GAH，
∴△EAF∽△GAH，
∴EFGH=AEAG=23，
∴EF=4．
18. 2511
【解析】如图，
由折叠可得，∠AFE=∠AʹFE，
∵AʹF∥AB，
∴∠AEF=∠AʹFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
由折叠可得，AF=AʹF，
设 BE=x，则 AE=5−x=AF=AʹF，CF=6−5−x=1+x，
∵AʹF∥AB，
∴△AʹCF∽△BCA，
∴CFCA=AʹFBA，
即 1+x6=5−x5，
解得 x=2511，
∴BE=2511．
第三部分
19. 原式=12×32−1−3×12=3+12−32=12.
20. 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，
把 A0,−3，B1,0，D−1,−2 代入得 c=−3a+b+c=0a−b+c=−2，
解得 a=2b=1c=−3，
∴ 抛物线的解析式为 y=2x2+x−3，
把 Cm,2m+3 代入得 2m2+m−3=2m+3，解得 m1=−32，m2=2，
∴ C 点坐标为 −32,0或2,7．
21. 如图，连接 OA．交 BC 于 H．
∵ 点 A 为 BD 的中点，
∴OA⊥BD，BH=DH=4，
∴∠AHC=∠BHO=90∘，
∵sinC=13=AHAC，AC=9，
∴AH=3，
设 ⊙O 的半径为 r，
在 Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，
∴42+r−32=r2，
∴r=256，
∴⊙O 的半径为 256．
22. （1） CD
【解析】∵BD∥AC，
∴OA:AB=OC:CD，
∵OA=a，AB=b，OC=c，a:b=c:x，
∴ 线段 CD 就是所求的线段 x．
（2） 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例．
（3） ∵OA=4，AB=5，且 BD∥AC，
∴△OAC∽△OBD，
∴OAOB=ACBD，即 49=ACBD，
∴BD=94AC，
∴DB=94CA=−94AC=−94π．
23. （1） ∵ AD=DC，
∴ ∠DAC=∠DCA，
∵ DC2=DE⋅DB，
∴ DCED=DBDC，
∵ ∠CDE=∠BDC，
∴ △CDE∽△BDC，
∴ ∠DCE=∠DBC，
∴ ∠DAE=∠EBC，
∵ ∠AED=∠BEC，
∴ △BCE∽△ADE．
（2） ∵ DC2=DE⋅DB，AD=DC，
∴ AD2=DE⋅DB，
同法可得 △ADE∽△BDA，
∴ ∠DAE=∠ABD=∠EBC，
∵ △BCE∽△ADE，
∴ ∠ADE=∠BCE，
∴ △BCE∽△BDA，
∴ BCBD=BEAB，
∴ AB⋅BC=BD⋅BE．
24. （1） 由题意得，抛物线 y=ax2+2ax+c 的对称轴是直线 x=−2a2a=−1，
∵a<0，抛物线开口向下，又与 x 轴有交点，
∴ 抛物线的顶点 C 在 x 轴的上方，
由于抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4，因此顶点 C 的坐标是 −1,4．
可设此抛物线的表达式是 y=ax+12+4，
由于此抛物线与 x 轴的交点 A 的坐标是 −3,0，可得 a=−1，
因此，抛物线的表达式是 y=−x2−2x+3．
（2） 如图 1，
点 B 的坐标是 0,3．连接 BC，
∵AB2=32+32=18，BC2=12+12=2，AC2=22+42=20，得 AB2+BC2=AC2，
∴△ABC 直角三角形，∠ABC=90∘，
所以 tan∠CAB=BCAB=13．
即 ∠CAB 的正切值等于 13．
（3） 1,0
【解析】如图 2，连接 BC，
∵OA=OB=3，∠AOB=90∘，
∴△AOB 是等腰直角三角形，
∴∠BAP=∠ABO=45∘，
∵∠CAO=∠ABP，
∴∠CAB=∠OBP，
∵∠ABC=∠BOP=90∘，
∴△ACB∽△BPO，
∴ABBC=OBOP，
∴322=3OP，OP=1，
∴ 点 P 的坐标是 1,0．
25. （1） ④⑤
【解析】如图，作 BM⊥AC 于 M，交 DG 于 N，
在 Rt△ABM 中，
∵ct∠BAC=AMBM=2，
设 BM=t，则 AM=2t，
∵AM2+BM2=AB2，
∴2t2+t2=252，解得 t=2，
∴BM=2，AM=4，
设正方形的边长为 x，
在 Rt△ADE 中，
∵ct∠DAE=AEDE=2，
∴AE=2x，
∴AF=3x，
在 Rt△GAF 中，tan∠GAF=GFAF=x3x=13，
∴∠GAF 为定值，
∵DG∥AP，
∴∠BDG=∠BAC，
∴∠BDG 为定值；
在 Rt△BMP 中，PB=22−PM2，
而 PM 在变化，
∴PB 在变化，∠BPM 在变化，
∴PF 在变化，
所以 ∠BDG 和 ∠GAC 是始终保持不变的量．
故答案为④⑤．
（2） ∵MN⊥AP，DEFG 是正方形，
∴ 四边形 DEMN 为矩形，
∴NM=DE=x，
∵DG∥AP，
∴△BDG∽△BAP，
∴DGAP=BNBM，
即 xy=2−x2，
∴y=2x2−x1≤x<2．
（3） ∵∠AFG=∠PFG=90∘，△PFG与△AFG 相似，且面积不相等，
∴GFAF=PFGF，即 x3x=PFx，
∴PF=13x，
当点 P 在点 F 点右侧时，AP=AF+PF=13x+3x=103x，
∴2x2−x=103x，
解得 x=75，
当点 P 在点 F 点左侧时，AP=AF−PF=3x−13x=83x，
∴2x2−x=83x，
解得 x=54．
综上所述，正方形的边长为 75 或 54．