2018年上海市徐汇区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2018年上海市徐汇区中考一模数学试卷（期末），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知 xy=34，那么下列等式中，不成立的是
A. xx+y=37B. x−yy=14C. x+3y+4=34D. 4x=3y

2. 在比例尺是 1:40000 的地图上，若某条道路长约为 5 cm，则它的实际长度约为
A. 0.2 kmB. 2 kmC. 20 kmD. 200 km

3. 在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，如果 AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断 DE∥BC 的是
A. DEBC=13B. DEBC=14C. AEAC=13D. AEAC=14

4. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边，下列等式中，正确的是
A. sinA=bcB. csB=caC. tanA=abD. ctB=ba

5. 下列关于向量的说法中，不正确的是
A. 3a−b=3a−3b
B. 若 a=3b，则 a=3b 或 a=−3b
C. 3a=3a
D. mna=mna

6. 对于抛物线 y=−x+22+3，下列结论中正确结论的个数为
①抛物线的开口向下；②对称轴是直线 x=−2；③图象不经过第一象限；④当 x>2 时，y 随 x 的增大而减小．
A. 4B. 3C. 2D. 1

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果线段 b 是线段 a，c 的比例中项，且 a=2，c=8，则 b= ．

8. 计算：2a−b+3b= ．

9. 若点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AB=10 cm，则较长线段 AP 的长是 cm．

10. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E，F 分别为 AB，DC 上的点，若 CF=4，且 EF∥AD，AE:BE=2:3，则 CD 的长等于 ．

11. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=2，BC=6，若 △AOB 的面积等于 6，则 △AOD 的面积等于 ．

12. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，若 AB=a，BC=b，则 OD 用 a，b 可表示为 ．

13. 已知抛物线 C 的顶点坐标为 1,3，如果平移后能与抛物线 y=12x2+2x+3 重合，那么抛物线 C 的表达式是 ．

14. sin60∘⋅tan45∘−cs60∘⋅ct30∘= ．

15. 如果抛物线 y=ax2−2ax+c 与 x 轴的一个交点为 5,0，那么与 x 轴的另一个交点的坐标是 ．

16. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，BE，AD 分别是边 AC，BC 上的高，CD=2，AC=6，那么 CE= ．

17. 如图，是将一正方体货物沿坡面 AB 装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度 BC 为 2.6 米，斜坡 AB 的坡比为 1:2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点 D 与 C 重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度 BD 不能超过 米．

18. 在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4（如图），将 △ACB 绕点 A 顺时针方向旋转得 △ADE（点 C，B 的对应点分别为 D，E），点 D 恰好落在直线 BE 上和直线 AC 交于点 F，则线段 AF 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 如图，在 △ABC 中，∠ACD=∠B，AD=4，DB=5．
（1）求 AC 的长；
（2）若设 CA=a，CB=b，试用 a，b 的线性组合表示向量 CD．

20. 已知一个二次函数的图象经过 A0,−6，B4,−6，C6,0 三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）分别连接 AC，BC，求 tan∠ACB．

21. 如图所示，巨型广告牌 AB 背后有一看台 CD，台阶每层高 0.3 米，且 AC=17 米，现有一只小狗睡在台阶的 FG 这层上晒太阳．设太阳光线与水平地面的夹角为 α，当 α=60∘ 时，测得广告牌 AB 在地面上的影长 AE=10 米．过了一会儿，当 α=45∘ 时，问小狗在 FG 这层是否还能晒到太阳?请说明理由（3 取 1.73）．

22. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，BC=12，sinC=45，点 G 是 △ABC 的重心，线段 BG 的延长线交边 AC 于点 D，求 ∠CBD 的余弦值．

23. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D，E，F 分别在边 BC，AB，AC 上，且 ∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段 EF 交线段 AD 于点 G．
（1）求证：AE=AF；
（2）若 DFDE=CFAE，求证：四边形 EBDF 是平行四边形．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kxk≠0 沿着 y 轴向上平移 3 个单位长度后，与 x 轴交于点 B3,0，与 y 轴交于点 C，抛物线 y=x2+bx+c 过点 B，C 且与 x 轴的另一个交点为 A．
（1）求直线 BC 及该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的顶点为 D，求 △DBC 的面积；
（3）如果点 F 在 y 轴上，且 ∠CDF=45∘，求点 F 的坐标．

25. 已知，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90∘，AD=2，AB=4，BC=5，在射线 BC 任取一点 M，连接 DM，作 ∠MDN=∠BDC，∠MDN 的另一边 DN 交直线 BC 于点 N（点 N 在点 M 的左侧）．
（1）当 BM 的长为 10 时，求证：BD⊥DM；
（2）如图（1），当点 N 在线段 BC 上时，设 BN=x，BM=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）如果 △DMN 是等腰三角形，求 BN 的长．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. D
4. C
5. B
6. A
第二部分
7. 4
8. 2a+b
【解析】2a−b+3b=2a−2b+3b=2a+b．
9. 55−5
10. 203
11. 2
12. 12b−12a
13. y=12x−12+3
14. 0
15. −3,0
16. 43
17. 2.4
【解析】如图，
点 D 与点 C 重合时，BʹC=BD，∠BʹCB=∠CBD=∠A，
∵tanA=12.4，
∴tan∠BCBʹ=BBʹBʹC=12.4，
∴ 设 BʹB=x 米，则 BʹC=2.4x 米，
在 Rt△BʹCB 中，
∵∠Bʹ=90∘，
∴BʹB2+BʹC2=BC2，
即：x2+2.4x2=2.62，
解得 x=1（负值舍去），
∴BD=BʹC=2.4 米．
故 BD 的长为 2.4 米．
18. 757
【解析】如图，
∵△ACB 绕点 A 顺时针方向旋转得 △ADE（点 C，B 的对应点分别为 D，E），
∴AD=AC=3，DE=CB=4，AB=AE，∠ADF=∠C=90∘，
∴BD=DE=4，
设 DF=x，AF=y，
∵∠AFD=∠BFC，
∴△FDA∽△FCB，
∴x3+y=y4+x=34，
∴4y=3x+12，4x=3y+9，
∴4y=3⋅3y+94+12，
∴y=757，即线段 AF 的长为 757．
第三部分
19. （1） ∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ACAB=ADAC，
∴AC2=AD⋅AB=4×9=36，
∴AC=6；
（2） AB=CB−CA=b−a，
∵ADAB=49，
∴AD=49AB=49b−a，
∴CD=CA+AD=59a+49b．
20. （1） 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，根据题意得 c=−6,16a+4b+c=−6,36a+6b+c=0, 即得 a=12,b=−2,c=−6,
∴ 二次函数解析式为 y=12x2−2x−6；
（2） 作 BH⊥AC 于 H，如图，
∵OA=OC，
∴△OAC 为等腰直角三角形，
∴∠OAC=45∘，AC=2OA=62，
∵A0,−6，B4,−6，
∴AB∥x 轴，AB=4，
∴∠BAC=45∘，
∴△ABH 为等腰直角三角形，
∴AH=BH=22AB=22，
∴CH=42，
在 Rt△BCH 中，tan∠HCB=BHCH=2242=12，即 tan∠ACB=12．
21. 当 α=45∘ 时，小狗仍可以晒到太阳．
理由如下：
假设没有台阶，当 α=45∘ 时，从点 B 射下的光线与地面 AD 的交点为点 P，与 MC 的交点为点 H，
当 α=60∘ 时，在 Rt△ABE 中，
∵tan60∘=ABAE=AB10，
∴AB=10⋅tan60∘=103≈10×1.73=17.3，
∵∠BPA=45∘，
∴tan45∘=ABAP=1，
此时的影长 AP=AB=17.3，
∴CP=AP−AC=17.3−17=0.3，
∴CH=CP=0.3，
∴ 大楼的影子落在台阶 MC 这个侧面上，
∴ 小狗能晒到太阳．
22. 如图，连接 AG 延长 AG 交 BC 于 H．
因为 G 是重心，
所以 BH=CH=6，AG=2GH，
因为 AB=AC，
所以 AH⊥BC，
因为 sinC=45=AHAC，设 AH=4k，AC=5k，
在 Rt△AHC 中，
因为 AH2+CH2=AC2，
所以 4k2+62=5k2，
解得 k=2，
所以 AH=8，AC=10，
所以 GH=13AH=83，
在 Rt△BGH 中，BG=62+832=2397，
所以 cs∠CBD=BHBG=99797．
23. （1） ∵∠ADE=∠B，∠BAD=∠EAD，
∴△BAD∽△DAE，
∴ABDA=ADAE，
∴AD2=AE⋅AB，
同法可证：AD2=AF⋅AC，
∴AE⋅AB=AF⋅AC，
∵AB=AC，
∴AE=AF．
（2） ∵△BAD∽△DAE，
∴∠AED=∠ADB=∠DAC+∠C，
∵∠DFC=∠DAC+∠ADF，∠ADF=∠C，
∴∠AED=∠DFC，
∵DFDE=CFAE，
∴△AED∽△CFD，
∴∠ADE=∠CDF=∠B，
∴DF∥BE，
∵AE=AF，AB=AC，
∴∠AEF=∠AFE，∠B=∠C，
∵2∠AEF+∠BAC=180∘，2∠B+∠BAC=180∘，
∴∠AEF=∠B，
∴EF∥BC，
∴ 四边形 EBDF 是平行四边形．
24. （1） 将直线 y=kxk≠0 沿着 y 轴向上平移 3 个单位长度，所得直线的解析式为 y=kx+3，
将点 B3,0 代入得：3k+3=0，解得 k=−1，
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−x+3．
令 x=0 得：y=3，
∴C0,3．
将 B3,0，C0,3 代入抛物线的解析式得：9+3b+c=0,c=3, 解得：b=−4，c=3，
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−4x+3．
（2） 如图 1 所示：过点 C 作 CE∥x 轴，过点 B 作 EF∥y 轴，过点 D 作 DF∥x 轴．
y=x2−4x+3=x−22−1．
∴D2,−1．
∴S△DBC=S四边形CEFG−S△CDG−S△BFD−S△BCE=12−12×2×4−12×1×1−12×3×3=3.
（3） 如图 2 所示：过点 F 作 FG⊥CD，垂足为 G．
∵C0,3，D2,−1，
∴CD=22+42=25．
∵tan∠OCD=tan∠GCF=12，
∴CG=2FG．
又 ∵∠GCF=45∘，∠FGD=90∘，
∴△FGD 为等腰直角三角形，
∴FG=GD．
∴CD=3FG，
∴FG=253．
∴CG=2FG=453．
∴ 在 Rt△CFG 中，依据勾股定理可知：CF=103．
∴OF=CF−OC=13．
∴F0,−13．
25. （1） 如图 1，过点 D 作 DG⊥BC 于 G，
∴ 易知，四边形 ABGD 是矩形，BG=AD=2，DG=AB=4，
∵BC=5，
∴CG=BC−BG=3，
在 Rt△CDG 中，根据勾股定理得，CD=5，
∵BM=10，
∴CM=BM−BC=5=BC=CD，
∴△BDM 是直角三角形，
∴BD⊥DM．
（2） 由（1）知，CD=5=BC，
∴∠BDC=∠DBC，
∵∠MDN=∠BDC，
∴∠DBC=∠MDN，
∵∠BMD=∠DMN，
∴△MDN∽△MBD，
∴DMBM=MNDM，
∴DM2=BM×MN．
在 Rt△DMG 中，根据勾股定理得，DM2=DG2+MG2=16+y−22，
∵MN=BM−BN=y−x，
∴16+y−22=yy−x，
∴y=204−x，
∵∠MDN=∠BDC，
∴∠BDN=∠CDM，
∵tan∠ABD=tan∠BDG=BGDG=12，tan∠CDG=CGDG=34，
∴∠CDG>∠BDG=∠ABD．
∵∠ADG=∠ADB+∠BDG=90∘，
当点 N 到点 G 时，∠CDG+∠CDM<∠ADB+∠BDN=90∘，
∵ 点 M 在 BC 上，
∴x<2，
∴0≤x<2．
（3） ∵△DMN 是等腰三角形，
∴ Ⅰ．当 DN=DM 时，此时点 N 在 CB 的延长线上，同（2）的方法得，y=20x+4. ⋯⋯①
∵DG⊥BC，DM=DN，
∴NG=GM，
∵NG=x+2，GM=y−2，
∴y−x=4, ⋯⋯②
联立 ①② 得，x=−4−25（舍）或 x=−4+25，
∴x=25−4；
Ⅱ．当 DM=MN 时，
∴∠MDN=∠DNM，
∵∠CBD=∠MDN，
∴∠CBD=∠DNM，
∴ 点 N 与点 B 重合，
∴BN=0，
Ⅲ．当 MN=DN 时，
∴∠MDN=∠DMN，
∵∠DBC=∠MDN，
∴∠DBC=∠DMN，
∴DM=BD，
在 Rt△ABD 中，根据勾股定理得，BD2=AD2+AB2=20，
∵DM2=16+BM−22，
∴20=16+BM−22，
∴BM=0（舍去）或 BM=4，
∴ 如图 2，点 M 在线段 BC 上，
同（2）的方法得，16+BM−22=BMBM−BN, ⋯⋯③
∵MN=BN+BM, ⋯⋯④
联立 ③④ 解得，BN=1．
即：BN=0或1或25−4．