2018年上海市松江区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2018年上海市松江区中考二模数学试卷（期中），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列根式中，与 3 是同类二次根式的为
A. 0.3B. 13C. 13D. 30

2. 下列计算正确的是
A. x2+x3=x5B. x2⋅x3=x5C. x23=x5D. x6÷x2=x3

3. 下面选项中既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 平行四边形D. 菱形

4. 关于反比例函数 y=2x，下列说法中错误的是
A. 它的图象是双曲线
B. 它的图象在第一、三象限
C. y 的值随 x 的值增大而减小
D. 若点 a,b 在它的图象上，则点 b,a 也在它的图象上

5. 将一组数据中的每一个数都加上 1 得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持不变的是
A. 方差B. 平均数C. 中位数D. 众数

6. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，⊙B 的半径为 1，已知 ⊙A 与直线 BC 相交，且与 ⊙B 没有公共点，那么 ⊙A 的半径可以是
A. 4B. 5C. 6D. 7

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 因式分解：a3−4a= ．

8. 方程 x+2=x 的根是 ．

9. 函数 y=x−32x 的定义域是 ．

10. 已知关于 x 的方程 x2−4x+m=0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是 ．

11. 把抛物线 y=−2x2 向左平移 1 个单位，则平移后抛物线的表达式为 ．

12. 函数 y=kx+b 的图象如图所示，则当 y<0 时，x 的取值范围是 ．

13. 一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的概率是 ．

14. 某区有 4000 名学生参加学业水平测试，从中随机抽取 500 名，对测试成绩进行了统计，统计结果见如表：
成绩xx<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x≤100人数155978140208
那么根据上述数据可以估计该区这次参加学业水平测试成绩小于 60 分的有 人．

15. 在 △ABC 中，点 M，N 分别在边 AB，AC 上，且 AM:MB=CN:NA=1:2，如果 AB=a，AC=b，那么 MN= （用 a，b 表示）．

16. 一个正 n 边形的一个内角等于它的中心角的 2 倍，则 n= ．

17. 平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y=ax2 上的两点 A，B 满足 OA=OB，且 tan∠OAB=12，则称线段 AB 为该抛物线的通径．那么抛物线 y=12x2 的通径长为 ．

18. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，AC=BC，∠ACB=45∘，将三角形 ABC 沿着 AC 翻折，点 B 落在点 E 处，连接 DE，那么 DEAC 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：30−1−3+13+2+8．

20. 解不等式组：2x−3
21. 如图，已知 △ABC 中，∠B=45∘，tanC=12，BC=6．
（1）求 △ABC 面积；
（2）AC 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 BC 于点 E．求 DE 的长．

22. 某条高速铁路全长 540 公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快 90 公里，因此全程少用 1 小时，求高铁列车全程的运行时间．

23. 如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠D=90∘，BE 平分 ∠ABC，交 CD 于点 E，F 是 AB 的中点，连接 AE，EF，且 AE⊥BE．求证：
（1）四边形 BCEF 是菱形；
（2）BE⋅AE=2AD⋅BC．

24. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C1,−1，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线 OP 交该抛物线对称轴于点 B，直线 CP 交 x 轴于点 A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果点 P 的横坐标为 m，试用 m 的代数式表示线段 BC 的长；
（3）如果 △ABP 的面积等于 △ABC 的面积，求点 P 坐标．

25. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=2，AC=3，以点 C 为圆心、 CB 为半径的圆交 AB 于点 D，过点 A 作 AE∥CD，交 BC 延长线于点 E．
（1）求 CE 的长；
（2）P 是 CE 延长线上一点，直线 AP，CD 交于点 Q．
①如果 △ACQ∽△CPQ，求 CP 的长；
②如果以点 A 为圆心，AQ 为半径的圆与 ⊙C 相切，求 CP 的长．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. D
4. C
5. A
6. D
第二部分
7. aa−2a+2
8. x=2
9. x≠0
10. m<4
11. y=−2x+12
12. x<−1
13. 12
14. 120
15. 23b−13a
16. 6
17. 2
18. 2−1
【解析】如图，设 AD 与 CE 交于点 F，
由折叠可得，∠ACE=∠ACB=45∘，而 ∠DAC=∠ACB=45∘，
∴∠AFC=90∘，∠EFD=90∘，AF=CF，
由折叠可得，CE=AD，
∴EF=DF，
∴△ACF 和 △DEF 都是等腰直角三角形，
设 EF=DF=1，则 DE=2，
设 AF=CF=x，则 AC=EC=1+x，
∵Rt△ACF 中，AF2+CF2=AC2，
∴x2+x2=x+12，解得 x=1+2 或 x=1−2（舍去），
∴AC=2+2，
∴DEAC=22+2=2−1．
第三部分
19. 原式=1+1−3+3−2+22=1+1−3+3−2+22=2+2.
20.
2x−3 解不等式 ① 得：
x<3.
解不等式 ② 得：
x≥−2.∴
不等式组的解集是
−2≤x<3.
在数轴上表示为
21. （1） 过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，
在 Rt△ABH 中，∠B=45∘，
设 AH=x，则 BH=x，
在 Rt△AHC 中，tanC=AHHC=12，
∴HC=2x，
∵BC=6，
∴x+2x=6，解得：x=2，
∴AH=2，
∴S△ABC=12⋅BC⋅AH=6．
（2） 由（1）得 AH=2，CH=4，
在 Rt△AHC 中，AC=AH2+HC2=25，
∵DE 垂直平分 AC，
∴CD=12AC=5，
∵ED⊥AC，
∴ 在 Rt△EDC 中，tanC=EDCD=12，
∴DE=52．
22. 设高铁列车全程的运行时间为 x 小时，则动车组列车全程的运行时间为 x+1 小时，
根据题意得：
540x−540x+1=90.
解得：
x1=2,x2=−3.
经检验，它们都是原方程的根，但 x=−3 不符合题意．
答：高铁列车全程的运行时间为 2 小时．
23. （1） ∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90∘．
∵F 是 AB 的中点，
∴EF=BF=12AB，
∴∠FEB=∠FBE=∠CBE，
∴EF∥BC．
∵AB∥CD，
∴ 四边形 BCEF 是平行四边形．
∵EF=BF，
∴ 四边形 BCEF 是菱形．
（2） ∵ 四边形 BCEF 是菱形，
∴BC=BF．
∵BF=12AB，
∴AB=2BC．
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB．
∵∠D=∠AEB=90∘，
∴△EDA∽△AEB，
∴ADBE=AEBA，
∴BE⋅AE=AD⋅BA，
∴BE⋅AE=2AD⋅BC．
24. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C1,−1，
∴a+b=−1,−b2a=1,
解得：a=1,b=−2,
∴ 抛物线的表达式为：y=x2−2x．
（2） ∵ 点 P 的横坐标为 m，
∴ 点 P 的纵坐标为：m2−2m，
令 BC 与 x 轴交点为 M，过点 P 作 PN⊥x 轴，垂足为点 N，
∵P 是抛物线上位于第一象限内的一点，
∴PN=m2−2m，ON=m，OM=1，
由 PNON=BMOM，得 m2−2mm=MB1，
∴BM=m−2，
∵ 点 C 的坐标为 1,−1，
∴BC=m−2+1=m−1．
（3） 令 Pt,t2−2t，
∵△ABP 的面积等于 △ABC 的面积，
∴AC=AP，
过点 P 作 PQ⊥BC 交 BC 于点 Q，
∴CM=MQ=1，可得 t2−2t=1，
解得：t=1+2（t=1−2 舍去），
∴P 的坐标为 1+2,1．
25. （1） ∵AE∥CD，
∴BCBE=DCAE，
∵BC=DC，
∴BE=AE，
设 CE=x，则 AE=BE=x+2，
∵∠ACB=90∘，
∴AC2+CE2=AE2，即 32+x2=x+22，
∴x=54，即 CE=54．
（2） ① ∵△ACQ∽△CPQ，∠QAC>∠P，
∴∠ACQ=∠P，
又 ∵AE∥CD，
∴∠ACQ=∠CAE，
∴∠CAE=∠P，
∴△ACE∽△PCA，
∴AC2=CE⋅CP，即 32=54CP，
∴CP=365；
②设 CP=t，则 PE=t−54，
∵∠ACB=90∘，
∴AP=9+t2，
∵AE∥CD，
∴AQAP=ECEP，即 AQt2+9=54t−54=54t−5，
∴AQ=5t2+94t−5，
若两圆外切，那么 AQ=5t2+94t−5=1，此时方程无实数解；
若两圆内切，那么 AQ=5t2+94t−5=5，
∴15t2−40t+16=0，解之得 t=20±41015，
又 ∵t>54，
∴t=20+41015．