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2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市南岗区哈工大附中七下期中数学试卷
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这是一份2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市南岗区哈工大附中七下期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列方程组中，属于二元一次方程组的是
A. x+y=−3,x+z=−1B. x+y=3,y=2C. x+y=3,x2−y=−3D. x+y=3,xy=−2
2. 若关于 x 的不等式组的解在数轴上如图所示，则这个不等式组的解是
A. x≤2B. x>1C. 1≤x<2D. 1
3. 下面四个图形中，线段 BD 是 △ABC 的高的图形是
A. B.
C. D.
4. 如图，三角形 ABC 中，D 为 BC 上的一点，且 S△ABD=S△ADC，则 AD 为
A. 高B. 角平分线C. 中线D. 不能确定
5. 如图，AE 是 △ABC 的角平分线，AD⊥BC 于点 D，若 ∠BAC=76∘，∠C=64∘，则 ∠DAE 的度数是
A. 10∘B. 12∘C. 15∘D. 18∘
6. 如图，已知点 A，D，C，F 在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使 △ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是
A. ∠BCA=∠FB. ∠B=∠EC. BC∥EFD. ∠A=∠EDF
7. 如图，在 △ABC 和 △CDE 中，若 ∠ACB=∠CED=90∘，AB=CD，BC=DE，则下列结论中不正确的是
A. △ABC≌△CDEB. CE=AC
C. AB⊥CDD. E 为 BC 的中点
8. 如图，在三角形模板 ABC 中，∠A=60∘，D，E 分别为 AB，AC 上的点，则 ∠1+∠2 的度数为
A. 180∘B. 200∘C. 220∘D. 240∘
9. 若从一多边形的一个顶点出发，最多可引 10 条对角线，则它是
A. 十三边形B. 十二边形C. 十一边形D. 十边形
10. 如图，BE 和 CE 分别为 △ABC 的内角平分线和外角平分线，BE⊥AC 于点 H，CF 平分 ∠ACB 交 BE 于点 F，连接 AE．则下列结论：
① ∠ECF=90∘；
② AE=CE；
③ ∠BFC=90∘+12∠BAC；
④ ∠BAC=2∠BEC；
⑤ ∠AEH=∠BCF，
正确的个数为
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个
二、填空题（共10小题；共50分）
11. 已知 x=1,y=2 是关于 x，y 的二元一次方程 3mx−2y−1=0 的解，则 m= ．
12. 不等式 2x−1>3 的解集为 ．
13. A，B 两个码头相距 140 千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了 7 小时，逆流用了 10 小时，则这艘轮船在静水中的速度是每小时 千米．
14. 把一些书分给几名同学，如果每人分 3 本，那么余 8 本，如果前面的每名同学分 5 本，那么最后一人分不到 3 本，那么这些书共有 本．
15. 如图，在 △ABC 中，点 D 在 AC 上，点 E 在 BD 上，若 ∠A=70∘，∠ABD=22∘，∠DCE=25∘，则 ∠BEC 的度数为 ．
16. 一个多边形的内角和是 1440∘，则这个多边形是 边形．
17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，BE⊥CE 于点 E，AD⊥CE 于点 D，若 AD=8 cm，BE=3 cm，则 DE= cm．
18. 如图，在 △ABC 中，AD 为 ∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，若 △ABC 的面积为 21 cm2，AB=8 cm，AC=6 cm，则 DE 的长为 cm．
19. 已知 △ABC 中，∠B=40∘，AD 是 △ABC 的高，且 ∠CAD=10∘，则 ∠BAC 的度数为 ．
20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，CH 为 △ABC 斜边上的中线，点 F 为 CH 上一点，连接 BF 并延长交 AC 于点 D，过点 A 作 AE⊥AC，连接 CE 和 DE，若 ∠ACE=2∠ABF，CE=13，CD=8，则 △CDE 的面积为 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
21. 解方程组及不等式组．
（1）2x+y=−5,4x+3y=−7;
（2）2x−1>x+1,x+8<4x−1.
22. 正方形网格中，小格的顶点叫做格点．小华按下列要求作图：
①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；
②连接三个格点，使之构成直角三角形．
小华在左边的正方形网格中作出了 Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．
23. 某校学生会向全校 1900 名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）求本次接受随机抽样调查的学生人数及图①中 m 的值；
（2）本次调查获取的样本数据的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数．
24. 如图，在 △ABC 中，BD，CE 分别是 AC，AB 边上的高，在 BD 上截取 BF=AC，延长 CE 至点 G 使 CG=AB，连接 AF，AG．
（1）如图 1，求证：AG=AF；
（2）如图 2，若 BD 恰好平分 ∠ABC，过点 G 作 GH⊥AC 交 CA 的延长线于点 H，请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．
25. “双 11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌 A，B 两款羽绒服来销售，若购买 3 件 A，4 件 B 需支付 2400 元，若购买 2 件 A，2 件 B，则需支付 1400 元．
（1）求 A，B 两款羽绒服在网上的售价分别是多少元?
（2）若个体户从淘宝网上购买 A，B 两款羽绒服各 10 件，均按每件 600 元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部 6 折销售完，若总获利不低于 3800 元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件?
26. 如图，在 △ABC 中，点 E 和点 F 在边 BC 上，连接 AE，AF，使得 ∠EAC=∠ECA，∠BAE=2∠CAF．
（1）如图 1，求证：∠BAF=∠BFA；
（2）如图 2，在过点 C 且与 AE 平行的射线上取一点 D，连接 DE，若 ∠AED=∠B，求证：BE=CD；
27. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，点 Ba,0，点 C0,b 分别在 x 轴，y 轴上，其中 a，b 是二元一次方程 5a−3b=4 的解，且 a 为不等式 3a−13≤2a+13 的最大整数解．
（1）证明：OB=OC；
（2）如图 1，连接 AB，过点 A 作 AD⊥AB 交 y 轴于点 D，在射线 AD 上截取 AE=AB，连接 CE，取 CE 的中点 F，连接 AF 并延长至点 G，使 FG=AF，连接 CG，OA．当点 A 在第一象限内运动（AD 不经过点 C）时，证明：∠OAF 的大小不变．
答案
第一部分
1. B【解析】A．x+y=−3,x+z=−1, 方程组中有三个未知数，不是二元一次方程组；
B．x+y=3,y=2 是二元一次方程组；
C．x+y=3,x2−y=−3, 方程组中未知数的最高次是 2，不是二元一次方程组；
D．x+y=3,xy=−2, 方程组中 xy=−2 不是二元一次方程，
∴ 原方程组不是二元一次方程组．
2. D【解析】在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
因此，这个不等式组的解是 13. D【解析】由图可得，线段 BE 是 △ABC 的高的图是D选项．
4. C【解析】设 BC 边上的高为 h，
∵S△ABD=S△ADC，
∴12×h×BD=12×h×CD，
故 BD=CD，即 AD 是中线．
5. B
【解析】∵AD⊥BC，∠C=64∘，
∴∠CAD=90∘−64∘=26∘，
∵AE 是 △ABC 的角平分线，∠BAC=76∘，
∴∠CAE=12∠BAC=12×76∘=38∘，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=38∘−26∘=12∘．
6. B【解析】A．根据 AB=DE，BC=EF 和 ∠BCA=∠F 不能推出 △ABC≌△DEF，故本选项错误；
B．∵ 在 △ABC 和 △DEF 中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△DEFSAS，故本选项正确；
C．∵BC∥EF，
∴∠F=∠BCA，
根据 AB=DE，BC=EF 和 ∠F=∠BCA 不能推出 △ABC≌△DEF，故本选项错误；
D．根据 AB=DE，BC=EF 和 ∠A=∠EDF 不能推出 △ABC≌△DEF，故本选项错误．
7. D【解析】在 Rt△ABC 和 Rt△CDE 中，
AB=CD,BC=DE,
∴△ABC≌△CDE，
∴CE=AC，∠D=∠B，
∵∠D+∠DCE=90∘，
∴∠B+∠DCE=90∘，
∴CD⊥AB．
D：E 为 BC 的中点无法证明，故A，B，C正确．
8. D【解析】∵∠A=60∘，
∴∠B+∠C=180∘−∠A=120∘，
∴∠1+∠2=360∘−∠B−∠C=360∘−120∘=240∘．
9. A【解析】设这个多边形是 n 边形．依题意，得 n−3=10，
∴n=13，故这个多边形是 13 边形．
10. D
【解析】∵AE 平分 ∠ACD，CF 平分 ∠ACB，
∴∠ACE=∠ECD=12∠ACD，∠ACF=∠BCF=12∠ACB，
∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=12∠ACB+12∠ACD=12∠ACB+∠ACD=12×180∘=90∘,
故①正确；
∵BE 平分 ∠ABC，BE⊥AC 于点 H，
∴∠ABH=∠HBC，∠AHB=∠CHB=90∘，
∴△ABH≌△HBCASA，
∴AH=CH，
∵∠AHE=∠CHE=90∘，HE=HE，
∴△AHE≌△CHESAS，
∴AE=CE，故②正确；
∵BE 平分 ∠ABC，CF 平分 ∠ACB，
∴∠ABH=∠HBC=12∠ABC，∠ACF=∠BCF=12∠ACB，
又 ∵∠BFC=∠FHC+∠ACF=∠ABH+∠BAC+∠ACF，即有：
∠BFC=12∠ABC+∠BAC+12∠ACB=12∠ABC+∠ACB+∠BAC=12180∘+∠BAC+∠BAC=90∘+12∠BAC,
故③正确；
∵∠FCH+∠HCE=90∘，∠HEC+∠HCE=90∘，
∴∠FCH=∠HEC，
又 ∵△ABH≌△HBC，CF 平分 ∠ACB，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=2∠FCH=2∠HEC，即 ∠BAC=2∠BEC，故④正确；
∵△AHE≌△CHE，CF 平分 ∠ACB，
∴∠AHE=∠HEC，∠BCF=∠FCH，∠FCH=∠HEC，
∴∠AEH=∠BCF，故⑤正确；
综上所述，正确的有：①②③④⑤，共 5 个．
第二部分
11. 53
【解析】把 x=1,y=2 代入二元一次方程 3mx−2y−1=0，
得：3m−2×2−1=0，解得：m=53．
12. x>2
【解析】移项得：2x>3+1．
合并同类项得：2x>4．
不等式的两边都除以 2 得 x>2．
∴ 不等式 2x−1>3 的解集为 x>2．
13. 17
【解析】设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为 x 千米/小时，y 千米/小时，
依题意得 7x+7y=140,10x−10y=140, 解之得：x=17,y=3.
∴ 这艘船在静水中的速度和水流速度分别为 17 千米/小时，3 千米/小时．
14. 26
【解析】设共有 x 名学生，则图书共有 3x+8 本．
由题意得 0<3x+8−5x−1<3，解得 5 ∵x 为非负整数，
∴x=6．
∴ 书的数量为 3×6+8=26．
15. 117∘
【解析】在 △ABD 中，∠A=70∘，∠ABD=22∘，
∴∠CDE=∠A+∠ABD=70∘+22∘=92∘，
∴∠BEC=∠DCE+∠CDE=25∘+92∘=117∘．
16. 十
【解析】∵n 边形的内角和为 n−2×180∘，
∴n−2×180∘=1440，n−2=8，n=10．
17. 4
【解析】∵∠ACB=90∘，BE⊥CE 于点 E，AD⊥CE 于点 D，
∴∠ACD+∠BCE=90∘，∠ACD+∠CAD=90∘．
∴∠CAD=∠BCE．
在 △CDA 和 △BEC 中，
∠CDA=∠BEC=90∘,∠CAD=∠BCE,AC=BC,
∴△CDA≌△BECAAS，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE−CD，
∴DE=AD−BE，
∵AD=7 cm，BE=3 cm，
∴DE=7 cm−3 cm=4 cm．
18. 3
【解析】∵AD 为 ∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
△ABC 面积 =12×AB⋅DE+12×AC⋅DF=21，
即 12×8DE+12×6DE=21，解得 DE=3．
19. 40∘ 或 60∘
【解析】∵∠D=90∘，∠B=40∘，
∴∠BAD=50∘，
∵∠CAD=10∘．
当 △ABC 如图一所示时：
∠BAC=∠BAD+∠CAD=50∘+10∘=60∘；
当 △ABC 如图二所示时：
∠BAC=∠BAD−∠CAD=50∘−10∘=40∘．
20. 20
【解析】如图示：延长 BD 交 CE 于 G 点，作 AK⊥GD 交 CE 于 K，交 GD 于 O．
设 ∠ABF=α，则 ∠ACE=2α．
∵∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠ABC=45∘．
∴∠CBG=∠CBA−∠ABF=45∘−α，∠BCG=∠ACB+∠ACE=90∘+2α．
∴∠CGB=180∘−∠BCG−∠CBG=180∘−90∘+2α−45∘−α=45∘−α.
∴∠CBG=∠CGB．
∴CG=CB=CA．
在 Rt△ADO 和 Rt△BDC 中，
∠ADO=∠BDC,∠AOD=∠BCD=90∘,
∴∠DAO=∠DBC，则有 ∠CAK=∠CGD．
在 △CAK 和 △CGD 中，
∠CAK=∠CGD,CA=CG,∠ACK=∠GCD,
∴△CAK≌△CGDASA．
∴CK=CD，∠CKA=∠CDG=∠DCB+∠CBD=90∘+45∘−α=135∘−α．
∴∠EKA=180∘−∠CKA=180∘−135∘−α=45∘+α．
又 ∵∠EAK=∠EAC−∠CAK=90∘−45∘−α=45∘+α，
即有 EK=EA，
∴EA=EK=CE−CK=CE−CD=13−8=5．
∴S△CDE=12CD⋅EA=12×8×5=20．
第三部分
21. （1）
2x+y=−5, ⋯⋯①4x+3y=−7. ⋯⋯②
将 ①×2 得：
4x+2y=−10. ⋯⋯③
将 ②−③ 得：
y=3.
把 y=3 代入 ① 得：
2x+3=−5.
解之得：
x=−4.∴
方程组的解是
x=−4,y=3.
（2）
2x−1>x+1, ⋯⋯①x+8<4x−1. ⋯⋯②
由 ① 得：
x>2.
由 ② 得：
x>3.∴
不等式组的解集是
x>3.
22. 画图如下：
易得图 1 三边长为 10，10，20=25，符合两边和的平方等于第三边的平方；
图 2 中三边长分别为 2，18=32，20=25，符合两边和的平方等于第三边的平方；
第三个图中，三边长分别为 8=22，8=22，16=4，符合两边和的平方等于第三边的平方．
23. （1） 本次接受随机抽样调查的学生人数为 4÷8%=50 人．
∵1650×100%=32%，
∴m=32．
（2） 16；10；15
【解析】15 元的人数为 50×24%=12，
本次调查获取的样本数据的平均数是：150×4×5+16×10+12×15+10×20+8×30=16（元）；
本次调查获取的样本数据的众数是：10 元；
本次调查获取的样本数据的中位数是：15 元．
（3） 估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数为 1900×32%=608 人．
24. （1） ∵BD，CE 分别是 AC，AB 两条边上的高，
∴∠ADB=∠AEC=90∘．
∴∠ABD+∠BAD=∠ACE+∠CAE=90∘．
∴∠ABD=∠ACG．
在 △AGC 与 △FAB 中，
CA=BF,∠GCA=∠ABF,GC=AB,
∴△AGC≌△FABSAS．
∴AG=AF．
（2） 全等三角形有 △ABD≌△CBD，△AGC≌△FAB，△HGA≌△DAF．
【解析】∵BD 平分 ∠ABC，BD 是 AC 边上的高，
则 BD 为 △ABC 中三线合一的线，
即 △ABC 为等腰三角形，BD 为 △ABC 的对称轴．
根据对称性，有 △ABD≌△CBD．
∵△AGC≌△FAB，
∴AG=AF，∠G=∠BAF，
∵∠G+∠GAE=90∘，
∴∠BAF+∠GAE=90∘，
∴∠GAF=90∘，
∴∠HAG+∠FAD=90∘，
∵GH⊥AC，
∴∠HAG+∠HGA=90∘．
∴∠HGA=∠DAF．
在 △HGA 与 △DAF 中，
∠GHA=∠ADF=90∘,∠HGA=∠DAF,GA=AF,
∴△HGA≌△DAFAAS．
综上所述，全等三角形有 △ABD≌△CBD，△AGC≌△FAB，△HGA≌△DAF．
25. （1） 设 A 款 a 元，B 款 b 元，可得：
3a+4b=2400,2a+2b=1400,
解得：
a=400,b=300,
答：A 款 400 元，B 款 300 元．
（2） 设让利的羽绒服有 x 件，则已售出的有 20−x 件．
60020−x+600×60%x−400×10−30×10≥3800.
解得
x≤5.
答：最多让利 5 件．
26. （1） 设 ∠CAF=α，则 ∠BAE=2α．
∴∠EAF=∠EAC−α，∠EFA=∠ECA+α=∠EAC+α，
∠BAF=∠EAF+2α=∠EAC−α+2α=∠EAC+α．
∴∠BAF=∠BFA．
（2） AE∥CD，∠EAC=∠ECA．
∴∠AED=∠D，∠AEB=∠DCE，AE=EC．
又 ∵∠AED=∠B，
∴∠D=∠B．
∴△AEB=△ECDAAS．
∴BE=DC．
27. （1） 解不等式 3a−13≤2a+13 得 a≤2．
∵a 为不等式 3a−13≤2a+13 的最大整数解，
∴a=2．
将 a=2 代入方程 5a−3b=4 得 b=2．
∴a=b．
∴OB=OC．
（2） 连接 GO．
∵F 为 CE 中点，
∴CF=EF．
在 △GCF 和 △AEF 中，
CF=EF,∠CFG=∠FEA,FG=FA,
∴△GCF≌△AEFSAS，
∴CG=EA，∠GCF=∠AEF，
∴GC∥AD，
∴∠GCD=∠CDA，
∵AB=AE，
∴GC=AB，
∵AD⊥AB，OB⊥OC，
∴∠COB=∠BAD=90∘，
∴∠ABO+∠ADO=180∘，
∵∠ADO+∠ADC=180∘，
∴∠ADC=∠ABO，
∵∠GCD=∠CDA，
∴∠GCD=∠ABO，
在 △GCO 和 △ABO 中，
GC=AB,∠GCO=∠ABO,OC=OB,
∴△GCO≌△ABOSAS，
∴GO=AO，∠GOC=∠AOB，
∵∠AOB+∠AOC=90∘，
∴∠GOC+∠AOC=90∘，
∴△GAO 为等腰直角三角形，
∴∠OAF=45∘，即 ∠OAF 的大小不变．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列方程组中，属于二元一次方程组的是
A. x+y=−3,x+z=−1B. x+y=3,y=2C. x+y=3,x2−y=−3D. x+y=3,xy=−2
2. 若关于 x 的不等式组的解在数轴上如图所示，则这个不等式组的解是
A. x≤2B. x>1C. 1≤x<2D. 1
3. 下面四个图形中，线段 BD 是 △ABC 的高的图形是
A. B.
C. D.
4. 如图，三角形 ABC 中，D 为 BC 上的一点，且 S△ABD=S△ADC，则 AD 为
A. 高B. 角平分线C. 中线D. 不能确定
5. 如图，AE 是 △ABC 的角平分线，AD⊥BC 于点 D，若 ∠BAC=76∘，∠C=64∘，则 ∠DAE 的度数是
A. 10∘B. 12∘C. 15∘D. 18∘
6. 如图，已知点 A，D，C，F 在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使 △ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是
A. ∠BCA=∠FB. ∠B=∠EC. BC∥EFD. ∠A=∠EDF
7. 如图，在 △ABC 和 △CDE 中，若 ∠ACB=∠CED=90∘，AB=CD，BC=DE，则下列结论中不正确的是
A. △ABC≌△CDEB. CE=AC
C. AB⊥CDD. E 为 BC 的中点
8. 如图，在三角形模板 ABC 中，∠A=60∘，D，E 分别为 AB，AC 上的点，则 ∠1+∠2 的度数为
A. 180∘B. 200∘C. 220∘D. 240∘
9. 若从一多边形的一个顶点出发，最多可引 10 条对角线，则它是
A. 十三边形B. 十二边形C. 十一边形D. 十边形
10. 如图，BE 和 CE 分别为 △ABC 的内角平分线和外角平分线，BE⊥AC 于点 H，CF 平分 ∠ACB 交 BE 于点 F，连接 AE．则下列结论：
① ∠ECF=90∘；
② AE=CE；
③ ∠BFC=90∘+12∠BAC；
④ ∠BAC=2∠BEC；
⑤ ∠AEH=∠BCF，
正确的个数为
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个
二、填空题（共10小题；共50分）
11. 已知 x=1,y=2 是关于 x，y 的二元一次方程 3mx−2y−1=0 的解，则 m= ．
12. 不等式 2x−1>3 的解集为 ．
13. A，B 两个码头相距 140 千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了 7 小时，逆流用了 10 小时，则这艘轮船在静水中的速度是每小时 千米．
14. 把一些书分给几名同学，如果每人分 3 本，那么余 8 本，如果前面的每名同学分 5 本，那么最后一人分不到 3 本，那么这些书共有 本．
15. 如图，在 △ABC 中，点 D 在 AC 上，点 E 在 BD 上，若 ∠A=70∘，∠ABD=22∘，∠DCE=25∘，则 ∠BEC 的度数为 ．
16. 一个多边形的内角和是 1440∘，则这个多边形是 边形．
17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，BE⊥CE 于点 E，AD⊥CE 于点 D，若 AD=8 cm，BE=3 cm，则 DE= cm．
18. 如图，在 △ABC 中，AD 为 ∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，若 △ABC 的面积为 21 cm2，AB=8 cm，AC=6 cm，则 DE 的长为 cm．
19. 已知 △ABC 中，∠B=40∘，AD 是 △ABC 的高，且 ∠CAD=10∘，则 ∠BAC 的度数为 ．
20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，CH 为 △ABC 斜边上的中线，点 F 为 CH 上一点，连接 BF 并延长交 AC 于点 D，过点 A 作 AE⊥AC，连接 CE 和 DE，若 ∠ACE=2∠ABF，CE=13，CD=8，则 △CDE 的面积为 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
21. 解方程组及不等式组．
（1）2x+y=−5,4x+3y=−7;
（2）2x−1>x+1,x+8<4x−1.
22. 正方形网格中，小格的顶点叫做格点．小华按下列要求作图：
①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；
②连接三个格点，使之构成直角三角形．
小华在左边的正方形网格中作出了 Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．
23. 某校学生会向全校 1900 名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）求本次接受随机抽样调查的学生人数及图①中 m 的值；
（2）本次调查获取的样本数据的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数．
24. 如图，在 △ABC 中，BD，CE 分别是 AC，AB 边上的高，在 BD 上截取 BF=AC，延长 CE 至点 G 使 CG=AB，连接 AF，AG．
（1）如图 1，求证：AG=AF；
（2）如图 2，若 BD 恰好平分 ∠ABC，过点 G 作 GH⊥AC 交 CA 的延长线于点 H，请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．
25. “双 11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌 A，B 两款羽绒服来销售，若购买 3 件 A，4 件 B 需支付 2400 元，若购买 2 件 A，2 件 B，则需支付 1400 元．
（1）求 A，B 两款羽绒服在网上的售价分别是多少元?
（2）若个体户从淘宝网上购买 A，B 两款羽绒服各 10 件，均按每件 600 元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部 6 折销售完，若总获利不低于 3800 元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件?
26. 如图，在 △ABC 中，点 E 和点 F 在边 BC 上，连接 AE，AF，使得 ∠EAC=∠ECA，∠BAE=2∠CAF．
（1）如图 1，求证：∠BAF=∠BFA；
（2）如图 2，在过点 C 且与 AE 平行的射线上取一点 D，连接 DE，若 ∠AED=∠B，求证：BE=CD；
27. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，点 Ba,0，点 C0,b 分别在 x 轴，y 轴上，其中 a，b 是二元一次方程 5a−3b=4 的解，且 a 为不等式 3a−13≤2a+13 的最大整数解．
（1）证明：OB=OC；
（2）如图 1，连接 AB，过点 A 作 AD⊥AB 交 y 轴于点 D，在射线 AD 上截取 AE=AB，连接 CE，取 CE 的中点 F，连接 AF 并延长至点 G，使 FG=AF，连接 CG，OA．当点 A 在第一象限内运动（AD 不经过点 C）时，证明：∠OAF 的大小不变．
答案
第一部分
1. B【解析】A．x+y=−3,x+z=−1, 方程组中有三个未知数，不是二元一次方程组；
B．x+y=3,y=2 是二元一次方程组；
C．x+y=3,x2−y=−3, 方程组中未知数的最高次是 2，不是二元一次方程组；
D．x+y=3,xy=−2, 方程组中 xy=−2 不是二元一次方程，
∴ 原方程组不是二元一次方程组．
2. D【解析】在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
因此，这个不等式组的解是 1
4. C【解析】设 BC 边上的高为 h，
∵S△ABD=S△ADC，
∴12×h×BD=12×h×CD，
故 BD=CD，即 AD 是中线．
5. B
【解析】∵AD⊥BC，∠C=64∘，
∴∠CAD=90∘−64∘=26∘，
∵AE 是 △ABC 的角平分线，∠BAC=76∘，
∴∠CAE=12∠BAC=12×76∘=38∘，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=38∘−26∘=12∘．
6. B【解析】A．根据 AB=DE，BC=EF 和 ∠BCA=∠F 不能推出 △ABC≌△DEF，故本选项错误；
B．∵ 在 △ABC 和 △DEF 中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△DEFSAS，故本选项正确；
C．∵BC∥EF，
∴∠F=∠BCA，
根据 AB=DE，BC=EF 和 ∠F=∠BCA 不能推出 △ABC≌△DEF，故本选项错误；
D．根据 AB=DE，BC=EF 和 ∠A=∠EDF 不能推出 △ABC≌△DEF，故本选项错误．
7. D【解析】在 Rt△ABC 和 Rt△CDE 中，
AB=CD,BC=DE,
∴△ABC≌△CDE，
∴CE=AC，∠D=∠B，
∵∠D+∠DCE=90∘，
∴∠B+∠DCE=90∘，
∴CD⊥AB．
D：E 为 BC 的中点无法证明，故A，B，C正确．
8. D【解析】∵∠A=60∘，
∴∠B+∠C=180∘−∠A=120∘，
∴∠1+∠2=360∘−∠B−∠C=360∘−120∘=240∘．
9. A【解析】设这个多边形是 n 边形．依题意，得 n−3=10，
∴n=13，故这个多边形是 13 边形．
10. D
【解析】∵AE 平分 ∠ACD，CF 平分 ∠ACB，
∴∠ACE=∠ECD=12∠ACD，∠ACF=∠BCF=12∠ACB，
∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=12∠ACB+12∠ACD=12∠ACB+∠ACD=12×180∘=90∘,
故①正确；
∵BE 平分 ∠ABC，BE⊥AC 于点 H，
∴∠ABH=∠HBC，∠AHB=∠CHB=90∘，
∴△ABH≌△HBCASA，
∴AH=CH，
∵∠AHE=∠CHE=90∘，HE=HE，
∴△AHE≌△CHESAS，
∴AE=CE，故②正确；
∵BE 平分 ∠ABC，CF 平分 ∠ACB，
∴∠ABH=∠HBC=12∠ABC，∠ACF=∠BCF=12∠ACB，
又 ∵∠BFC=∠FHC+∠ACF=∠ABH+∠BAC+∠ACF，即有：
∠BFC=12∠ABC+∠BAC+12∠ACB=12∠ABC+∠ACB+∠BAC=12180∘+∠BAC+∠BAC=90∘+12∠BAC,
故③正确；
∵∠FCH+∠HCE=90∘，∠HEC+∠HCE=90∘，
∴∠FCH=∠HEC，
又 ∵△ABH≌△HBC，CF 平分 ∠ACB，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=2∠FCH=2∠HEC，即 ∠BAC=2∠BEC，故④正确；
∵△AHE≌△CHE，CF 平分 ∠ACB，
∴∠AHE=∠HEC，∠BCF=∠FCH，∠FCH=∠HEC，
∴∠AEH=∠BCF，故⑤正确；
综上所述，正确的有：①②③④⑤，共 5 个．
第二部分
11. 53
【解析】把 x=1,y=2 代入二元一次方程 3mx−2y−1=0，
得：3m−2×2−1=0，解得：m=53．
12. x>2
【解析】移项得：2x>3+1．
合并同类项得：2x>4．
不等式的两边都除以 2 得 x>2．
∴ 不等式 2x−1>3 的解集为 x>2．
13. 17
【解析】设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为 x 千米/小时，y 千米/小时，
依题意得 7x+7y=140,10x−10y=140, 解之得：x=17,y=3.
∴ 这艘船在静水中的速度和水流速度分别为 17 千米/小时，3 千米/小时．
14. 26
【解析】设共有 x 名学生，则图书共有 3x+8 本．
由题意得 0<3x+8−5x−1<3，解得 5
∴x=6．
∴ 书的数量为 3×6+8=26．
15. 117∘
【解析】在 △ABD 中，∠A=70∘，∠ABD=22∘，
∴∠CDE=∠A+∠ABD=70∘+22∘=92∘，
∴∠BEC=∠DCE+∠CDE=25∘+92∘=117∘．
16. 十
【解析】∵n 边形的内角和为 n−2×180∘，
∴n−2×180∘=1440，n−2=8，n=10．
17. 4
【解析】∵∠ACB=90∘，BE⊥CE 于点 E，AD⊥CE 于点 D，
∴∠ACD+∠BCE=90∘，∠ACD+∠CAD=90∘．
∴∠CAD=∠BCE．
在 △CDA 和 △BEC 中，
∠CDA=∠BEC=90∘,∠CAD=∠BCE,AC=BC,
∴△CDA≌△BECAAS，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE−CD，
∴DE=AD−BE，
∵AD=7 cm，BE=3 cm，
∴DE=7 cm−3 cm=4 cm．
18. 3
【解析】∵AD 为 ∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
△ABC 面积 =12×AB⋅DE+12×AC⋅DF=21，
即 12×8DE+12×6DE=21，解得 DE=3．
19. 40∘ 或 60∘
【解析】∵∠D=90∘，∠B=40∘，
∴∠BAD=50∘，
∵∠CAD=10∘．
当 △ABC 如图一所示时：
∠BAC=∠BAD+∠CAD=50∘+10∘=60∘；
当 △ABC 如图二所示时：
∠BAC=∠BAD−∠CAD=50∘−10∘=40∘．
20. 20
【解析】如图示：延长 BD 交 CE 于 G 点，作 AK⊥GD 交 CE 于 K，交 GD 于 O．
设 ∠ABF=α，则 ∠ACE=2α．
∵∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠ABC=45∘．
∴∠CBG=∠CBA−∠ABF=45∘−α，∠BCG=∠ACB+∠ACE=90∘+2α．
∴∠CGB=180∘−∠BCG−∠CBG=180∘−90∘+2α−45∘−α=45∘−α.
∴∠CBG=∠CGB．
∴CG=CB=CA．
在 Rt△ADO 和 Rt△BDC 中，
∠ADO=∠BDC,∠AOD=∠BCD=90∘,
∴∠DAO=∠DBC，则有 ∠CAK=∠CGD．
在 △CAK 和 △CGD 中，
∠CAK=∠CGD,CA=CG,∠ACK=∠GCD,
∴△CAK≌△CGDASA．
∴CK=CD，∠CKA=∠CDG=∠DCB+∠CBD=90∘+45∘−α=135∘−α．
∴∠EKA=180∘−∠CKA=180∘−135∘−α=45∘+α．
又 ∵∠EAK=∠EAC−∠CAK=90∘−45∘−α=45∘+α，
即有 EK=EA，
∴EA=EK=CE−CK=CE−CD=13−8=5．
∴S△CDE=12CD⋅EA=12×8×5=20．
第三部分
21. （1）
2x+y=−5, ⋯⋯①4x+3y=−7. ⋯⋯②
将 ①×2 得：
4x+2y=−10. ⋯⋯③
将 ②−③ 得：
y=3.
把 y=3 代入 ① 得：
2x+3=−5.
解之得：
x=−4.∴
方程组的解是
x=−4,y=3.
（2）
2x−1>x+1, ⋯⋯①x+8<4x−1. ⋯⋯②
由 ① 得：
x>2.
由 ② 得：
x>3.∴
不等式组的解集是
x>3.
22. 画图如下：
易得图 1 三边长为 10，10，20=25，符合两边和的平方等于第三边的平方；
图 2 中三边长分别为 2，18=32，20=25，符合两边和的平方等于第三边的平方；
第三个图中，三边长分别为 8=22，8=22，16=4，符合两边和的平方等于第三边的平方．
23. （1） 本次接受随机抽样调查的学生人数为 4÷8%=50 人．
∵1650×100%=32%，
∴m=32．
（2） 16；10；15
【解析】15 元的人数为 50×24%=12，
本次调查获取的样本数据的平均数是：150×4×5+16×10+12×15+10×20+8×30=16（元）；
本次调查获取的样本数据的众数是：10 元；
本次调查获取的样本数据的中位数是：15 元．
（3） 估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数为 1900×32%=608 人．
24. （1） ∵BD，CE 分别是 AC，AB 两条边上的高，
∴∠ADB=∠AEC=90∘．
∴∠ABD+∠BAD=∠ACE+∠CAE=90∘．
∴∠ABD=∠ACG．
在 △AGC 与 △FAB 中，
CA=BF,∠GCA=∠ABF,GC=AB,
∴△AGC≌△FABSAS．
∴AG=AF．
（2） 全等三角形有 △ABD≌△CBD，△AGC≌△FAB，△HGA≌△DAF．
【解析】∵BD 平分 ∠ABC，BD 是 AC 边上的高，
则 BD 为 △ABC 中三线合一的线，
即 △ABC 为等腰三角形，BD 为 △ABC 的对称轴．
根据对称性，有 △ABD≌△CBD．
∵△AGC≌△FAB，
∴AG=AF，∠G=∠BAF，
∵∠G+∠GAE=90∘，
∴∠BAF+∠GAE=90∘，
∴∠GAF=90∘，
∴∠HAG+∠FAD=90∘，
∵GH⊥AC，
∴∠HAG+∠HGA=90∘．
∴∠HGA=∠DAF．
在 △HGA 与 △DAF 中，
∠GHA=∠ADF=90∘,∠HGA=∠DAF,GA=AF,
∴△HGA≌△DAFAAS．
综上所述，全等三角形有 △ABD≌△CBD，△AGC≌△FAB，△HGA≌△DAF．
25. （1） 设 A 款 a 元，B 款 b 元，可得：
3a+4b=2400,2a+2b=1400,
解得：
a=400,b=300,
答：A 款 400 元，B 款 300 元．
（2） 设让利的羽绒服有 x 件，则已售出的有 20−x 件．
60020−x+600×60%x−400×10−30×10≥3800.
解得
x≤5.
答：最多让利 5 件．
26. （1） 设 ∠CAF=α，则 ∠BAE=2α．
∴∠EAF=∠EAC−α，∠EFA=∠ECA+α=∠EAC+α，
∠BAF=∠EAF+2α=∠EAC−α+2α=∠EAC+α．
∴∠BAF=∠BFA．
（2） AE∥CD，∠EAC=∠ECA．
∴∠AED=∠D，∠AEB=∠DCE，AE=EC．
又 ∵∠AED=∠B，
∴∠D=∠B．
∴△AEB=△ECDAAS．
∴BE=DC．
27. （1） 解不等式 3a−13≤2a+13 得 a≤2．
∵a 为不等式 3a−13≤2a+13 的最大整数解，
∴a=2．
将 a=2 代入方程 5a−3b=4 得 b=2．
∴a=b．
∴OB=OC．
（2） 连接 GO．
∵F 为 CE 中点，
∴CF=EF．
在 △GCF 和 △AEF 中，
CF=EF,∠CFG=∠FEA,FG=FA,
∴△GCF≌△AEFSAS，
∴CG=EA，∠GCF=∠AEF，
∴GC∥AD，
∴∠GCD=∠CDA，
∵AB=AE，
∴GC=AB，
∵AD⊥AB，OB⊥OC，
∴∠COB=∠BAD=90∘，
∴∠ABO+∠ADO=180∘，
∵∠ADO+∠ADC=180∘，
∴∠ADC=∠ABO，
∵∠GCD=∠CDA，
∴∠GCD=∠ABO，
在 △GCO 和 △ABO 中，
GC=AB,∠GCO=∠ABO,OC=OB,
∴△GCO≌△ABOSAS，
∴GO=AO，∠GOC=∠AOB，
∵∠AOB+∠AOC=90∘，
∴∠GOC+∠AOC=90∘，
∴△GAO 为等腰直角三角形，
∴∠OAF=45∘，即 ∠OAF 的大小不变．
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