2018年上海市长宁区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2018年上海市长宁区中考二模数学试卷（期中），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 函数 y=2x−1 的图象不经过
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

2. 下列式子一定成立的是
A. 2a+3a=6aB. x8÷x2=x4
C. a12=1aD. −a−23=−1a6

3. 下列二次根式中，2 的同类二次根式是
A. 4B. 2xC. 29D. 12

4. 已知一组数据 2，x，8，5，5，2 的众数是 2，那么这组数据的中位数是
A. 3.5B. 4C. 2D. 6.5

5. 已知圆 A 的半径长为 4，圆 B 的半径长为 7，它们的圆心距为 d，要使这两圆没有公共点，那么 d 的值可以取
A. 11B. 6C. 3D. 2

6. 已知在四边形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 交于点 O，且 AC=BD，下列四个命题中真命题是
A. 若 AB=CD，则四边形 ABCD 一定是等腰梯形
B. 若 ∠DBC=∠ACB，则四边形 ABCD 一定是等腰梯形
C. 若 AOOB=COOD，则四边形 ABCD 一定是矩形
D. 若 AC⊥BD 且 AO=OD，则四边形 ABCD 一定是正方形

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：sin30∘−−30= ．

8. 方程 −x=x+6 的解是 ．

9. 不等式组 −x+30 时，函数值 y 随自变量 x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）

11. 若关于 x 的方程 x2−3x−m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 ．

12. 在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的 5 张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ．

13. 抛物线 y=mx2+2mx+5 的对称轴是直线 ．

14. 小明统计了家里 3 月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足 10 分钟的通话次数的频率是 ．（注：每组内只含最小值，不含最大值）

15. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50∘，则 ∠ADC 的度数为 ．

16. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90∘，BC=CD=4，AD=25，若 AD=a，DC=b，用 a，b 表示 DB= ．

17. 如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形 ABC 是半高三角形，且斜边 AB=5，则它的周长等于 ．

18. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的长为 1，点 P 是线段 BD 上的一点，连接 CP，将 △BCP 沿着直线 CP 翻折，若点 B 落在边 AD 上的点 E 处，且 EP∥AB，则 AB 的长等于 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 先化简，再求值：1x+1−x+3x2−1÷x2+4x+3x2−2x+1，其中 x=12+1．

20. 解方程组：x2+5xy−6y2=0, ⋯⋯①2x−y=1. ⋯⋯②

21. 如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，点 D 在 BA 的延长线上，BC=24，sin∠ABC=513．
（1）求 AB 的长；
（2）若 AD=6.5，求 ∠DCB 的余切值．

22. 某旅游景点的年游客量 y（万人）是门票价格 x（元）的一次函数，其函数图象如图．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为 20 元．那么要想获得年利润 11500 万元，且门票价格不得高于 230 元，该年的门票价格应该定为多少元?

23. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 在 BC 的延长线，连接 AE 分别交 BD，CD 于点 G，F，且 ADBE=GFAG．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若 BC2=GD⋅BD，BG=GE，求证：四边形 ABCD 是菱形．

24. 如图在直角坐标平面内，抛物线 y=ax2+bx−3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴分别交于点 B−1,0 、点 C3,0，点 D 是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；
（2）连接 AD，DC，求 △ACD 的面积；
（3）点 P 在直线 DC 上，连接 OP，若以 O，P，C 为顶点的三角形与 △ABC 相似，求点 P 的坐标．

25. 在圆 O 中，C 是弦 AB 上的一点，连接 OC 并延长，交劣弧 AB 于点 D，连接 AO，BO，AD，BD．已知圆 O 的半径长为 5，弦 AB 的长为 8．
（1）如图 1，当点 D 是弧 AB 的中点时，求 CD 的长；
（2）如图 2，设 AC=x，S△ACOS△OBD=y，求 y 关于 x 的函数解析式并写出定义域；
（3）若四边形 AOBD 是梯形，求 AD 的长．
答案
第一部分
1. B【解析】∵k=2>0，
∴ 函数 y=2x−1 的图象经过第一，三象限；
又 ∵b=−111；
内含时的数量关系应满足 0≤d3
【解析】−x+33；
解不等式 ②，得 x≥83；
∴ 不等式组的解集为 x>3．
10. 增大
【解析】反比例函数 y=kx 的图象经过点 −2017,2018，
所以 k0 时，y 的值随自变量 x 值的增大而增大．
11. −34
【解析】∵ 关于 x 的方程 x2−3x−m=0 有两个相等的实数根，∴Δ=−32−4×1×−m=0，
解得，m=−34．
12. 35
【解析】∵ 在等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的 5 张纸片中，中心对称图 形有圆、矩形、菱形这 3 个，
∴ 抽到中心对称图形的概率是 35．
13. x=−1
【解析】抛物线 y=mx2+2mx+5 的对称轴是直线 x=−2m2m=−1，即 x=−1．
14. 0.7
【解析】通话时间不足 10 分钟的通话次数的频率是 20+1520+15+10+5=3550=0.7．
15. 140∘
【解析】连接 BD，
∵ E，F 分别是边 AB，AD 的中点，
∴ EF∥BD，BD=2EF=12，
∴ ∠ADB=∠AFE=50∘，
BD2+CD2=225，BC2=225，
∴ BD2+CD2=BC2，
∴ ∠BDC=90∘，
∴ ∠ADC=∠ADB+∠BDC=140∘．
16. 12b−a
【解析】如图，过点 A 作 AE⊥DC 于点 E，

∵ 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90∘，
∴AB=CE，AE=BC．
∵BC=CD=4，AD=25，
∴DE=AD2−AE2=20−16=2，
∴AB=CD−CE=4−2=2．
∴AB=12DC．
∴AB=12DC，
∵AD=a，DC=b．
∴DB=AB−AD=12b−a．
17. 5+35 或 5+52
【解析】如图所示，Rt△ABC 中，
CD⊥AB，CD=12AB=52，
设 BC=a，AC=b，则
a2+b2=52,12ab=12×5×52.
解得 a+b=52 或 a+b=−52（舍去），
∴△ABC 长度周长为 52+5；
如图所示，Rt△ABC 中，
AC=12BC，
设 BC=a，AC=b，则
a=2b,a2+b2=52.
解得 a=25,b=5.
∴△ABC 长度周长为 35+5；
综上所述，该三角形的周长为 5+35 或 5+52．
18. 5−12
【解析】如图，
设 CD=AB=a，则 BC2=BD2−CD2=1−a2，
由折叠可得，CE=BC，BP=EP，
∴CE2=1−a2，
∴Rt△CDE 中，DE2=CE2−CD2=1−2a2，
∵PE∥AB，∠A=90∘，
∴∠PED=90∘，
∴Rt△DEP 中，DE2=PD2−PE2=1−PE2−PE2=1−2PE，
∴PE=a2，
∵PE∥AB，
∴△DEP∽△DAB，
∴PEAB=PDBD，即 PEa=1−PE1，
∴a2a=1−a21，即 a2+a−1=0，解得 a1=5−12，a2=−5−12（舍去），
∴AB 的长等于 5−12．
第三部分
19. 原式=1x+1−x+3x+1x−1⋅x−12x+1x+3=1x+1−x−1x+12=x+1x+12−x−1x+12=2x+12,
当 x=12+1=2−1 时，
原式=22−1+12=22=1.
20. 方程 ① 可变形为
x+6yx−y=0,
得
x+6y=0或x−y=0.
将它们与方程 ② 分别组成方程组，得
Ⅰx+6y=0,2x−y=1或Ⅱx−y=0,2x−y=1.
解方程组 Ⅰx=613,y=−113,
解方程组 Ⅱx=1,y=1.
所以原方程组的解是 x1=613,y1=−113, x2=1,y2=1.
21. （1） 过点 A 作 AE⊥BC，垂足为点 E，
又 ∵AB=AC，
∴BE=12BC，
∵BC=24，
∴BE=12，
在 Rt△ABE 中，∠AEB=90∘，sin∠ABC=AEAB=513，
设 AE=5k，AB=13k，
∵AB2=AE2+BE2，
∴BE=12k=12，
∴k=1，
∴AE=5k=5，AB=13k=13．
（2） 过点 D 作 DF⊥BC，垂足为点 F，
∵AD=6.5，AB=13，
∴BD=AB+AD=19.5，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFB=90∘，
∴AE∥DF，
∴AEDF=BEBF=ABBD，
又 ∵AE=5，BE=12，AB=13，
∴DF=152，BF=18，
∴CF=BC−BF，即 CF=24−18=6，
在 Rt△DCF 中，∠DFC=90∘，ct∠DCB=CFDF=6152=45．
22. （1） 设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b，
∵ 函数图象过点 200,100，50,250，
∴200k+b=100,50k+b=250,
解之得：k=−1,b=300.
∴y 关于 x 的解析式为：y=−x+300；
（2） 设门票价格定为 x 元，依题意可得：
x−20−x+300=11500.
整理得：
x2−320x+17500=0.
解之得：
x1=70,x2=250舍去.
答：门票价格应该定为 70 元．
23. （1） ∵ AD∥BE，
∴ ADBE=DGGB，
∵ ADBE=GFAG，
∴ DGBG=GFAG，
∴ AB∥CD．
（2） ∵ AD∥BC，AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BC=AD，
∵ BC2=GD⋅BD，
∴ AD2=GD⋅BD，即 ADBD=GDAD，
又 ∵ ∠ADG=∠BDA，
∴ △ADG∽△BDA，
∴ ∠DAG=∠ABD，
∵ AB∥CD，
∴ ∠ABD=∠BDC，
∵ AD∥BC，
∴ ∠DAG=∠E，
∵ BG=GE，
∴ ∠DBC=∠E，
∴ ∠BDC=∠DBC，
∴ BC=CD，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形．
24. （1） 点 B−1,0，C3,0 在抛物线 y=ax2+bx−3 上，
∴a−b−3=0,9a+3b−3=0,
解得：a=1,b=−2,
∴ 抛物线的表达式为：y=x2−2x−3=x−12−4，
故顶点 D 的坐标是 1,−4．
（2） ∵A0,−3，C3,0，D1,−4，
∴AC=32，CD=25，AD=2，
∴CD2=AC2+AD2，
∴∠CAD=90∘，
∴S△ACD=12⋅AC⋅AD=12×32×2=3．
（3） ∵∠CAD=∠AOB=90∘，ADBO=ACAO=2，
∴△CAD∽△AOB，
∴∠ACD=∠OAB，
∵OA=OC，∠AOC=90∘，
∴∠OAC=∠OCA=45∘，
∴∠OAC+∠OAB=∠OCA+∠ACD，即 ∠BAC=∠BCD，
若以 O，P，C 为顶点的三角形与 △ABC 相似，且 △ABC 为锐角三角形，
则 △POC 也为锐角三角形，点 P 在第四象限，
由点 C3,0，D1,−4 得直线 CD 的表达式是：y=2x−6，设 Pt,2t−60