2018年临沂市河东区中考二模数学试卷

这是一份2018年临沂市河东区中考二模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共14小题；共70分）
1. 12−2=
A. −4B. 14C. −14D. 4

2. 近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016 年第一季度潍坊全市实现生产总值 1256.77 亿元，将 1256.77 亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）
A. 1.2×1011B. 1.3×1011C. 1.26×1011D. 0.13×1012

3. 如图，直线 l1∥l2，等腰直角 △ABC 的两个顶点 A，B 分别落在直线 l1，l2 上，∠ACB=90∘，若 ∠1=15∘，则 ∠2
的度数是
A. 35∘B. 30∘C. 25∘D. 20∘

4. 下列运算正确的是
A. 2+3=5B. 3x2y−x2y=3C. a2+b2a+b=a+bD. a2b3=a6b3

5. 若不等式组 x+a≥0,1−2x>x−2 无解，则实数 a 的取值范围是
A. a≥−1B. a<−1C. a≤1D. a≤−1

6. 将五个相同的小正方体堆成如图所示的物体，它的俯视图是
A. B.
C. D.

7. 某中学足球队的 18 名队员的年龄如表所示：
年龄单位:岁12131415人数3564
这 18 名队员年龄的众数和中位数分别是
A. 13 岁，14 岁B. 14 岁，14 岁C. 14 岁，13 岁D. 14 岁，15 岁

8. 若关于 x 的方程 x+mx−3+3m3−x=3 的解为正数，则 m 的取值范围是
A. m<92B. m<92 且 m≠32
C. m>−94D. m>−94 且 m≠−34

9. 学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是
A. 23B. 12C. 13D. 14

10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，斜边 AB=9，D 为 AB 的中点，F 为 CD 上一点，且 CF=13CD，过点 B 作 BE∥DC 交 AF 的延长线于点 E，则 BE 的长为
A. 6B. 4C. 7D. 12

11. 若二次函数 y=ax2+bx+c 的 x 与 y 的部分对应值如表：
x⋯−10123⋯y⋯74−54−94−5474⋯
则下列说法错误的是
A. 二次函数图象与 x 轴交点有两个
B. x≥2 时 y 随 x 的增大而增大
C. 二次函数图象与 x 轴交点横坐标一个在 −1∼0 之间，另一个在 2∼3 之间
D. 对称轴为直线 x=1.5

12. “双 11”促销活动中，小芳的妈妈计划用 1000 元在唯品会购买价格分别为 80 元和 120 元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有
A. 4 种B. 5 种C. 6 种D. 7 种

13. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O 点，E，F 分别是 AB，BC 边上的中点，连接 EF．若 EF=3，BD=4，则菱形 ABCD 的周长为
A. 4B. 46C. 47D. 28

14. 如图，O 为坐标原点，四边形 OACB 是菱形，OB 在 x 轴的正半轴上，sin∠AOB=45，反比例函数 y=48x 在第一象限内的图象经过点 A，与 BC 交于点 F，则 △AOF 的面积等于
A. 60B. 80C. 30D. 40

二、填空题（共5小题；共25分）
15. 分解因式：ax2−ay2= ．

16. 化简 m2m−3−9m−3 的结果是 ．

17. 如图，E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AB，CD 上的点，AF 与 DE 相交于点 P，BF 与 CE 相交于点 Q，若 S△APD=10 cm2，S△BQC=15 cm2，则阴影部分的面积为 cm2．

18. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB 的角平分线相交于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F，则 EF 的长为 ．

19. 如图，Rt△OA0A1 在平面直角坐标系内，∠OA0A1=90∘，∠A0OA1=30∘，以 OA1 为直角边向外作 Rt△OA1A2，使 ∠OA1A2=90∘，∠A1OA2=30∘，以 OA2 为直角边向外作 Rt△OA2A3，使 ∠OA2A3=90∘，∠A2OA3=30∘，按此方法进行下去，得到 Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，⋯，Rt△OA2016A2017，若点 A01,0，则点 A2017 的横坐标为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
20. 计算：13−1+tan60∘−32×18．

21. 某小学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如图：
（1）补全条形统计图；
（2）求扇形统计图扇形D的圆心角的度数；
（3）若该中学有 2000 名学生，请估计其中有多少名学生能在 1.5 小时内完成家庭作业?

22. 超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路 MN 上，小型车限速为每小时 120 千米，设置在公路旁的超速监测点 C，现测得一辆小型车在监测点 C 的南偏西 30∘ 方向的 A 处，7 秒后，测得其在监测点 C 的南偏东 45∘ 方向的 B 处，已知 BC=200 米，B 在 A 的北偏东 75∘ 方向，请问：这辆车超速了吗?通过计算说明理由．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

23. 如图 1，AB 为 ⊙O 的直径，C，E 为 O 上的两点，若 AC 平分 ∠EAB，CD⊥AE 于点 D．
（1）求证：DC 是 ⊙O 切线；
（2）若 AO=6，DC=33，求 DE 的长；
（3）过点 C 作 CF⊥AB 于 F，如图 2，若 AD−OA=1.5，AC=33，求图中阴影部分面积．

24. 某商场对某种商品进行销售，第 x 天的销售单价为 m 元，日销售量为 n 件，其中 m，n 分别是 x（1≤x≤30，且 x 为整数）的一次函数，销售情况如表：
销售第x天第1天第2天第3天第4天⋯第30天销售单价m元49484746⋯20日销售量n件45505560⋯190
（1）观察表中数据，分别直接写出 m 与 x，n 与 x 的函数关系式： ， ；
（2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为 3600 元?
（3）销售商品的第 15 天为儿童节，请问：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第几天时该商品的日销售额最多?商场决定将这天该商品的日销售额捐献给儿童福利院，试求出商场可捐款多少元?

25. 如图 1，点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，分别延长 OD 到点 G，OC 到点 E，使 OG=2OD，OE=2OC，然后以 OG，OE 为邻边作正方形 OEFG，连接 AG，DE．
（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 α 角（0∘<α<360∘）得到正方形 OEʹFʹGʹ，如图 2．
①在旋转过程中，当 ∠OAGʹ 是直角时，求 α 的度数；
②若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 AFʹ 长的最大值和此时 α 的度数，直接写出结果不必说明理由．

26. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的对称轴为直线 x=−1，且抛物线经过点 A1,0，C0,3 两点．与 x 轴交于点 B．
（1）若直线 y=mx+n 经过 B，C 两点，求直线 BC 和抛物线的解折式；
（2）在抛物线的对称轴 x=−1 上找一点 M，使 △ACM 的周长最小，求出点 M 的坐标，并求出 △ACM 的面积；
（3）设点 P 为线段 AB 垂直平分线上的一个动点，求使 △BPC 为直角三角形的点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. D【解析】原式=4．
2. B【解析】将 1256.77 亿用科学记数法可表示为 1.3×1011．
3. B【解析】
∵ △ABC 为等腰直角三角形，
∴ ∠BAC=45∘．
∵ ∠1=15∘，
∴ ∠3=45∘−∠1=45∘−15∘=30∘．
∵ l1∥l2，
∴ ∠2=∠3=30∘．
4. D【解析】∵2+3≠5，
∴ 选项A不正确；
∵3x2y−x2y=2x2y，
∴ 选项B不正确；
∵a2+b2a+b≠a+b2a+b=a+b，
∴ 选项C不正确；
∵a2b3=a6b3，
∴ 选项D正确．
5. D
6. B【解析】从上面可看到第一横行右下角有一个正方形，第二横行有 3 个正方形．
7. B【解析】由表可知 14 岁出现次数最多，
∴ 众数为 14 岁，
∵ 共有 18 名队员，
∴ 中位数是第 9，10 个数据的平均数，即中位数为 14+142=14（岁）．
8. B【解析】去分母得 x+m−3m=3x−3，
去括号得 x+m−3m=3x−9，
解得 x=−2m+92，
根据题意得 −2m+92−3≠0 且 −2m+92>0，
解得 m<92 且 m≠32．
9. C【解析】本题考查列表法求概率．将征征、舟舟两名同学参加社团的可能情况列表如下：
航模征征彩绘征征泥塑征征航模舟舟航模舟舟,航模征征航模舟舟,彩绘征征航模舟舟,泥塑征征彩绘舟舟彩绘舟舟,航模征征彩绘舟舟,彩绘征征彩绘舟舟,泥塑征征泥塑舟舟泥塑舟舟,航模征征泥塑舟舟,彩绘征征泥塑舟舟,泥塑征征
由上表可知征征和舟舟选择的可能情况有 9 种，其中征征和舟舟选到同一社团的可能情况有 3 种，所以概率为 39=13．
10. A
【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，斜边 AB=9，D 为 AB 的中点，
∴CD=12AB=4.5．
∵CF=13CD，
∴DF=23CD=23×4.5=3．
∵BE∥DC，
∴DF 是 △ABE 的中位线，
∴BE=2DF=6．
11. D【解析】A、由图表数据可知 x=1 时，y 的值最小，
∴ 抛物线开口向上，
∴ 该抛物线与 x 轴有两个交点，故本选项正确；
B、根据图表知，当 x≥2 时 y 随 x 的增大而增大，故本选项正确；
C、抛物线的开口方向向上，抛物线与 y 轴的交点坐标是 0,−54，对称轴是直线 x=1，
∴ 二次函数图象与 x 轴交点横坐标一个在 −1∼0 之间，另一个在 2∼3 之间，故本选项正确；
D、 ∵x=0 和 x=2 时的函数值相等，则抛物线的对称轴为直线 x=1，故本选项错误．
12. A【解析】设购买 80 元的商品数量为 x，购买 120 元的商品数量为 y，
依题意得：80x+120y=1000，
整理，得 y=25−2x3．
∵x 是正整数，
∴ 当 x=2 时，y=7．
当 x=5 时，y=5．
当 x=8 时，y=3．
当 x=11 时，y=1．
即有 4 种购买方案．
13. C【解析】∵E，F 分别是 AB，BC 边上的中点，EF=3，
∴AC=2EF=23．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，OA=12AC=3，OB=12BD=2，
∴AB=OA2+OB2=7，
∴ 菱形 ABCD 的周长为 47．
14. D【解析】过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，过点 F 作 FN⊥x 轴于点 N，如图所示.
设 OA=a，BF=b ，
在 Rt△OAM 中，∠AMO=90∘，OA=a，sin∠AOB=45，
∴AM=OA⋅sin∠AOB=45a，OM=OA2−AM2=35a ，
∴ 点 A 的坐标为 35a,45a .
∵ 点 A 在反比例函数 y=48x 的图象上，
∴35a×45a=1225a2=48 ，
解得：a=10 ，或 a=−10（舍去）.
∴AM=8，OM=6 .
∵ 四边形 OACB 是菱形，
∴OA=OB=10，BC∥OA .
∴S△AOF=12S菱形AOBC=12×10×8=40 .
第二部分
15. ax−yx+y
16. m+3
【解析】m2m−3−9m−3=m2−9m−3=m+3m−3m−3=m+3.
17. 25
【解析】如图，连接 E，F 两点，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC 的 FC 边上的高与 △BCF 的 FC 边上的高相等，
∴S△EFC=S△BCF，
∴S△EFQ=S△BCQ，
同理：S△EFD=S△ADF，
∴S△EFP=S△ADP，
∵S△APD=10 cm2，S△BQC=15 cm2，
∴S四边形EPFQ=25 cm2．
18. 103
【解析】如图，过点 E 作 EG∥AB，交 AC 于点 G，
则 ∠BAE=∠AEG，
∵AE 平分 ∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠CAE=∠AEG，
∴AG=EG，
同理可得，EF=CF，
∵AB∥GE，BC∥EF，
∴∠BAC=∠EGF，∠BCA=∠EFG，
∴△ABC∽△GEF，
∵∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴EG:EF:GF=AB:BC:AC=3:4:5，
设 EG=3k=AG，则 EF=4k=CF，FG=5k，
∵AC=10，
∴3k+5k+4k=10，
∴k=56，
∴EF=4k=103．
19. 2332016
【解析】∵∠OA0A1=90∘，OA1=23，∠A2OA1=30∘，
同理：OA2=232，⋯，OAn=23n，
∴OA2017 的长度为 232017；
∵2017×30∘÷360=168⋯1，
∴OA2017 与 OA1 重合，
∴ 点 A2017 的横坐标为 232017×32=232016=2332016．
第三部分
20. 原式=3+12+3−42×24=32+12+3−2=332−32.
21. （1） 抽取的总人数是：10÷25%=40（人），在B类的人数是：40×30%=12（人）．
（2） 扇形统计图扇形D的圆心角的度数是：360×340=27∘．
（3） 能在 1.5 小时内完成家庭作业的人数是：2000×25%+30%+35%=1800（人）．
22. 这辆汽车超速了．
理由：如图，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，
由题意可得：∠BCF=30∘，∠ACF=45∘，∠CAF=45∘，则 ∠BCF=30∘，∠CBF=60∘，
∵BC=200 m，
∴BF=12BC=100 m，
∴FC=BF⋅sin30∘=1003 m，
故 AF=1003 m，
故 AB=AF+BF=1003+1≈273m，
∴2737=39m/s，
∵ 每小时 120 千米 =1003≈33.3m/s，
∵39>33.3，
∴ 这辆车已经超速．
23. （1） 连接 OC，如图 1ʹ，
∵AC 平分 ∠EAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴DC 是 ⊙O 切线．
（2） 连接 BE 交 OC 于点 H，如图 1ʹ，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90∘，
∵OC∥AD，
∴∠OHB=90∘，
∴EH=BH，四边形 CDEH 为矩形，
∴CD=EH=33，CH=ED，
∴BH=33，
在 Rt△OBH 中，OH=62−332=3，
∴CH=6−3=3，
∴DE=3．
（3） 连接 OC，如图 2ʹ，
设 ⊙O 的半径为 r，
∵AC 平分 ∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，
∴CD=CF，
∴AD=AF=AO+OF，
∵AD−OA=1.5，
∴AO+OF−OA=1.5，即 OF=1.5，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠CAF=∠BAC，
∴△ACF∽△ABC，
∴ACAB=AFAC，即 332r=r+1.533，解得 r=−92（舍去）或 r=3，
在 Rt△OCF 中，cs∠COF=OFOC=1.53，
∴∠COF=60∘，
∴CF=3OF=332，
∴图中阴影部分面积=S扇形BOC−S△OCB=60⋅π⋅32360−12×3×332=32π−934.
24. （1） m=−x+50；n=5x+40
【解析】观察表中数据可知：每过一天，销售单价降低 1 元/件、销量增加 5 件，
∴m=49−x−1=−x+50，n=45+5x−1=5x+40．
（2） 根据题意得：−x+505x+40=3600，
整理得：x2−42x+320=0，
解得：x1=10，x2=32．
∵32>30，
∴x=32 舍去．
答：第 10 天的日销售额为 3600 元．
（3） 设日销售额为 w 元，
根据题意得：w=−x+505x+40=−5x2+210x+2000=−5x−212+4205．
∵a=−5<0，
∴ 抛物线开口向下．
又 ∵ 对称轴为直线 x=21，
∴ 当 1≤x≤14 时，w 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=14 时，w 取最大值，最大值为 3960．
答：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第 14 天时该商品的日销售额最多，商场可捐款 3960 元．
25. （1） 如图 1ʹ，延长 ED 交 AG 于点 H，
∵ 点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在 △AOG 和 △DOE 中，
OA=OD,∠AOG=∠DOE=90∘,OG=OE,
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90∘，
∴∠GAO+∠DEO=90∘，
∴∠AHE=90∘，
即 DE⊥AG．
（2） ①在旋转过程中，∠OAGʹ 成为直角有两种情况：
（Ⅰ）如图 2ʹ，
α 由 0∘ 增大到 90∘ 过程中，当 ∠OAGʹ=90∘ 时，
∵OA=OD=12OG=12OGʹ，
∴ 在 Rt△OAGʹ 中，sin∠AGʹO=OAOGʹ=12，
∴∠AGʹO=30∘，
∵OA⊥OD，OA⊥AGʹ，
∴OD∥AGʹ，
∴∠DOGʹ=∠AGʹO=30∘，即 α=30∘；
（Ⅱ）α 由 90∘ 增大到 180∘ 过程中，
当 ∠OAGʹ=90∘ 时，同理可求 ∠BOGʹ=30∘，
∴α=180∘−30∘=150∘．
综上所述，当 ∠OAGʹ=90∘ 时，α=30∘或150∘．
②如图 3，
当旋转到 A，O，Fʹ 在一条直线上时，AFʹ 的长最大，
∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，
∴OA=OD=OC=OB=22，
∵OG=2OD，
∴OGʹ=OG=2，
∴OFʹ=2，
∴AFʹ=AO+OFʹ=22+2，
∵∠COEʹ=45∘，
∴ 此时 α=315∘．
26. （1） 依题意得：−b2a=−1,a+b+c=0,c=3,
解之得：a=−1,b=−2,c=3,
∴ 抛物线解析式为 y=−x2−2x+3，
∵ 对称轴为 x=−1，且抛物线经过 A1,0，
∴ 把 B−3,0，C0,3 分别代入直线 y=mx+n，
得 −3m+n=0,n=3,
解之得：m=1,n=3,
∴ 直线 y=mx+n 的解析式为 y=x+3．
（2） 设直线 BC 与对称轴 x=−1 的交点为 M，则此时 MA+MC 的值最小．
把 x=−1 代入直线 y=x+3 得，y=2，
∴M−1,2，
即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标为 −1,2．
（3） 如图，
设 P−1,t，
又 ∵B−3,0，C0,3，
∴BC2=18，PB2=−1+32+t2=4+t2，PC2=−12+t−32=t2−6t+10，
①若点 B 为直角顶点，则 BC2+PB2=PC2 即：18+4+t2=t2−6t+10 解之得：t=−2；
②若点 C 为直角顶点，则 BC2+PC2=PB2 即：18+t2−6t+10=4+t2 解之得：t=4；
③若点 P 为直角顶点，则 PB2+PC2=BC2 即：4+t2+t2−6t+10=18 解之得：t1=3+172，t2=3−172；
综上所述 P 的坐标为 −1,−2 或 −1,4 或 −1,3+172 或 −1,3−172．