2018年哈尔滨市平房区中考一模数学试卷

这是一份2018年哈尔滨市平房区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如果冰箱冷藏室的温度是 5∘C，冷冻室的温度是 −3∘C，则冷藏室比冷冻室高
A. 8∘CB. −8∘CC. −2∘CD. 2∘C

2. 如图图形中，不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列运算中，正确的是
A. 3a⋅2a=6a2B. a23=a9C. a6−a2=a4D. 3a+5b=8ab

4. 如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是
A. B.
C. D.

5. 反比例函数：y=−k2x（k 为常数，k≠0）的图象位于
A. 第一，二象限B. 第一，三象限C. 第二，四象限D. 第三，四象限

6. 如图，飞机在空中 A 处探测到它的正下方地面上目标 C，此时飞行高度 AC=1200 米，从飞机上看地面指挥台 B 的俯角 α 的正切值为 34，则飞机与指挥台之间 AB 的距离为 米
A. 1200B. 1600C. 1800D. 2000

7. 将抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则得到的抛物线解析式是
A. y=x−22−3B. y=x−22+3
C. y=x+22−3D. y=x+22+3

8. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 边上，EF∥CD，交对角线 BD 于点 F，则下列结论中错误的是
A. DEAE=DFBFB. EFAB=DFDBC. EFCD=DFBFD. EFCD=DFDB

9. 如图，△ABC 为等边三角形，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 75∘，得到 △AED，过点 E 作 EF⊥AC，垂足为点 F，若 AC=8，则 AF 的长为
A. 4B. 3C. 46D. 42

10. 在一次越野赛中，甲选手匀速跑完全程，乙选手 1.5 小时后速度为每小时 10 千米，两选手的行程 y（千米）随时间 x（小时）变化的图象（全程）如图所示，则乙比甲晚到 小时．
A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.1

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 把 384000000 用科学记数法表示为 ．

12. 函数 y=x−12x+6 中，自变量 x 的取值范围是 ．

13. 计算 27−13= ．

14. 不等式组 x−2≥−1,3x−1>8 的解集为 ．

15. 多项式 3a3−12a2+12a 分解因式的结果是 ．

16. 方程 1x−1=2x 的解是 ．

17. 一个扇形的面积为 12π cm2，圆心角为 120∘，则该扇形的半径是 ．

18. 星期一早晨，小红、小丽两人同在新疆大街公交站等车去同一所学校上学，此时恰好有途经该校公交站的三辆车同时进站（不考虑其它因素），则小红和小丽同乘一辆车的概率为 ．

19. 在正方形 ABCD 中，点 O 为正方形的中心，直线 m 经过点 O，过 A，B 两点作直线 m 的垂线 AE，BF，垂足分别为点 E，F，若 AE=2，BF=5，则 EF 长为 ．

20. 如图，在 △ABC 中，AC=BC，D 为 AB 的中点，F 为 BC 边上一点，连接 CD，AF 交于点 E．若 ∠FAC=90∘−3∠BAF，BF:AC=2:5，EF=2，则 AB 长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
21. 先化简，再求代数式 aa+1−a2−6a+9a2−1÷a−3a−1 的值，其中 a=3tan30∘−2cs60∘．

22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1．线段 AB 的两个端点在小正方形的顶点上．
（1）在图中画一个以 AB 为腰的等腰三角形 △ABC，点 C 在小正方形的顶点上，且 tanB=3；
（2）在图中画一个以 AB 为底的等腰三角形 △ABD，点 D 在小正方形的项点上，且 △ABD 是锐角三角形．连接 CD，请直接写出线段 CD 的长．

23. 随着 2018 年两会的隆重召开，中学校园掀起了关注时事政治的热潮．我区及时开展“做一个关心国家大事的中学生”主题活动．为了了解我区中学生获取时事新闻的主要途径，分别从电脑上网、手机上网、听广播、看电视、看报纸五个方面，在全区范围内随机抽取了若干名中学生进行问卷调查（每名中学生只选一种主要途径），根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了中学生多少人?
（2）求本次调查中，以听广播获取时事新闻为主要途径的人数并补全条形统计图；
（3）若本区共有中学生 7000 人，请你估计我区以看电视以看电视获取时事新闻为主要途径的中学生有多少人?

24. 已知：如图，AD 是 △ABC 的中线，E 为 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 延长线于点 F，连接 CF．
（1）如图 1，求证：四边形 ADCF 是平行四边形；
（2）如图 2．连接 CE，在不添加任何助线的情况下，请直接写出图 2 中所有与 △BEC 面积相等的三角形．

25. 平房区政府为了“安全、清激、美丽”河道，计划对何家沟平房区河段进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件阻制，每天只能由一个工程队进行施工．若甲工程队先单独施工 3 天，再由乙工程队单独施工 5 天，则可以完成 550 米的施工任务；若甲工程队先单独施工 2 天，再由乙工程队单独施工 4 天，则可以完成 420 米的施工任务．
（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务?
（2）何家沟平房区河段全长 6000 米．若工期不能超过 90 天，乙工程队至少施工多少天?

26. 已知：AB 是 ⊙O 直径，C 是 ⊙O 外一点，连接 BC 交 ⊙O 于点 D，BD=CD，连接 AD，AC．
（1）如图 1，求证：∠BAD=∠CAD；
（2）如图 2，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，交 ⊙O 于点 E，延长 CF 交 ⊙O 于点 G，过点 E 作 EH⊥AG 于点 H，交 AB 于点 K，求证 AK=2OF；
（3）如图 3，在（2）的条件下，EH 交 AD 于点 L，若 OK=1，AC=CG，求线段 AL 的长．

27. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y=ax2+bx−3 交 x 轴于点 A1,0，B3,0，交 y 轴于点 C．
（1）如图 1，求抛物线的解析式；
（2）如图 2，点 P 为对称轴右侧第四象限抛物线上一点，连接 PA 并延长交 y 轴于点 K，点 P 横坐标为 t，△PCK 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式（直接写出自变量 t 的取值范围）；
（3）如图 3，在（2）的条件下，过点 A 作 AD⊥AP 交 y 轴于点 D．连接 OP，过点 O 作 OE⊥OP 交 AD 延长线于点 E，当 OE=OP 时，延长 EA 交抛物线于点 Q，点 M 在直线 EC 上，连接 QM，交 AB 于点 H，将射线 QM 绕点 Q 逆时针旋转 45∘，得到射线 QN 交 AB 于点 F，交直线 EC 于点 N，若 AH:HF=3:5，求 S△NMKS 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】5−−3=5+3=8．
2. D【解析】A、是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故正确．
3. A【解析】A．3a⋅2a=6a2，故正确；
B．a23=a6，故错误；
C．不是同类项不能合并，故错误；
D．不是同类项不能合并，故错误．
4. B【解析】如图左面看去得到的正方形从左往右依次是 2，1．
5. C
【解析】∵k≠0，
∴−k2 为负数，图象位于第二、四象限．
6. D【解析】∵tanα=tanB=34，且 tanB=ACBC，
∴BC=ACtanB=120034=1600（米），
则 AB=AC2+BC2=12002+16002=2000（米）．
7. C【解析】依题意可知，原抛物线顶点坐标为 0,0，
平移后抛物线顶点坐标为 −2,−3，
又因为平移不改变二次项系数，
所以所得抛物线解析式为：y=x+22−3．
8. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵EF∥CD，
∴EF∥AB，
∴DEAE=DFBF，
∴△DEF∽△DAB，
∴EFAB=DFDB，
∵AB=CD，
∴EFCD=DFDB，
∴ 选项A，B，D正确；选项C错误．
9. D【解析】∵△ABC 为等边三角形，
∴∠CAB=60∘，
由旋转可得，AC=AD=AE=8，∠EAB=75∘，
∴∠EAF=180∘−60∘−75∘=45∘，
∵EF⊥AC，
∴△AEF 是等腰直角三角形，
∴AF=22AE=42．
10. B
【解析】根据 0.5∼1.5 小时内，乙半小时跑 2 km，可得 1 小时跑 4 km，故 1.5 小时跑了 12 km，
剩余的 8 km 需要的时间为 8÷10=0.8（小时），
根据 1.5+0.8−2=0.3（小时），可得甲比乙晚到了 0.3 小时．
第二部分
11. 3.84×108
【解析】384000000=3.84×108．
12. x≠−3
【解析】由题意得，2x+6≠0，解得 x≠−3．
13. 833
【解析】原式=33−33=833.
14. x>3
【解析】x−2≥−1, ⋯⋯①3x−1>8, ⋯⋯②
由 ① 得：x≥1，
由 ② 得：x>3．
所以 x>3．
15. 3aa−22
【解析】原式=3aa2−4a+4=3aa−22．
16. 2
17. 6 cm
【解析】设该扇形的半径是 r cm，则 12π=120πr2360，解得 r=6．
18. 13
【解析】将三辆车分别记为 1，2，3，
画树状图得：
∵ 共有 9 种等可能的结果，小红和小丽同乘一辆车的有 3 种情况，
∴ 小红和小丽同乘一辆车的概率是：39=13．
19. 3 或 7
【解析】如图，当直线 m 与线段 AB 不相交时，
∵AE⊥m，BF⊥m，∠AOB=90∘，
∴∠AOE+∠EAO=90∘=∠AOE+∠BOF，∠AEO=∠OFB，
∴∠EAO=∠FOB，
又 ∵ 正方形 ABCD 中，AO=OB，
在 △EAO 和 △FOB 中，
∠EAO=∠FOB,∠AEO=∠OFB,AO=OB,
∴△EAO≌△FOB，
∴AE=OF=2，BF=EO=5，
∴EF=EO+FO=5+2=7；
如图，当直线 m 与线段 AB 相交时，
∵AE⊥m，BF⊥m，∠AOB=90∘，
∴∠AOE+∠EAO=90∘=∠AOE+∠BOF，∠AEO=∠OFB，
∴∠EAO=∠FOB，
又 ∵ 正方形 ABCD 中，AO=OB，
在 △EAO 和 △FOB 中，
∠EAO=∠FOB,∠AEO=∠OFB,AO=OB,
∴△EAO≌△FOB，
∴AE=OF=2，BF=EO=5，
∴EF=EO−FO=5−2=3．
20. 210
【解析】如图，连接 BE．
设 ∠BAF=α．BF=2k，BC=CA=5k．
因为 CA=CB，AD=DB，
所以 CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，
所以 ∠CDA=90∘，EA=EB，
所以 ∠EAB=∠EBA=α，∠BEF=2α，
因为 ∠EAC+∠DAE+∠ACD=90∘，∠FAC=90∘−3∠BAF，
所以 ∠ACD=∠BCD=2α=∠BEF，
因为 ∠EBF=∠CBE，
所以 △EBF∽△CBE，
所以 BECB=EFEC=BFBE，
所以 BE=10k，EC=10，
因为 ∠CEF=2α+∠CAE，∠EFC=2α+∠FBE，
因为 ∠CAB=∠CBA，∠EAB=∠EBA，
所以 ∠CAE=∠CBE，
所以 ∠CEF=∠CFE，
所以 CE=CF，
所以 3k=10，
所以 k=103，
所以 BE=103，BC=5103，设 DE=a，BD=b，
则有 a2+b2=1009, ⋯⋯①b2+a+102=2509, ⋯⋯②
解得 a=103，b=10，
所以 AB=2b=210．
第三部分
21. aa+1−a2−6a+9a2−1÷a−3a−1=aa+1−a−32a+1a−1⋅a−1a−3=aa+1−a−3a+1=3a+1,
当 a=3tan30∘−2cs60∘=3×33−−2×12=3−1 时，
原式=33−1+1=33=3.
22. （1） 如图所示：△ABC 即为所求：
（2） 如图所示：△ABD 即为所求，
由勾股定理可得：CD=32+12=10．
23. （1） 120÷40%=300（人），
∴ 本次抽样调查共抽取了中学生 300 人．
（2） 300−90−120−45−15=30（人），
∴ 被调查的中学生中以听广播作为主获取时事新闻主要途径有 30 人，
补全条形统计图：
（3） 7000×45300=1050（人），
∴ 由样本估计总体全区以看电视作为获取时事新闻主要途径的中学生有 1050 人．
24. （1） ∵ 在 △BCF 中，D 为 BC 的中点、 E 为 AD 的中点，
∴DE∥CF，
又 ∵AF∥BC，
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形．
（2） ∵E 是 BF 中点，
∴S△BEC=S△CEF，
∵S△CEF=12S平行四边形ADCF，
∴S△BEC=12S平行四边形ADCF，
∵D 是 BC 中点，
∴S△ADC=S△ABD，
∵S△ADC=S△ACF=12S平行四边形ADCF，
∵△ABF 和 △ACF 是等底等高，
∴S△ABF=S△ACF，
∴S△BEC=S△ABF=S△ACF=S△CEF=S△ADC=S△ABD=12S平行四边形ADCF．
25. （1） 设甲工程队每天施工 x 米，乙工程队每天施工 y 米．
根据题意得：
3x+5y=550, ⋯⋯①2x+4y=420. ⋯⋯②
解得：
x=50,y=80.
答：甲工程队每天能完成施工任务 50 米，乙工程队每天能完成施工任务 80 米．
（2） 设乙工程队施工 a 天，
根据题意得：
80a+5090−a≥6000.
解得：
a≥50.
答：乙工程队至少施工 50 天．
26. （1） ∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，即：AD⊥BC．
∵BD=CD，AD⊥BC，
∴AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD．
（2） 如图，连接 BE．
∵BG=BG，
∴∠GAB=∠BEG．
∵CF⊥AB，
∴∠KFE=90∘．
∵EH⊥AG，
∴∠AHE=∠KFE=90∘，∠AKH=∠EKF，
∴∠HAK=∠KEF=∠BEF，
∵FE=FE，∠KFE=∠BFE=90∘，
在 △KFE 和 △BFE 中，
∠KEF=∠BFE,FE=FE,∠KFE=∠BFE,
∴△KFE≌△BFE，
∴BF=KF=12BK．
∵OF=OB−BF，AK=AB−B，
∴AK=2OF．
（3） 如图，连接 CO 并延长交 AG 于点 M，连接 BG．
设 ∠GAB=α，
∵AC=CG，
∴ 点 C 在 AG 的垂直平分线上，
∵OA=OG，
∴ 点 O 在 AG 的垂直平分线上，
∴CM 垂直平分 AG，
∴AM=GM，∠AGC+∠GCM=90∘，
∵AF⊥CG，
∴∠AGC+∠GAF=90∘，
∴∠GAF=∠GCM=α，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠AGB=90∘，
∴∠AGB=∠CMG=90∘，
∵AB=AC=CG，
在 △KFE 和 △BFE 中，
∠GAB=∠MCG,AB=CG,∠AGB=∠CMG,
∴△AGB≌△CMG，
∴BG=GM=12AG，
在 Rt△AGB 中，tan∠GAB=tanα=GBAG=12，
∵∠AMC=∠AGB=90∘，
∴BG∥CM，
∴∠BGC=∠MCG=α，
设 BF=KF=a，tan∠BGF=tanα=BFGF=12，
∴GF=2a，tan∠GAF=tanα=GFAF=12，
∴AF=4a，
∵OK=1，
∴OF=a+1，AK=2a+1，
∴AF=AK+KF=a+2a+1=3a+2，
∴3a+2=4a，
∴a=2，AK=6，
∴AF=4a=8，AB=AC=CG=10，GF=2a=4，FC=CG−GF=6，
在 Rt△BFC 中，tan∠BCF=BFFC=13，
∵∠BAD+∠ABD=90∘，∠FBC+∠BCF=90∘，
∴∠BCF=∠BAD，
∴tan∠BAD=tan∠BCF=13，
∵AB=10，可求 BD=10，AD=310，
过点 K 作 KW⊥AD 于点 W，则 KW∥BC，
∴KWBD=AWAD=AKAB=35，
可求，AW=9105，KW=3105，
∵CM⊥AC，EH⊥AC，
∴EH∥CM，
∴∠LKW=∠BCM，
∴tan∠BCM=2tanα1−tan2α=2×121−122=43，
∴WLKW=43，
∴WL=4105，
∴AL=AW+WL=13105．
27. （1） 将 A1,0，B3,0 代入抛物线解析式得 a+b−3=0, ⋯⋯①9a+3b−3=0, ⋯⋯②
解得 a=−1,b=4,
∴ 抛物线解析式为 y=−x2+4x−3．
（2） 如图 2，过点 P 作 PG⊥x 轴于点 G，PS⊥y 轴于点 S，
AG=t−1，GP=t2−4t+3，
在 Rt△PAG 中，tan∠PAG=PGAG=t2−4t+3t−1=t−3，
在 Rt△AKO 中，tan∠KAO=OKOA=OK1=t−3，OK=t−3，
∴CK=t−3+3=t，
∴S=12CK⋅PS=12t2t>3．
（3） 如图 3，过点 E 作 ER⊥x 轴于点 R，
∵OE⊥OP，∠REO=∠POG，OE=OP，∠ERO=∠OGP，
在 △OER 和 △POG 中，
∠REO=∠POGOE=OP,∠ERO=∠OGP,
∴△OER≌△POG，
∴OG=ER=t，OR=PG=t2−4t+3，AR=t2−4t+4，∠REA=∠PAG，
tan∠REA=ARER=t2−4t+4t，tan∠REA=tan∠PAG，t2−4t+4t=t−3，
解得 t=4，
∴ 点 E−3,−4，点 P4,−3，
CP∥OG，AR=ER=4，
∴∠EAR=∠QAB=45∘，
如图 3，过点 Q 作 QT⊥x 轴于点 T，并延长 CP 于点 V，连接 QB，
设点 Qm,−m2+4m−3，由 QT=AT 可得 −m2+4m−3=m−1，
解得 m=1或2，
∴ 点 Q2,1，AT=BT=1，
∴∠AQB=90∘，
过点 A 作 AU⊥x 轴并截取 AU=BF，连接 QU，
∠QAU=∠QBT=45∘，QA=QB，
在 △QAU 和 △QBF 中，
∠QAU=∠QBT,AU=BF,QA=QB,
∴△QAU≌△QBF，
∴∠AQU=∠BQF，
∴QF=QU，∠HQU=∠HQF=45∘，QH=QH，
在 △QUH 和 △QHF 中，
∠HQU=∠HQF,QH=QH,QF=QU,
∴△QUH≌△QHF，
∴UH=HF，
设 AH=3k，则 HF=5k，
在 Rt△AUH 中，AU=3k，
∴AH:HF:FB=3:5:4，
∴AH=HT=12，TF=13tan∠HQT=12tan∠FQT=13，
设 EC 直线解析式为 y=kx+c 过点 E−3,−4，点 C0,−3，
所求解析式为 y=13x−3，
过点 M 作 MV⊥QV 过点 N 作 NL⊥QV 于点 L 设点 Mx,13−3，
由 tan∠HQT=MVQV=12 可得 x=0，点 M0,−3 与点 C 重合，设点 Nn,13n−3，
tan∠FQT=NLQL=13，解得 n=3，
∴S△NMKS=xNxP=34．