2018年哈尔滨市南岗区中考一模数学试卷

这是一份2018年哈尔滨市南岗区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −19 的相反数是
A. 9B. −9C. 19D. −19

2. 下列运算正确的是
A. −3x−4=−3x+12B. −3x2⋅4x2=−12x4
C. 3x+2x2=5x3D. x6÷x2=x3

3. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 一个正多边形的每个外角都等于 36∘，那么它是
A. 正六边形B. 正八边形C. 正十边形D. 正十二边形

5. 下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是
A. B.
C. D.

6. 方程 1x−2+2=x2−x 的解为
A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4

7. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列说法正确的是
A. abc<0，b2−4ac>0B. abc>0，b2−4ac>0
C. abc<0，b2−4ac<0D. abc>0，b2−4ac<0

8. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，若 ⊙O 的半径为 4，且 ∠B=2∠D，连接 AC，则线段 AC 的长为
A. 42B. 43C. 6D. 8

9. 如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 分别交 l1，l2，l3 于点 A，B，C，直线 DF 分别交 l1，l2，l3 于点 D，E，F，AC 与 DF 相交于点 H，则下列式子不正确的是
A. ABBC=DEEFB. ABDE=BCEFC. ABAC=DEDFD. ABBC=BECF

10. 已知下列命题：
①三角形两边的差小于第三边；
②依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；
③圆的切线垂直于过切点的半径；
④在数据 1，2，3，0，2 中，众数是 3，中位数是 3；
⑤若一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）的图象不经过第二象限，则 b<0，
其中真命题的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 肥皂泡沫的泡壁厚度大约是 0.0007 mm，则数据 0.0007 用科学记数法表示为 ．

12. 在函数 y=xx−6 中，自变量 x 的取值范围是 ．

13. 把多项式 5a3b−10a2b+5ab 分解因式的结果是 ．

14. 计算：24−1816 的结果是 ．

15. 不等式组 2x+1>−1,3x+2≥4x+2 的整数解是 ．

16. 一个扇形的弧长是 20π cm，面积是 240π cm2，则这个扇形的圆心角是 度．

17. 从 −1，2，4，−8 这四个数中任选两数，分别记作 m，n，那么点 m,n 在函数 y=8x 图象上的概率是 ．

18. 如图，数学活动小组为了测量学校旗杆 AB 的高度，使用长为 2 m 的竹竿 CD 作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面 O 处重合，测得 OD=4 m，BD=14 m，则旗杆 AB 的高为 m．

19. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l 的解析式为 y=−12x+3，点 A 在直线 l 上，且点 A 的横坐标为 2，过点 A 的直线 m 的解析式为 y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）．若直线 m 与直线 l 相交形成的一个锐角的正切值为 13，则代数式 kb 的值为 ．

20. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，连接 AE，△ABE 与 △ABʹE 关于直线 AE 对称，点 Bʹ 在矩形 ABCD 的内部，连接 BʹC，BʹD，若 △BʹCD 是等腰直角三角形，则 ADCD 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
21. 先化简，再求代数式 a2−4a+4a2+a÷a−2a+1−1 的值，其中 a=2sin45∘．

22. 在正方形网格中，我们把，每个小正方形的顶点叫做格点，连接任意两个格点的线段叫网格线段，以网格线段为边组成的图形叫做格点图形，在下列如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1．
（1）请你在图1中画一个格点图形，且该图形是边长为 5 的菱形；
（2）请你在图2中用网格线段将其切割成若干个三角形和正方形，拼接成一个与其面积相等的正方形，并在图3中画出格点正方形.

23. 为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如图所示的尚不完整的统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ；通过“电视”了解新闻的人数占被调查人数的百分比为 ；扇形统计图中，“手机上网”所对应的圆心角的大小是 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该市约有 950 万人，请你估计其中有多少万人将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”?

24. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE 平分 ∠BAD，分别交 DC 的延长线、 BC 于点 E，F．
（1）求证：DA=DE；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．

25. 某商店用 640 元钱购进水果销售，过了一段时间，又用 1600 元钱购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的 2 倍，但每千克水果的价格比第一次购进的贵了 2 元．
注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．
（1）该商店第一次购进水果多少千克?
（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的 50 千克水果按标价的六折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于 400 元，则每千克水果的标价至少是多少元?

26. 已知：⊙O 是 △ABC 的外接圆，点 D 在 AC 上，连接 AD，BD，AD 的延长线交 BC 的延长线于点 E，点 F 在 BD 上，连接 EF，∠ACB=2∠DEF．
（1）如图 1，求证：∠DEF=∠DFE；
（2）如图 2，延长 EF 交 AB 于点 G，若 AE=BF，求证：AG=BG；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 OG，若 cs∠AGE=513，S△BEF=60，AD=1121BD，求线段 OG 的长．

27. 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y=ax2+bx−6 经过 A−3,0，B2,0 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 2，点 C 是第三象限抛物线上的一个动点，过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 D，连接 BC，设点 C 的横坐标为 t，∠BCD 的正切值为 m，当 t<−12 时，求 m 与 t 的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围）；
（3）如图 3，在（2）的条件下，过点 A 作 x 轴的垂线 l，点 E 在直线 l 上，连接 AC，DE 交于点 F，当 2∠CDF+∠CFD=90∘，且 AC=DE 时，求 m 的值；请在射线 CB 上取点 G，连接 AG，EG，若 △AEG 为等腰三角形，直接写出符合条件的所有点 G 的坐标．
答案
第一部分
1. C【解析】−19 的相反数是：19．
2. A
3. A【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
4. C【解析】由题意可知：360÷36=10．
5. B
【解析】A、左视图为，俯视图为，主视图与俯视图不同，故此选项不合题意；
B、左视图为，俯视图为，主视图与俯视图相同，故此选项符合题意；
C、左视图为，俯视图为，主视图与俯视图不同，故此选项不合题意；
D、左视图为，俯视图为，主视图与俯视图不同，故此选项不合题意．
6. A【解析】原方程变形得：1+2x−4=−x，
移项合并得：3x=3，
解得：x=1，
经检验 x=1 是分式方程的解．
7. B
8. B【解析】如图，连接 OA，OC，过 O 作 OE⊥AC，
∵ 四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，∠B=2∠D，
∴∠B+∠D=3∠D=180∘，解得：∠D=60∘，
∴∠AOC=120∘，
在 Rt△AEO 中，OA=4，
∴AE=23，
∴AC=43．
9. D【解析】∵l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF 或 ABAC=DEDF，
∴ABDE=BCEF．
10. C
【解析】三角形两边的差小于第三边，所以①正确；
依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，所以②正确；
圆的切线垂直于过切点的半径，所以③正确；
在数据 1，2，3，0，2 中，众数是 2，中位数是 2，所以④错误；
若一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）的图象不经过第二象限，则 k>0，b≤0，所以⑤错误．
第二部分
11. 7×10−4
12. x≠6
【解析】依题意得 x−6≠0，
∴x≠6．
13. 5aba−12
【解析】原式=5aba2−2a+1=5aba−12.
14. −6
【解析】原式=26−18×66=26−36=−6.
15. x=0
【解析】2x+1>−1, ⋯⋯①3x+2≥4x+2, ⋯⋯②
解不等式 ① 得：x>−1，
解不等式 ② 得：x≤0，
∴ 不等式组的解集为 −1 ∴ 不等式组的整数解为 x=0．
16. 150
17. 13
【解析】画树状图得如图所示：
共有 12 种等可能的结果，点 m,n 恰好在反比例函数 y=8x 图象上的有：−1,−8，2,4，4,2，−8,−1，共四种．
∴ 点 m,n 在函数 y=8x 图象上的概率是：412=13．
18. 9
19. −4 或 −1649
【解析】①如图 1，当 D 在 B 的左侧时，过 A 作 AE⊥x 轴于 E，过 D 作 DH⊥AB 于 H，
直线 l 的解析式 y=−12x+3，
令由 y=0，则 x=6；令 x=0，则 y=3；令 x=2，则 y=2；
∴B6,0，A2,2，C0,3，
∴AE=2，BE=6−2=4，
∴ 在 Rt△ABE 中，AB=25，
∵tan∠BAD=DHAH=13，tan∠DBH=COBO=DHBH=12，
∴BHAH=23，
∴BH=25AB=455，DH=255，
∴BD=DH2+BH2=2，
∴OD=OB−BD=6−2=4，即 D4,0，
又 ∵A2,2，
∴ 代入直线 y=kx+b，可得 2k+b=2,4k+b=0,
∴k=−1,b=4,
∴kb=−4；
②如图，当 D 在 B 的右侧时，过 A 作 AE⊥x 轴于 E，过 D 作 DH⊥AB 于 H，
同理，tan∠ABE=tan∠DBH=DHBH=12，tan∠DAH=DHAH=13，
∴BHAH=23，即 AB=12BH，
又 ∵Rt△ABE 中，AB=25，
∴BH=45，DH=25，
∴Rt△BDH 中，BD=DH2+BH2=10，
∴D16,0，
又 ∵A2,2，
∴ 代入直线 y=kx+b，可得 2k+b=2,16k+b=0,
∴k=−17,b=167,
∴kb=−1649；
综上所述，代数式 kb 的值为 −4 或 −1649．
20. 3+12
【解析】作 BʹF⊥CD 于 F，BʹH⊥AD 于 H，如图所示．
∵△DCBʹ 是等腰直角三角形，
∴∠BʹDC=45∘，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ADC=90∘，
∴∠HDBʹ=45∘，
∴△DBʹH，△DBʹF 是等腰直角三角形，
∴DF=FBʹ=DH=HBʹ，
设 CD=2a，则 DF=DH=HBʹ=a，
∵AB=CD=ABʹ=2a，
∴HBʹ=12ABʹ，
∴∠HABʹ=30∘，
∴AH=3a，
∴AD=a+3a，
∴ADCD=a+3a2a=3+12．
第三部分
21. 原式=a−22aa+1⋅a+1a−2−1=a−2a−aa=−2a,
当 a=2sin45∘=2×22=2 时，原式=−2．
22. （1） 如图1所示：四边形即为菱形；
（2） 如图2，3所示：即为所求答案．
23. （1） 1000；15%；144
【解析】这次抽样调查的样本容量是 260÷26%=1000，
通过“电视”了解新闻的人数占被调查人数的百分比为 1501000×100%=15%；
扇形统计图中，“手机上网”所对应的圆心角的度数是 4001000×360∘=144∘．
（2） 补全条形统计图如图：
（3） 950×260+4001000=627（万人），
答：其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数约有 627 万人．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠E，
∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠DAE=∠E，
∴DA=DE．
（2） △ADE，△CEF，△ABF 是等腰三角形．
【解析】∵DA=DE，
∴△ADE 是等腰三角形；
∵∠EFC=∠ECF，
∴△CEF 是等腰三角形；
∵∠BAF=∠AFB，
∴△ABF 是等腰三角形．
25. （1） 设该商店第一次购进水果 x 千克，
根据题意得：
16002x−640x=2.
解得：
x=80.
经检验，x=80 是原方程的解，并且满足题意．
答：该商店第一次购进水果 80 千克．
（2） 设每千克水果的标价是 y 元，
则
80+160−50y+50×60%y−640−1600≥400.
解得：
y≥12.
答：每千克水果的标价至少是 12 元．
26. （1） ∵∠ADB 和 ∠ACB 所对的弧都为 AB，
∴∠ADB=∠ACB，
∵∠ACB=2∠DEF，
∴∠ADB=2∠DEF，
∵∠ADB=∠DEF+∠DFE，
∴2∠DEF=∠DEF+DFE，
∴∠DEF=∠DFE．
（2） 过点 A 作 AM⊥EG 于点 M，过点 B 作 BN⊥EG，交 EG 的延长线于点 N，如图 1 所示．
∵∠DEF=∠DFE，∠BFN=∠DFE，
∴∠DEF=∠BFN，
在 △AEM 和 △BFN 中，
∠AEM=∠BFN,∠AME=∠BNF,AE=BF,
∴△AEM≌△BFN，
∴AM=BN，EM=FN，
∴EF=MN．
在 △AGM 和 △BGN 中，
∠AGM=∠BGN,∠AMG=∠BNG,AM=BN,
∴△AGM≌△BGN，
∴AG=BG．
（3） 过点 D 作 PQ⊥EF，垂足为点 P，过点 A 作 AM 的垂线交 PQ 于点 Q，如图 2．
在 Rt△AGM 中，cs∠AGE=513，
∴tan∠AGM=AMGM=125，
设 AM=12x，则由（1）可知 GM=5x=GN，BN=AM=12x，
∴EF=MN=10x，
∵S△BEF=12×EF×BN=60，
∴12×10x×12x=60，解得 x1=1，x2=−1，
∵x>0，
∴x=1，
∴AM=12，EF=MN=10，
∴AG=GM2+AM2=52+122=13，
∵AD=1121BD，
∴ 令 AD=11n，DE=m，则 BD=21n，DF=DE=m，BF=AE=11n+m，
∵BD=BF+DF，
∴21n=11n+m+m，
∴m=5n，
∴DE=5n，
∵DE=DF，DP⊥EF，
∴PE=12EF=5，
∵∠AMP=∠MAQ=∠MPQ=90∘，
∴ 四边形 AMPQ 是矩形，
∴PM=AQ，∠Q=90∘，
∵∠ADQ=∠EDP，
∴sin∠ADQ=sin∠EDP，
∴AQAD=EPDE，
∴AQ×DE=AD×EP，
∴AQ×5n=11n×5，
∴AQ=11=PM，
∴EM=EP+PM=5+11=16，
在 Rt△AEM 中，AE=AM2+EM2=122+162=20=16n，
∴n=54，
∴DF=DE=5n=254，
在 Rt△PDE 中，PD=DE2−PE2=2542−52=154，
过点 F 作 FH⊥AE，垂足为 H，
∵S△DEF=12×EF×DP=12×DE×FH，
∴12×10×154=12×254×FH，
∴FH=6，
在 Rt△DFH 中，DH=DF2−FH2=2542−62=74，
∴tan∠FDH=FHDH=247，
连接 OA，OB，
∵AG=BG，
∴OG⊥AB，
∵OA=OB，
∴∠AOG=12∠AOB，
又 ∵∠ADB=12∠AOB，
∴∠AOG=∠ADB，
∴tan∠AOG=tan∠ADB=247，
∴AGOG=247，
∴13OG=247，
∴OG=9124．
27. （1） 把 A−3,0，B2,0 代入 y=ax2+bx−6 得 9a−3b−6=0,4a+2b−6=0,
解得 a=1,b=1,
∴ 抛物线的解析式为：y=x2+x−6．
（2） 如图 1，过点 B 作 BM⊥CD，交 CD 的延长线于 M，令 CM 与 y 轴的交点为 N，
∵ 点 C 是第三象限抛物线上的一个动点，且点 C 的横坐标为 t，
∴Ct,t2+t−6，
∵∠BON=∠ONM=∠BMN=90∘，
∴ 四边形 ONMB 是矩形，
∴BM=ON=−t2−t+6，
在 Rt△BCM 中，m=tan∠BCD=BMCM=−t2−t+6−t−2=t+3．
（3） 12,−32，−4+142,−8+142．
【解析】如图 2，延长 DC 交直线 l 于点 H，过点 D 作 DP⊥x 轴于 P，
∵y=x2+x−6=x+122−254，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=−12，
∴Ct,t2+t−6 与点 D 关于直线 x=−12 对称，
∴ 点 D 的坐标为 −1−t,t2+t−6，
令 ∠CDF=α，则 ∠AFE=∠CFD=90∘−2α，∠DEH=90∘−α，
∴∠CAH=∠DEH−∠AFE=90∘−α−90∘−2α=α=∠CDF，
在 △DEH 和 △ACH 中，
∠EDH=∠CAH,∠EHD=∠CHA=90∘,DE=AC,
∴△DEH≌△ACHAAS，
∴DH=AH，CH=EH，
∵∠PAH=∠AHD=∠APD=90∘，
∴ 四边形 AHDP 是正方形，
∴DH=AP=OA+OP=3+−1−t=2−t，
∵AH=yD=−t2−t+6，
∴2−t=−t2−t+6，
解得 t1=2，t2=−2，
∵ 点 C 在第三象限，
∴t=−2，
∴m=t+3=−2+3=1，
∴C−2,−4，D 的坐标为 1,−4，
∴CD=AE=3，
∴E−3,−3，
∵B2,0，
设直线 BC 的解析式为 y=kx+c，
∴2k+c=0,−2k+c=−4,
解得 k=1,c=−2,
∴ 直线 BC 的解析式为 y=x−2，
设 Gn,n−2，
当 AG=EG 时，则 G 的纵坐标为 −32，代入 y=x−2，求得 x=12，
∴G112,−32；
当 AE=AG 时，则 32=n+32+n−22，
整理得：n2+n+2=0，方程无解；
当 AE=EG 时，则 32=−3−n2+−3−n+22，
解得 n1=−4+142，n2=−4−142，
∵n>−2，
∴G2−4+142,−8+142，
故符合条件的所有点 G 的坐标为 12,−32，−4+142,−8+142．