2018年北京市东城区中考一模数学试卷

这是一份2018年北京市东城区中考一模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，若数轴上的点 A，B 分别与实数 −1，1 对应，用圆规在数轴上画点 C，则与点 C 对应的实数是
A. 2B. 3C. 4D. 5

2. 当函数 y=x−12−2 的函数值 y 随着 x 的增大而减小时，x 的取值范围是
A. x>0B. x<1C. x>1D. x 为任意实数

3. 若实数 a，b 满足 ∣a∣>∣b∣，则与实数 a，b 对应的点在数轴上的位置可以是
A. B.
C. D.

4. 如图，⊙O 是等边 △ABC 的外接圆，其半径为 3．图中阴影部分的面积是
A. πB. 3π2C. 2πD. 3π

5. 点 A4,3 经过某种图形变化后得到点 B−3,4，这种图形变化可以是
A. 关于 x 轴对称B. 关于 y 轴对称
C. 绕原点逆时针旋转 90∘D. 绕原点顺时针旋转 90∘

6. 甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做 6 个，甲做 30 个所用的时间与乙做 45 个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做 x 个，那么可列方程为
A. 30x=45x+6B. 30x=45x−6C. 30x−6=45xD. 30x+6=45x

7. 第 24 届冬奥会将于 2022 年在北京和张家口举行．冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等．如图，有 5 张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有跳台滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，背面完全相同．现将这 5 张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是
A. 15B. 25C. 12D. 35

8. 如图 1 是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A 为入口，F，G 为出口，其中直行道为 AB，CG，EF，且 AB=CG=EF；弯道为以点 O 为圆心的一段弧，且 BC，CD，DE 所对的圆心角均为 90∘．甲、乙两车由 A 口同时驶入立交桥，均以 10 m/s 的速度行驶，从不同出口驶出．其间两车到点 O 的距离 ym 与时间 xs 的对应关系如图 2 所示．结合题目信息，下列说法错误的是
A. 甲车在立交桥上共行驶 8 s
B. 从 F 口出比从 G 口出多行驶 40 m
C. 甲车从 F 口出，乙车从 G 口出
D. 立交桥总长为 150 m

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 要使二次根式 x−1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

10. 分解因式：m2n−4n= ．

11. 若多边形的内角和为其外角和的 3 倍，则该多边形的边数为 ．

12. 化简代数式 x+1+1x−1÷x2x−2，正确的结果为 ．

13. 含 30∘ 角的直角三角板与直线 l1，l2 的位置关系如图所示，已知 l1∥l2，∠1=60∘．以下三个结论中正确的是 （只填序号）．
① AC=2BC；
② △BCD 为正三角形；
③ AD=BD．

14. 将直线 y=x 的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后，所得直线的函数表达式为 ，这两条直线间的距离为 ．

15. 举重比赛的总成绩是选手的挺举与抓举两项成绩之和，若其中一项三次挑战失败，则该项成绩为 0．甲、乙是同一重量级别的举重选手，他们近三年六次重要比赛的成绩如下（单位：公斤）：
如果你是教练，要选派一名选手参加国际比赛，那么你会选派 （填“甲”或“乙”），理由是 ．

16. 已知正方形 ABCD．
求作：正方形 ABCD 的外接圆．
作法：如图，
（1）分别连接 AC，BD，交于点 O；
（2）以点 O 为圆心，OA 长为半径作 ⊙O．
⊙O 即为所求作的圆．
请回答：该作图的依据是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2sin60∘−π−20+13−2+1−3．

18. 解不等式组 4x+6>x,x+23≥x, 并写出它的所有整数解．

19. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AD⊥BC 于点 D．BF 平分 ∠ABC 交 AD 于点 E，交 AC 于点 F．求证：AE=AF．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−m+3x+m+2=0．
（1）求证：无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于 4，求 m 的值．

21. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，延长 BA 至点 E，使 AE=AB，连接 DE，AC．
（1）求证：四边形 ACDE 为平行四边形；
（2）连接 CE 交 AD 于点 O．若 AC=AB=3，csB=13，求线段 CE 的长．

22. 已知函数 y=3xx>0 的图象与一次函数 y=ax−2a≠0 的图象交于点 A3,n．
（1）求实数 a 的值；
（2）设一次函数 y=ax−2a≠0 的图象与 y 轴交于点 B．若点 C 在 y 轴上，且 S△ABC=2S△AOB，求点 C 的坐标．

23. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，点 C，D 在 ⊙O 上，且点 C 是 BD 的中点．过点 C 作 AD 的垂线 EF 交直线 AD 于点 E．
（1）求证：EF 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 BC．若 AB=5，BC=3，求线段 AE 的长．

24. 随着高铁的建设，春运期间动车组发送旅客量越来越大．相关部门为了进一步了解春运期间动车组发送旅客量的变化情况，针对 2014 年至 2018 年春运期间铁路发送旅客量情况进行了调查，具体过程如下．
（1）收集、整理数据．
请将表格补充完整：
年份20142015201620172018动车组发送旅客量a亿人次铁路发送旅客总量b亿人次动车组发送旅客量占比ab×100%34.5%41.3%47.6%52.6%
（2）描述数据．
为了更直观地显示春运期间动车组发送旅客量占比的变化趋势，需要用 （填“折线图”或“扇形图”）进行描述；
（3）分析数据、做出推测．
预计 2019 年春运期间动车组发送旅客量占比约为 ，你的预估理由是 ．

25. 如图，在等腰 △ABC 中，AB=AC，点 D，E 分别为 BC，AB 的中点，连接 AD．在线段 AD 上任取一点 P，连接 PB，PE．若 BC=4，AD=6，设 PD=x（当点 P 与点 D 重合时，x 的值为 0），PB+PE=y．小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变换而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）
（1）通过取点、画图、计算，得到了 x 与 y 的几组值，如表：
（说明：补全表格时，相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）函数 y 的最小值为 （保留一位小数），此时点 P 在图 1 中的位置为 ．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−4ax+3a−2a≠0 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧）．
（1）当抛物线过原点时，求实数 a 的值；
（2）①求抛物线的对称轴；
②求抛物线的顶点的纵坐标（用含 a 的代数式表示）；
（3）当 AB≤4 时，求实数 a 的取值范围．

27. 已知 △ABC 中，AD 是 ∠BAC 的平分线，且 AD=AB，过点 C 作 AD 的垂线，交 AD 的延长线于点 H．
（1）如图 1，若 ∠BAC=60∘．
①直接写出 ∠B 和 ∠ACB 的度数；
②若 AB=2，求 AC 和 AH 的长；
（2）如图 2，用等式表示线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系，并证明．

28. 给出如下定义：对于 ⊙O 的弦 MN 和 ⊙O 外一点 P（M，O，N 三点不共线，且 P，O 在直线 MN 的异侧），当 ∠MPN+∠MON=180∘ 时，则称点 P 是线段 MN 关于点 O 的关联点．图 1 是点 P 为线段 MN 关于点 O 的关联点的示意图．在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 1．
（1）如图 2，M22,22，N22,−22．在 A1,0，B1,1，C2,0 三点中，是线段 MN 关于点 O 的关联点的是 ；
（2）如图 3，M0,1，N32,−12，点 D 是线段 MN 关于点 O 的关联点．
① ∠MDN 的大小为 ∘；
②在第一象限内有一点 E3m,m，点 E 是线段 MN 关于点 O 的关联点，判断 △MNE 的形状，并直接写出点 E 的坐标；
③点 F 在直线 y=−33x+2 上，当 ∠MFN≥∠MDN 时，求点 F 的横坐标 xF 的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. D
4. D
5. C
6. A
7. B
8. C
第二部分
9. x≥1
10. nm+2m−2
11. 8
12. 2x
13. ②③
14. y=x+2，2
15. 答案不唯一，答案不唯一
16. 正方形的对角线相等且互相平分，圆的定义
第三部分
17. 原式=2×32−1+9+3−1=23+7.
18.
4x+6>x, ⋯⋯①x+23≥x, ⋯⋯②
由 ① 得，
x>−2.
由 ② 得，
x≤1.
所以不等式组的解集为
−2所有整数解为 −1，0，1．
19. ∵∠BAC=90∘，
∴∠FBA+∠AFB=90∘，
∵AD⊥BC，
∴∠DBE+∠DEB=90∘，
∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠DBE=∠FBA，
∴∠AFB=∠DEB，
∵∠DEB=∠FEA，
∴∠AFB=∠FEA，
∴AE=AF．
20. （1） Δ=m+32−4m+2=m+12，
∵m+12≥0，
∴ 无论实数 m 取何值，方程总有两个实根．
（2） 由求根公式，得 x1,2=m+3±m+12，
∴x1=1，x2=m+2，
∵ 方程有一个根的平方等于 4，
∴m+22=4．解得 m=−4，或 m=0．
21. （1） ∵ 平行四边形 ABCD,
∴AB=DC，AB∥DC．
∵AB=AE，
∴AE=DC，AE∥DC．
∴ 四边形 ACDE 为平行四边形．
（2） ∵AB=AC，
∴AE=AC．
∴ 平行四边形 ACDE 为菱形．
∴AD⊥CE．
∵AD∥BC，
∴BC⊥CE．
在 Rt△EBC 中，BE=6，csB=BCBE=13，
∴BC=2．
根据勾股定理，求得 BC=42．
22. （1） ∵ 点 A3,n 在函数 y=3xx>0 的图象上，
∴n=1，点 A3,1．
∵ 直线 y=ax−2a≠0 过点 A3,1，
∴3a−2=1，
解得 a=1．
（2） 易求得 B0,−2．
如图，
S△AOB=12OB⋅xA，S△ABC=12BC⋅xA，
∵S△ABC=2S△AOB，
∴BC=2OB=4，
∴C10,2 或 C20,−6．
23. （1） 连接 OC．
因为 CD=CB，
所以 ∠1=∠3．
因为 OA=OC，
所以 ∠1=∠2．
所以 ∠3=∠2．
所以 AE∥OC．
因为 AE⊥EF，
所以 OC⊥EF．
因为 OC 是 ⊙O 的半径，
所以 EF 是 ⊙O 的切线．
（2） 因为 AB 为 ⊙O 的直径，
所以 ∠ACB=90∘．
根据勾股定理，由 AB=5，BC=3，可求得 AC=4．
因为 AE⊥EF，
所以 ∠AEC=90∘．
所以 △AEC∽△ACB．
所以 AEAC=ACAB．
所以 AE4=45．
所以 AE=165．
24. （1） 56.8%
（2） 折线图
（3） 答案不唯一，预估的理由须支撑预估的数据，参考数据 61% 左右．
25. （1） 4.5
（2）
（3） 4.2；点 P 是 AD 与 CE 的交点
26. （1） ∵ 点 O0,0 在抛物线上，
∴3a−2=0，a=23．
（2） ①对称轴为直线 x=2；
②顶点的纵坐标为 −a−2．
（3） （i）当 a>0 时，
依题意，−a−2<0,3a−2≥0.
解得 a≥23．
（ii）当 a<0 时，
依题意，−a−2>0,3a−2≤0,
解得 a<−2．
综上，a<−2 或 a≥23．
27. （1） ① ∠B=75∘，∠ACB=45∘；
②作 DE⊥AC 交 AC 于点 E．
Rt△ADE 中，由 ∠DAC=30∘，AD=2 可得 DE=1，AE=3．
Rt△CDE 中，由 ∠ACD=45∘，DE=1，可得 EC=1．
所以 AC=3+1．
Rt△ACH 中，由 ∠DAC=30∘，可得 AH=3+32．
（2） 线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系：2AH=AB+AC．
证明：延长 AB 和 CH 交于点 F，取 BF 中点 G，连接 GH．
易证 △ACH≌△AFH．
∴AC=AF，HC=HF．
∴GH∥BC．
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB．
∴∠AGH=∠AHG．
∴AG=AH．
∴AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2AB+BG=2AG=2AH．
28. （1） C
（2） ① 60
② △MNE 是等边三角形，点 E 的坐标为 3,1；
③直线 y=−33x+2 交 y 轴于点 K0,2，交 x 轴于点 T23,0．
∴OK=2，OT=23．
∴∠OKT=60∘．
作 OG⊥KT 于点 G，连接 MG．
∵M0,1，
∴OM=1，
∴M 为 OK 中点，
∴MG=MK=OM=1，
∴∠MGO=∠MOG=30∘，OG=3．
∴G32,32．
∵∠MON=120∘，
∴∠GON=90∘．
又 OG=3，ON=1，
∴∠OGN=30∘，
∴∠MGN=60∘，
∴G 是线段 MN 关于点 O 的关联点．
经验证，点 E3,1 在直线 y=−33x+2 上．
结合图象可知，当点 F 在线段 GE 上时，符合题意．
∵xG≤xF≤xE，
∴32≤xF≤3．