专题06 二次函数与圆的综合问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版）

这是一份专题06 二次函数与圆的综合问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版），共47页。


【典例分析】
例1 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．

（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；
①求此抛物线的函数解析式；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
（2）如图2，若a=1，c=-4，求证：无论b取何值，点D的坐标均不改变．
思路点拨

（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，可得C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，根据根与系数的关系可得OA•OB=4．由A、D、B、C四点共圆可得∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，从而可得△ADO∽∽△CBO，根据相似三角形的性质可得OC•OD=OA•OB=4，从而可得OD=1，即可得到D（0，1），因而无论b取何值，点D的坐标均不改变．
满分解答
（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴，解得．
∴抛物线的解析式为y=x2-x-4；
②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．


∴D（0，4）．
设直线BD的解析式为y=mx+n．
∵B（8，0），D（0，4），
∴，
解得，

（2）连接AD、BC，如图2．

若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，
则C（0，-4），OC=4．
设点A（x1，0），B（x2，0），
则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，
∴OA•OB=-x1•x2=-（-4）=4．

考点：圆的综合题
例2已知抛物线经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

思路点拨
(1)用待定系数法求解;
(2) 假设存在，分两种情况讨论
(3)根据面积公式,列出二次函数,求函数的最值.
满分解答
（1）将A(3,0),B(4,1)代人
得
∴
∴
∴C(0,3)

②当∠ABP=90O时,过B作BP∥AC,BP交抛物线于点P.
∵A(3,0),C(0,3)
∴直线AC的函数关系式为
将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合.
则直线BP的函数关系式为
由,得
又B(4,1),
∴P2(-1,6).
综上所述,存在两点P1(0,3), P2(-1,6).

(3)∵∠OAE=∠OAF=45O,而∠OEF=∠OAF=45O,
∠OFE=∠OAE=45O,
∴∠OEF=∠OFE=45O,
∴OE=OF,∠EOF=90O
∵点E在线段AC上,
∴设E
∴
=
∴
=
=
=
∴当时,取最小值,
此时,
∴
例3如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C(0，4)，与x轴相交于A、B两点，且AB＝6.
(1)求D点的坐标和圆D的半径；
(2)求sin ∠ACB的值和经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式；
(3)设抛物线的顶点为F，证明直线AF与圆D相切．

思路点拨
（1）连接CD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD．依据垂径定理可知AE=3，然后依据切线的性质可知CD⊥y轴，然后可证明四边形OCDE为矩形，则DE=4，然后依据勾股定理可求得AD的长，故此可求得⊙D的半径和点D的坐标；
（2）先求得A（2，0）、B（8，0）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），将点C的坐标代入可求得a的值．根据三角形面积公式得：S△ABC=BC×ACsin∠ACB=AB×CO，代入计算即可；
（3）求得抛物线的顶点F的坐标，然后求得DF和AF的长，依据勾股定理的逆定理可证明△DAF为直角三角形，则∠DAF=90°，故此AF是⊙D的切线．
满分解答

（2）如图1所示：
∵D（5，4），∴E（5，0），∴A（2，0）、B（8，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），将点C的坐标代入得：16a=4，解得：a，∴抛物线的解析式为yx2x+4．
∵S△ABC=BC×ACsin∠ACB=AB×CO，∴sin∠ACB==．


例4如图，已知二次函数（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．

（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
（3）设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．
思路点拨
（1）解关于x的一元二次方程，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标。
（2）由二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，A、B是抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称性及圆的半径处处相等可知PM是AB的垂直平分线，且MP=MA=MB=AB，得出点P的坐标为（m，﹣2m），又根据二次函数的顶点式为（m＞0），得出顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），则﹣2m=﹣4m2，解方程求出m的值，再把m的值代入，即可求出二次函数的解析式。
（3）连接CM．根据（2）中的结论，先在Rt△OCM中，求出CM，OM的长度，利用勾股定理列式求出OC的长，再根据垂径定理得出弦CD的长等于OC的2倍。　
满分解答
（1）∵，∴当y=0时，。
解得x1=﹣m，x2=3m。
∵m＞0，∴A、B两点的坐标分别是（﹣m，0），（3m，0）。

（3）如图，连接CM，

在Rt△OCM中，
∵∠COM=90°，CM=2m=2×=1，OM=m=，
∴。
∴CD=2OC=。
例5已知圆P的圆心在反比例函数 图象上，并与x轴相交于A、B两点． 且始终与y轴相切于定点C(0，1)．

（1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;
（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形．
思路点拨
（1）连接PC，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，根据圆的切线性质，可知PC⊥轴，由勾股定理及垂径定理，C (0，1)可得到A，B即可
（2）根据菱形的对角线互相平分，则有，得到关于的方程即可
满分解答
(1)连结PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H． …………………1分

∵⊙P与轴相切于点C (0，1)，
∴PC⊥轴．
∵P点在反比例函数的图象上，
∴P点坐标为（k，1）． …………………2分
∴PA=PC=k．
在Rt△APH中，AH==，
∴OA=OH—AH=k－．
∴A（k－，0）． …………………………3分
∵由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知，PH垂直平分AB．


（2）由(1)知抛物线顶点D坐标为（k， 1－）
∴DH=－1．
若四边形ADBP为菱形．则必有PH=DH．………………………………………………10分
∵PH=1，∴－1=1．
又∵k＞1，∴k=…………………………………………………………11分
∴当k取时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形． …………………12分
例6如图，二次函数y=x2+px+q（p<0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为。

（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
思路点拨
（1）由△ABC的面积为，可得AB×OC=，又二次函数y=x2+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1）可求得该二次函数的关系式；
（2）根据直线与圆的位置的位置关系确定m的取值范围．
（3）四边形ABCD为直角梯形，要分类讨论，即究竟那条边为底．可以分别以AC、BC为底进行讨论．
满分解答

由直角坐标系上两点间的距离公式可得x2-x1=AB=，
∴，

（2）设△ABC的外接圆交y轴于另一点D，如图
由得x1=2，，
∴，
连接AD，

在△ABC的外接圆中，
∵，
∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∴，
∴DO=1，
∴CO=DO=1，
又∵AB⊥CD，
∴AB过△ABC外接圆的圆心，即AB为△ABC外接圆的直径，
∴△ABC外接圆的直径为，
∴直线与△ABC的外接圆相切，
∴；

【变式训练】
1．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣6x﹣16，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长为_____．

【答案】20
【解析】
【分析】
抛物线的解析式为y=x2-6x-16，可以求出AB=10；在Rt△COM中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=20．
【详解】


OM=5，OM=3，则：CO=4，
则：CD=CO+OD=4+16=20．
故答案是：20.
【点睛】
考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到圆的垂径定理．
2．如图，抛物线与x轴交于O、A两点．半径为1的动圆⊙P，圆心从O点出发沿抛物线向靠近点A的方向移动； 半径为2的动圆⊙Q，圆心从A点出发沿抛物线向靠近点O的方向移动．两圆同时出发，且移动速度相等， 当运动到P、Q两点重合时同时停止运动．设点P的横坐标为t．若⊙P与⊙Q相离，则t的取值范围是 ．


【答案】．
【解析】
试题分析：连接OP、PQ、AQ．∵抛物线y=x2﹣x与x轴交于O，A两点，∴O与A关于抛物线的对称轴对称，又∵动圆（⊙P）的圆心从O点出发沿抛物线向靠近点A的方向移动；动圆（⊙Q）的圆心从A点出发沿抛物线向靠近点O的方向移动，两圆同时出发，且移动速度相等，∴OP=AQ，P与Q也关于直线对称，∴四边形OPQA是等腰梯形，作等腰梯形OPQA的高PM、QN，则OM=AN=t，解方程，得，，∴A（1，0），OA=1，∴ON=OA﹣AN=1﹣t，∴点Q的横坐标是1﹣t；
若⊙P与⊙Q相离，分两种情况：①⊙P与⊙Q外离，则PQ＞2+1，即PQ＞3．


考点：二次函数综合题．
3．如图，抛物线过点 A(2，0)、B(6，0)、C(1， )，平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE+FD的值是_____________．

【答案】4


4．如图，抛物线y＝x2－x与x轴交于O，A两点. 半径为1的动圆（⊙P），圆心从O点出发沿抛物线向靠近点A的方向移动；半径为2的动圆（⊙Q），圆心从A点出发沿抛物线向靠近点O的方向移动. 两圆同时出发，且移动速度相等，当运动到P，Q两点重合时同时停止运动. 设点P的横坐标为t .

（1）点Q的横坐标是 （用含t的代数式表示）；
（2）若⊙P与⊙Q 相离，则t的取值范围是 .
【答案】（1）5－t；（2）0≤t＜1，2＜t≤.
【解析】
试题分析：（1）如图，抛物线y＝x2－x与x轴交于O，A两点，两圆刚开始分别在O，A点，所以；设点P的横坐标为t，所以点Q的横坐标=5－t

考点：二次函数和圆
点评：本题考查二次函数和圆，掌握二次函数的性质和圆相离，会判断两圆相离，圆心距与两圆半径之间的关系是本题关键
5．如图，抛物线的图象与x轴交于点A,B，交y轴于点C，动点P从点
A出发沿射线AB运动，运动的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，作△BCP的外接圆⊙M，当圆心M落在该抛物线上时，则t=_______ 秒.

【答案】6
【解析】△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=-x上，求出直线y=-x与抛物线的交点，即可推出点M坐标，由此即可解决问题.
解：∵△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=-x上
由，解得或（舍去），
∴点M坐标为（4，-4），
如图中，作MN⊥AB于N，


6．如图,圆B切y轴于原点O,过定点A(-,0)作圆B的切线交圆于点P，已知tan∠PAB=,抛物线C经过A、P两点。

(1)求圆B的半径.
(2)若抛物线C经过点B,求其解析式.
(3)设抛物线C交y轴于点M,若三角形APM为直角三角形,求点M的坐标.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）点坐标为，，，.
【解析】
【分析】
（1）因为是的切线，所以连接可构造出直角三角形，利用直角三角形的性质及特殊角的三角函数值即可求出圆的半径；
（2）根据的半径可求出点坐标，利用勾股定理或切割线定理可求出的距离，根据、的长可求出点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）求出点坐标和点坐标，设出点坐标为，根据勾股定理及其逆定理解答.
【详解】


（2）如在第一象限，与轴的夹角，
则：点坐标，
即，
、关于轴对称，所以抛物线顶点必在轴上，
设为，
抛物线解析式：，
将，代入，
得：，，，，
抛物线解析式：，
若点在四象限，则：点坐标，
则抛物线解析式：；[来源:]


【点睛】
此题将圆、抛物线、直线结合起来，考查了对知识的综合运用能力.特别是解（3）时，要应用勾股定理进行分类讨论.
7．如图，将圆C放置在直角坐标系中，圆C经过原点O以及点A（2，0），点B（0，）。

（1）求圆心的坐标以及圆C的半径； （4分）
（2）设弧OB的中点为D，请求出同时经过O,A,D三个点的抛物线解析式。
并判断该抛物线的顶点是否在圆C上，说明理由。（6分）
（3）若（2）中的抛物线上存在点P（m，n），满足∠APB为钝角，直接写出m的取值范围。（2分）
【答案】（1）点C的坐标是（1，）；
（2）顶点不在圆C上；
（3）-1 【解析】


（2）如下图所示，
连接OD交OB于点M
∴CD⊥OB于点M
∴CM=OA=1
∴MD=1
∴点D的坐标为（-1，）

∴抛物线的顶点坐标是（1，）
该点到圆心C的距离是
所以顶点不在圆C上；

（3）∵AB是圆的直径，
∴当抛物线上的点在圆内部时，∠APB是钝角，
∴m的取值范围是-1 考点：二次函数解析式的求法、圆的基本性质
点评：本题主要考查了二次函数解析式的求法与圆的基本性质.求二次函数的解析式的常用方法是待定系数法.
8．如图，已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆C与x轴相切；
（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值．

【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） ．
【解析】
试题分析：（1）可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点（4，2），可求得抛物线的解析式；
（2）联立直线和抛物线解析式可求得B、D两点的坐标，则可求得C点坐标和线段BD的长，可求得圆的半径，可证得结论；
（3）过点C作CH⊥m于点H，连接CM，可求得MH，利用（2）中所求B、D的坐标可求得FH，则可求得MF和BE的长，可求得其比值．
试题解析：
（1）∵已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），∴可设抛物线解析式为 ，∵抛物线经过点（4，2），∴，解得a=，∴抛物线解析式为，即；

（3）如图，过点C作CH⊥m，垂足为H，连接CM，由（2）可知CM=，CH=﹣1=，在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH=2，∵HF= =，∴MF=HF﹣MH=，∵BE=﹣1=，∴= =．

考点：二次函数综合题；压轴题．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点O、M．对称轴为直线x=2，以OM为直径作圆A，以OM的长为边长作菱形ABCD，且点B、C在第四象限，点C在抛物线对称轴上，点D在y轴负半轴上；

（1）求证：4a+b=0；
（2）若圆A与线段AB的交点为E，试判断直线DE与圆A的位置关系，并说明你的理由；
（3）若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角时，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）DE与圆A相切；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由题意可知（4，0），由抛物线经过点O可求得c=0，将c=0，x=4，y=0代入抛物线的解析式可证得：4a+b=0；
（2）如图1所示：由菱形的性质可知：DN=NB，DN⊥AN，由OM=AD=AB，可证明AD=AB=DB，由AE=2可知AE=EB，由等腰三角形三线合一的性质可知AE⊥DE，从而可证明DE与圆A相切；
（3）如图2所示．设点P的坐标为（2，m）．由题意可知点E的坐标为（﹣2，2），设抛物线的解析式为y=ax（x﹣4），将x=2代入得y=﹣4a即m=﹣4a．由∠OPM为锐角且抛物线的顶点在菱形的内部可知﹣4a＜﹣2、﹣4a＞﹣4，从而可求得a的取值范围．

（2）DE与圆A相切．
理由：如图1所示：


∵AE为圆A的半径，[来源:Z_X_X_K]
∴AE=EB=2．
∵AD=DB，AE=EB．
∴AE⊥DE．
∴DE与圆A相切．
（3）如图2所示．

设点P的坐标为（2，m）．
∵OM为圆A的直径，
∴∠OEM=90°．
∵AE=2，OA=2，
∴点E的坐标为（﹣2，2）．

10．已知一元二次方程的一根为．
求关于的函数关系式；
求证：抛物线与轴有两个交点；
设抛物线与轴交于、两点（、不重合），且以为直径的圆正好经过该抛物线的顶点，求，的值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或．
【解析】
【分析】
（1）把x=2直接代入一元二次方程x2+px+q+1=0中即可得到q关于p的函数关系式；
（2）利用（1）的结论证明抛物线y=x2+px+q的判别式是正数就可以了；
（3）首先求出方程x2+px+q+1=0的两根，然后用p表示AB的长度，表示抛物线顶点坐标，再利用以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点可以得到关于p的方程，解方程即可求出p．
【详解】
解：由题意得，即；
证明：∵一元二次方程的判别式，
由得，
∴一元二次方程有两个不相等的实根，
∴抛物线与轴有两个交点；

【点睛】
考查了一元二次方程的解，抛物线与轴的交点情况与判别式的关系，圆的知识等，综合性比较强，难度较大.
11．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-8，0），B（0，-6）两点．
（1）求出直线AB的函数解析式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解析式为y=﹣x﹣6；（2）详见解析（3）详见解析．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法可求出直线AB的解析式；
（2）先利用勾股定理计算出AB=10，再根据圆周角定理得到AB为⊙M的直径，则点M为AB的中点，M（﹣4，﹣3），则可确定C（﹣4，2），然后利用顶点式求出抛物线解析式；
（3）通过解方程﹣（x+4）2+2=0得到D（﹣6，0），E（﹣2，0），利用S△ABC=S△ACM+S△BCM，可求出S△ABC=10，设P（t，﹣t2﹣4t﹣6），所以（﹣2+6）|﹣t2﹣4t﹣6|=20，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．
【试题解析】（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把A（﹣8，0），B（0，﹣6）代入得，解得，所以直线AB的解析式为y=﹣x﹣6；

（3）存在．
当y=0时，﹣（x+4）2+2=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4，
∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），
S△ABC=S△ACM+S△BCM=8CM=20，


【考点】圆的综合题；二次函数；圆周角定理；解一元二次方程．
12．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点坐标为，点坐标为，以为直径的圆与轴的负半轴交于点．
（1）求图象经过，，三点的抛物线的解析式；
（2）设点为所求抛物线的顶点，试判断直线与的关系，并说明理由．

【答案】（1）（2）直线与相切，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）已知A、B两点的坐标，要求抛物线的解析式，即要求点C的坐标，由相似三角形的判定与性质求出OC的长度，即可求出点C的坐标；（2）根据抛物线解析式求出点M的坐标，分别求出MP、CP、CM的长度，利用勾股定理逆定理判定△CPM为直角三角形，从而得出PC⊥MC，所以直线MC与⊙P相切.
【详解】
解：（1）连接AC、BC；


故C(0，﹣4)，
设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x﹣2)，
代入C点坐标得：a(0+8)(0﹣2)=﹣4，a=，
故抛物线的解析式为：y=(x+8)(x﹣2)=+x﹣4；
(2)由(1)知：y=+x﹣4=﹣；
则M(﹣3，﹣)，
又∵C(0， ﹣4)，P(﹣3， 0)，
∴MP=，PC=5，MC=，
∴MP2=MC2+PC2，即△MPC是直角三角形，且∠PCM=90°，
故直线MC与⊙P相切．
【点睛】
本题主要考查二次函数解析式的求解、直线与圆相切的证明方法以及勾股定理逆定理的应用.
13．如图，已知的圆心在x轴上，且经过、两点，抛物线（m＞0）经过A、B两点，顶点为P。
C.
A
B
D
P
O
x
y

（1）求抛物线与y轴的交点D的坐标（用m的代数式表示）；
（2）当m为何值时，直线PD与圆C相切？
（3）联结PB、PD、BD，当m＝1时，求∠BPD的正切值。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
试题分析：（1）把、代入抛物线即可得到c与m的关系，从而求得抛物线与y轴的交点D的坐标；
（2）根据切线的性质结合函数图象上点的坐标的特征即可求得结果；
（3）先把m=1代入函数关系式得到点D、P的坐标，再根据正切函数的定义即可求得结果.
（1）∵抛物线的图象过点、
∴，解得
∴抛物线与y轴的交点D的坐标为；

（3）如图所示：

当m＝1时，
则D的坐标为（0，-3），P点坐标为（1，-4）
∴.
考点：二次函数的综合题
点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，要特别注意.
14．如图，抛物线与x轴的两个交点A、B，与y轴交于点C，A点坐标为（4，0），C点坐标（0，－4）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）用直尺和圆规作出△ＡＢＣ的外接圆⊙M，（不写作法，保留作图痕迹），并求⊙M的圆心M的坐标；
【答案】(1) ;(4分);(2)作图正确2分,N(1,-1)(2分);
【解析】

考点：二次函数的综合题
点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键
15．已知直线与抛物线交于点A（1，），与轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）把（1）中的抛物线向右平移2个单位，再向上平移个单位（＞0），抛物线与轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆恰好以CQ为直径，求的值；
（3）如图，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移个单位（＞0），抛物线与轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值和此时的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），C（0，-1）；（2）；（3）最小值为，
【解析】
试题分析：（1）把A（1，）分别代入直线与抛物线，即可求得结果；
（2）先根据平移的特征得到平移后的函数关系式，再根据直径所对的圆周角是直角即可得到结果；
（3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴．因此过C、P、Q三点的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，那么圆心到C点的距离也要最小，即两点的纵坐标相同，即可得到圆的半径，求出圆心的坐标．可设出平移后的抛物线的解析式，表示出PQ的长，如果设对称轴与x轴的交点为E，那么可表示出PE的长，根据勾股定理即可确定平移的距离．

（2）设平移后的抛物线函数关系式为，
由题意得，此时抛物线的图象经过原点（0，0），
则，解得；

考点：本题考查的是二次函数的综合题
点评：解答本题的关键是注意平移不改变二次项的系数；抛物线的平移，看顶点的平移即可；左右平移，只改变顶点的横坐标，左减右加；上下平移，只改变顶点的纵坐标，上加下减．
16．已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）．

（1）直接写出抛物线解析式；
（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．
①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；
②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）y=﹣x2+4。
（2）①如图，连接CE，CD，


②存在k=，能够使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上。理由如下：
设抛物线y=﹣x2+4向右平移k个单位后的解析式是y=﹣（x﹣k）2+4，它与y=﹣x2+4交于点P，
由﹣（x﹣k）2+4=﹣x2+4，解得x1=，x2=0（不合题意舍去）。
当x=时，y=﹣k2+4。
∴点P的坐标是（，﹣k2+4）。
设直线OD的解析式为y=mx，把D（k，4）代入，得mk=4，解得m=。
∴直线OD的解析式为y=x。
若点P（，﹣k2+4）在直线y=x上，得﹣k2+4=•，解得k=±（负值舍去）。
∴当k=时，O、P、D三点在同一条直线上。
【解析】
试题分析：（1）∵抛物线的顶点为（0，4），∴可设抛物线解析式为y=ax2+4。
又∵抛物线过点（2，0），∴0=4a+4，解得a=﹣1。∴抛物线解析式为y=﹣x2+4。[来源:]
（2）①连接CE，CD，根据切线的性质得出CE⊥OD，再解Rt△CDE，得出∠EDC=30°，然后Rt△CDO，得出OC=，则k=OC=。
②设抛物线y=﹣x2+4向右平移k个单位后的解析式是y=﹣（x﹣k）2+4，它与y=﹣x2+4交于点P，先求出交点P的坐标是（，﹣k2+4），再利用待定系数法求出直线OD的解析式为y=x，然后将点P的坐标代入y=x，即可求出k的值。
17．已知抛物线y=ax2+bx+c ，当x=0时，有最小值为1 ；且在直线y=2上截得的线段长为4 .

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线的任意一点，记点P到X轴的距离为d1，点P 与点 F （0，2）的距离为d2，猜想d1、 d2的大小关系，并证明；
（3）若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点）。 试判断以PQ为直径的圆与x 轴的位置关系，并说明理由。
【答案】（1）求此抛物线的解析式： y=[来源:Zxxk.Com]
（2）猜想：d1=" d"2.
设d的坐标为（x, 0.25x2+1）
d1=
= ｜0.25x2+1 |
∴d1=
(3) 以PQ为直径的圆与x 轴相切
设Q到x轴的距离为m，到F的距离为n，
根据（2）的结论，有m=n，
过PQ的中点作x的垂线，设其长度为h，
易得h=（m+d1），
同时有PQ=（n+d2）=（m+d1），
为h的2倍，
故以PQ为直径的圆与x轴相切.[来源:Z,X,X,K]
【解析】
（1）由x=0时，有最小值为1得（0，1）点经过抛物线，由在直线y=2上截得的线段长为4得出（2，2）、（-2，2）点经过抛物线，把这三点代入求出抛物线的解析式；
（2）由勾股定理即可d1=；
（3）由（2）的结论，找PQ的中点到x轴的距离与PQ的大小关系，容易证得两者相等；故以PQ为直径的圆与x轴相切．
18．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；
（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+1；
（2）△DEM的周长= ；
（3）点A1（ ， ）或（﹣， ）．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）如图1，A与E重合，根据直线y=﹣x+1求得与x轴交点坐标可得OA的长，由勾股定理得AB的长，利用等角的三角函数得：sin∠ABO= ，cos∠ABO= ，则可得DE和DM的长，根据M的横坐标代入抛物线的解析式可得纵坐标，即ME的长，相加得△DEM的周长；
（3）由旋转可知：O1A1⊥x轴，O1B1⊥y轴，设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x+1，所以点O1，A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：
①如图2，当点O1，B1同时落在抛物线上时，根据点O1，B1的纵坐标相等列方程可得结论；
②如图3，当点A1，B1同时落在抛物线上时，根据点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大 ，列方程可得结论．

（2）如图1，∵直线y=﹣x+1交x轴于点A，
当y=0时，﹣ x+1=0，x=，∴A（，0），∴OA=，
在Rt△AOB中，∵OB=1，∴AB= ，∴sin∠ABO=，cos∠ABO=，
∵ME∥x轴，
∴∠DEM=∠ABO，
∵以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，
∴∠EDM=90°，
∴DE=ME•cos∠DEM=ME，DM=ME•sin∠DEM=ME，
当点E在x轴上时，E和A重合，则m=OA=，
当x=时，y=﹣ ×（）2+×+1= ；∴ME=，
∴DE= = ，DM= =，
∴△DEM的周长=DE+DM+ME= = ；


考点：二次函数综合题．
19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）设直线与y轴的交点是D，在线段AD上任意取一点E（不与A、D重合），经过A、B、E三点的圆交直线AC于点F，试判断△BEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）（－1，－4）；（2）等腰直角三角形．
【解析】
试题分析：（1）将抛物线的解析式的一般式转化为顶点式就可以求出抛物线的顶点坐标．
（2）连接BE、BF、EF得到△BEF，由抛物线可以得出A（﹣3，0），C（0，3），由直线y=x+3与y轴的交点是D可以求出D（0，3），可以求出∠EAB=∠FAB=45°，根据圆周角定理可以求得∠EAB=∠EFB=∠FAB=∠FEB=45°，从而得出结论．


考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的性质；3．等腰直角三角形；4．圆周角定理；5．探究型．
20．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“果圆”．如图，A，B，C，D是“果圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，8），且AB=6，点P是以AB为直径的半圆的圆心，P的坐标为（1，0），连接DB，AD，动点E，F分别从A，O两点出发，以相同的速度沿x轴正方向运动，当F到达B点时两点同时停止，过点F作FG∥BD交AD于点G．
（1）求“果圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）在“果圆”上是否存在一点H，使得△DBH为直角三角形？若存在，求出H点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设M，N分别是GE，GF的中点，求在整个运动过程中，MN所扫过的图形面积．

【答案】(1) 抛物线解析式为y=﹣x2+2x+8．(2) 满足条件的点H的坐标为（，）或（﹣，﹣）或（，5+2）或（﹣，5﹣2）．(3)．
【解析】
试题分析：（1）由题意可设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），把点D（0，8）代入即可求出a，解决问题．（2）分三种情形讨论①D是直角顶点．②B是直角顶点．③H是直角顶点．分别求出点H坐标即可．（3）根据MN所扫过的图形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式计算即可．

（2）如图1中，

①当D为直角顶点时，
∵直线BD解析式为y=﹣2x+8，
∵DH1⊥BD，
∴直线DH1的解析式为y=x+8，
由，解得或，
∴点H1坐标为（，）．

③当H为直角顶点时，设H（m，﹣m2+2m+8），BD的中点K（2，4）
由题意HK=BD=2，
∴（m﹣2）2+（﹣m2+2m+4）2=20，
∴m（m﹣4）（m2﹣3）=0，
∴m=0或4或，
∴H3（，5+2），H4的坐标为（﹣，5﹣2）．
综上所述，满足条件的点H的坐标为（，）或（﹣，﹣）或（，5+2）或（﹣，5﹣2）．
（3）如图3中，设M1N1是起始位置，M2N2S 终止位置．


∵∠N1OJ=∠N2BH，∠N1JO=∠N2HB，
∴△N1JO∽△N2HB，
∴，
∴N1J=，
∴MN所扫过的图形面积就是平行四边形M1N1N2M2的面积=1×（4﹣）=．
考点：二次函数综合题．