2019_2020学年北京市西城区八下期末数学试卷

这是一份2019_2020学年北京市西城区八下期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 函数 y=1x+1 中，自变量 x 的取值范围是
A. x≠−1B. x≠1C. x>−1D. x≥−1

2. 一次函数 y=x+3 的图象不经过的象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

3. 彩陶、玉器、青铜器等器物以及壁画、织锦上美轮美奂的纹样，穿越时空，向人们呈现出古代中国丰富多彩的物质与精神世界，各种纹样经常通过平移、旋转、轴对称以及其它几何构架连接在一起，形成复杂而精美的图案．以下图案纹样中，从整体观察（个别细微之处的细节忽略不计），大致运用了旋转进行构图的是
A. B.
C. D.

4. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 的交点为 O，点 E 为 BC 边的中点，∠OCB=30∘，如果 OE=2，那么对角线 BD 的长为
A. 4B. 6C. 8D. 10

5. 如果关于 x 的方程 x2−2x−k=0 有两个相等的实数根，那么以下结论正确的是
A. k=−1B. k=1C. k>−1D. k>1

6. 下列命题中，不正确的是
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 矩形的对角线互相垂直且平分
C. 菱形的对角线互相垂直且平分
D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分

7. 北京市 6 月某日 10 个区县的最高气温如表：（单位：∘C）
区县大兴通州平谷顺义怀柔门头沟延庆昌平密云房山最高气温32323032303229323032
则这 10 个区县该日最高气温的中位数是
A. 32B. 31C. 30D. 29

8. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 α 角（0∘<α<180∘）至 △AʹBʹC，使得点 Aʹ 恰好落在 AB 边上，则 α 等于
A. 150∘B. 90∘C. 60∘D. 30∘

9. 教育部发布的统计数据显示，近年来越来越多的出国留学人员学成后选择回国发展，留学回国与出国留学人数“逆差”逐渐缩小．2014 年各类留学回国人员总数为 36.48 万人，而 2016 年各类留学回国人员总数为 43.25 万人．如果设 2014 年到 2016 年各类留学回国人员总数的年平均增长率为 x，那么根据题意可列出关于 x 的方程为
A. 36.481+x=43.25B. 36.481+2x=43.25
C. 36.481+x2=43.25D. 36.481−x2=43.25

10. 如图，点 E 为菱形 ABCD 边上的一个动点，并沿 A→B→C→D 的路径移动，设点 E 经过的路径长为 x，△ADE 的面积为 y，则下列图象能大致反映 y 与 x 的函数关系的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 如果关于 x 的方程 x2−3x+m+2=0 有一个根为 0，那么 m 的值等于 ．

12. 如果平行四边形的一条边长为 4 cm，这条边上的高为 3 cm，那么这个平行四边形的面积等于 cm2．

13. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−2x+4 与 x 轴的交点坐标为 ，与 y 轴的交点坐标为 ，与坐标轴所围成的三角形的面积等于 ．

14. 如图，在平行四边形与 ABCD 中，CH⊥AD 于点 H，CH 与 BD 的交点为 E．如果 ∠1=70∘，∠ABC=3∠2，那么 ∠ADC= ∘．

15. 如图，函数 y=2x+b 与函数 y=kx−1 的图象交于点 P，那么点 P 的坐标为 ，关于 x 的不等式 kx−1>2x+b 的解集是 ．

16. 写出一个一次函数的解析式，满足以下两个条件：① y 随 x 的增大而增大；②它的图象经过坐标为 0,−2 的点．你写出的解析式为 ．

17. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2 cm，正方形 AEFG 的边长为 1 cm．正方形 AEFG 绕点 A 旋转的过程中，线段 CF 的长的最小值为 cm．

18. 利用勾股定理可以在数轴上画出表示 20 的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：
第一步：（计算）尝试满足 20=a2+b2，使其中 a，b 都为正整数．你取的正整数 a= ，b= ；
第二步：（画长为 20 的线段）以第一步中你所取的正整数 a，b 为两条直角边长画 Rt△OEF，使 O 为原点，点 E 落在数轴的正半轴上，∠OEF=90∘，则斜边 OF 的长即为 20．请在如图的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）
第三步：（画表示 20 的点）在如图的数轴上画出表示 20 的点 M，并描述第三步的画图步骤： ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解方程：x2−6x−1=0．

20. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB=10，BC=6，AC=AD=8．
（1）求 ∠ACB 的度数；
（2）求 CD 边的长．

21. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出 注．问户斜几何．
注释：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺；斜放恰好能出去．
解决下列问题：
（1）示意图中，线段 CE 的长为 尺，线段 DF 的长为 尺；
（2）求户斜多长．

22. 2016 年 9 月开始，初二年级的同学们陆续到北京农业职业技术学院进行了为期一周的学农教育活动．丰富的课程开阔了同学们的视野，其中“酸奶的制作”课程深受同学们喜爱．学农 1 班和学农 2 班的同学们经历“煮奶—降温—发酵—后熟”四步，制作了“凝固型”酸奶．现每班随机抽取 10 杯酸奶做样本（每杯 100 克），记录制作时所添加蔗糖克数如表 1 、表 2 所示．
表 1：学农 1 班所抽取酸奶添加蔗糖克数统计表（单位：克）
编号12345678910蔗糖质量
表 2：学农 2 班所抽取酸奶添加蔗糖克数统计表（单位：克）
编号12345678910蔗糖质量
据研究发现，若蔗糖含量在 5%∼8%，即 100 克酸奶中，含糖 5∼8 克的酸奶口感最佳．两班所抽取酸奶的相关统计数据如表 3 所示．
表 3：两班所抽取酸奶的统计数据表
酸奶口感最佳的杯数杯每杯酸奶中添加的蔗糖克数平均值克每杯酸奶中添加的蔗糖克数的方差学农1班学农2班
根据以上材料回答问题：
（1）表 3 中，x= ：
（2）根据以上信息，你认为哪个学农班的同学制作的酸奶整体口感较优?请说明理由．

23. （1）阅读以下内容并回答问题：
问题：在平面直角坐标系 xOy 中，将直线 y=−2x 向上平移 3 个单位，求平移后直线的解析式．
小雯同学在做这类问题时经常困惑和纠结，她做此题的简要过程和反思如下．
在课堂交流中，小谢同学听了她的困惑后，给她提出了下面的建议：“你可以找直线上的关键点，比如点 A1,−2，先把它按要求平移到相应的对应点 Aʹ，再用老师教过的待定系数法求过点 Aʹ 的新直线的解析式，这样就不用纠结了．”
小雯用这个方法进行了尝试，点 A1,−2 向上平移 3 个单位后的对应点 Aʹ 的坐标为 ，过点 Aʹ 的直线的解析式为 ；
（2）小雯自己又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验此方法，请你也试试看：将直线 y=−2x 向右平移 1 个单位，平移后直线的解析式为 ，另外直接将直线 y=−2x 向 （填“上”或“下”）平移 个单位也能得到这条直线；
（3）请你继续利用这个方法解决问题：
对于平面直角坐标系 xOy 内的图形M，将图形M上所有点都向上平移 3 个单位，再向右平移 1 个单位，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．求将直线 y=−2x 进行两次“斜平移”后得到的直线的解析式．

24. （1）画图 − 连线 − 写依据：
先分别完成以下画图（不要求尺规作图），再与判断四边形 DEMN 形状的相应结论连线，并写出判定依据（只将最后一步判定特殊平行四边形的依据填在横线上）．
①如图 1，在矩形 ABEN 中，D 为对角线的交点，过点 N 画直线 NP∥DE，过点 E 画直线 EQ∥DN，NP 与 EQ 的交点为点 M，得到四边形 DEMN；
②如图 2，在菱形 ABFG 中，顺次连接四边 AB，BF，FG，GA 的中点 D，E，M，N，得到四边形 DEMN．
（2）请从图 1，图 2 的结论中选择一个进行证明．
请先在以下相应方框内打勾，再证明相应结论．
证明：

25. 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，B，C 两点的坐标分别为 B4,0，C4,4，CD⊥y 轴于点 D，直线 l 经过点 D．
（1）直接写出点 D 的坐标；
（2）作 CE⊥直线l 于点 E，将直线 CE 绕点 C 逆时针旋转 45∘，交直线 l 于点 F，连接 BF．
①依题意补全图形；
②通过观察、测量，同学们得到了关于直线 BF 与直线 l 的位置关系的猜想，请写出你的猜想；
③通过思考、讨论，同学们形成了证明该猜想的几种思路：
思路 1：作 CM⊥CF，交直线 l 于点 M，可证 △CBF≌△CDM，进而可以得出 ∠CFB=45∘，从而证明结论．
思路 2：作 BN⊥CE，交直线 CE 于点 N，可证 △BCN≌△CDE，进而证明四边形 BFEN 为矩形，从而证明结论．
⋯⋯
请你参考上面的思路完成证明过程．（一种方法即可）

四、填空题（共1小题；共5分）
26. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A12,2 在直线 y=x 上，过点 A1 作 A1B1∥y 轴，交直线 y=12x 于点 B1，以 A1 为直角顶点，A1B1 为直角边，在 A1B1 的右侧作等腰直角三角形 A1B1C1；再过点 C1 作 A2B2∥y 轴，分别交直线 y=x 和 y=12x 于 A2，B2 两点，以 A2 为直角顶点，A2B2 为直角边，在 A2B2 的右侧作等腰直角三角形 A2B2C2，⋯，按此规律进行下去，点 C1 的横坐标为 ，点 C2 的横坐标为 ，点 Cn 的横坐标为 ．（用含 n 的式子表示，n 为正整数）

五、解答题（共2小题；共26分）
27. 如图，在由边长都为 1 个单位长度的小正方形组成的 6×6 正方形网格中，点 A，B，P 都在格点上．请画出以 AB 为边的格点四边形（四个顶点都在格点的四边形），要求同时满足以下条件：
条件 1：点 P 到四边形的两个顶点的距离相等；
条件 2：点 P 在四边形的内部或其边上；
条件 3：四边形至少一组对边平行．
（1）在图 ① 中画出符合条件的一个平行四边形 ABCD，使点 P 在所画四边形的内部；
（2）在图 ② 中画出符合条件的一个四边形 ABCD，使点 P 在所画四边形的边上；
（3）在图 ③ 中画出符合条件的一个四边形 ABCD，使 ∠D=90∘，且 ∠A≠90∘．

28. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，动点 Aa,0 在 x 轴的正半轴上，定点 Bm,n 在第一象限内（m<2≤a）．在 △OAB 外作正方形 ABCD 和正方形 OBEF，连接 FD，点 M 为线段 FD 的中点．作 BB1⊥x 轴于点 B1，作 FF1⊥x 轴于点 F1．
（1）填空：由 △ ≌△ ，及 Bm,n 可得点 F 的坐标为 ，同理可得点 D 的坐标为 ；（说明：点 F，点 D 的坐标用含 m，n，a 的式子表示）
（2）直接利用（1）的结论解决下列问题：
①当点 A 在 x 轴的正半轴上指定范围内运动时，点 M 总落在一个函数图象上，求该函数的解析式（不必写出自变量 x 的取值范围）；
②当点 A 在 x 轴的正半轴上运动且满足 2≤a≤8 时，求点 M 所经过的路径的长．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. B
4. C
5. A
6. B
7. A
8. C
9. C
10. D
第二部分
11. −2
12. 12
13. 2,0，0,4，4
14. 60
15. 1,−2，x<1
【解析】由图象可得：函数 y=2x+b 与函数 y=kx−1 的图象交于点 P1,−2，
关于 x 的不等式 kx−1>2x+b 的解集是 x<1．
16. 答案不唯一，如 y=x−2 等
17. 2
18. 4（或 2），2（或 4），如图：
，以原点 O 为圆心，OF 长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点即为点 M
第三部分
19.
x2−6x−1=0,
移项得：
x2−6x=1,
配方得：
x2−6x+9=10,
即
x−32=10,
开方得：
x−3=±10,
则
x1=3+10,x2=3−10.
20. （1） 如图．
∵△ABC 中，AB=10，BC=6，AC=8，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC 是直角三角形，∠ACB=90∘．
（2） ∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB=90∘，
∵ 在 Rt△ACD 中，∠CAD=90∘，AC=AD=8，
∴CD=AC2+AD2=82．
21. （1） 4；2
（2） 设户斜 x 尺，则图中 BD=x，BC=BE−CE=x−4x>4，CD=CF−DF=x−2x>2．
又在 Rt△BCD 中，∠BCD=90∘，
由勾股定理得 BC2+CD2=BD2，
所以 x−42+x−22=x2，整理，得 x2−12x+20=0．
因式分解，得 x−10x−2=0，
解得 x1=10，x2=2．
因为 x>4 且 x>2，所以 x=2 舍去，x=10．
答：户斜为 10 尺．
22. （1） 6
（2） 学农 2 班的同学制作的酸奶整体口感较优．理由如下：
所抽取的样本中，两个学农班酸奶口感最佳的杯数一样，每杯酸奶中所添加蔗糖克数的平均值基本相同，学农 2 班的方差较小，更为稳定．
23. （1） 1,1；y=−2x+3
（2） y=−2x+2；上；2
（3） 直线 y=−2x 上的点 A1,−2 进行一次“斜平移”后的对应点的坐标为 2,1，进行两次“斜平移”后的对应点的坐标为 3,4．
设经过两次“斜平移”后得到的直线的解析式为 y=−2x+b．
将 3,4 点的坐标代入，得 −2×3+b=4．
解得 b=10．
所以两次“斜平移”后得到的直线的解析式为 y=−2x+10．
24. （1） 如图 3，图 4，
连线、依据略．
（所写依据的答案不唯一）
（2） ①如图 3．
∵NP∥DE，EQ∥DN，NP 与 EQ 的交点为点 M，
∴ 四边形 DEMN 为平行四边形．
∵D 为矩形 ABEN 对角线的交点，
∴AE=BN，DE=12AE，DN=12BN．
∴DE=DN．
∴ 平行四边形 DEMN 是菱形．
②如图 5，连接 AF，BG，记交点为 H．
∵D，N 两点分别为 AB，GA 边的中点，
∴DN∥BG，DN=12BG．
同理，EM∥BG，EM=12BG，DE∥AF，DE=12AF．
∴DN∥EM，DN=EM．
∴ 四边形 DEMN 为平行四边形．
∵ 四边形 ABFG 是菱形，
∴AF⊥BG．
∴∠AHB=90∘．
∴∠1=180∘−∠AHB=90∘．
∴∠2=180∘−∠1=90∘．
∴ 平行四边形 DEMN 是矩形．
25. （1） 0,4．
（2） ①补全图形见图 2．
② BF⊥直线l．
③法 1：
如图 3，作 CM⊥CF，交直线 l 于点 M．
∵B4,0，C4,4，D0,4，
∴OB=BC=DC=OD=4，∠BCD=90∘．
∵CE⊥直线l，CM⊥CF，∠ECF=45∘，
可得 △CEF，△CEM 为等腰直角三角形，
∠CMD=∠CFE=45∘，CF=CM. ⋯⋯①
∵∠BCF=90∘−∠DCF，∠DCM=90∘−∠DCF，
∴∠BCF=∠DCM. ⋯⋯②
又 ∵CB=CD, ⋯⋯③
∴△CBF≌△CDM．
∴∠CFB=∠CMD=45∘．
∴∠BFE=∠CFB+∠CFE=90∘．
∴BF⊥直线l．
【解析】法 2：
如图 4，作 BN⊥CE，交直线 CE 于点 N．
∵B4,0，C4,4，D0,4，
∴OB=BC=CD=OD=4，∠BCD=90∘．
∵CE⊥直线l，BN⊥CE，
∴∠BNC=∠CED=90∘. ⋯⋯①
∴∠1+∠3=90∘，∠2+∠3=90∘．
∴∠1=∠2. ⋯⋯②
又 ∵CB=DC, ⋯⋯③
∴△BCN≌△CDE．
∴BN=CE．
又 ∵∠ECF=45∘，
可得 △CEF 为等腰直角三角形，EF=CE．
∴BN=EF．
又 ∵∠BNE+∠NED=180∘，
∴BN∥FE．
∴ 四边形 BFEN 为平行四边形．
又 ∵∠CEF=90∘，
∴ 平行四边形 BFEN 为矩形．
∴∠BFE=90∘．
∴BF⊥直线l．
第四部分
26. 3，92，2×32n
第五部分
27. （1） 答案不唯一，如：或其他．
（2） 答案不唯一，如：或其他．
（3）
28. （1） OFF1；BOB1；−n,m；a+n,a−m
（2） ①设点 M 的坐标为 Mx,y，
∵ 点 M 为线段 FD 的中点，F−n,m，Da+n,a−m，
可得点 M 的坐标为 a2,a2，
∴x=a2,y=a2.
消去 a，得 y=x．
∴ 当点 A 在 x 轴的正半轴上指定范围内运动时，相应的点 M 在运动时总落在直线 y=x 上，即点 M 总落在函数 y=x 的图象上．
②如图 2，
当点 A 在 x 轴的正半轴上运动且满足 2≤a≤8 时，点 A 运动的路径为线段 A1A2，其中 A12,0，A28,0，相应地，点 M 所经过的路径为直线 y=x 上的一条线段 M1M2，其中 M11,1，M24,4，
而 M1M2=32，
∴ 点 M 所经过的路径的长为 32．