2019_2020学年北京市西城区七下期末数学试卷

这是一份2019_2020学年北京市西城区七下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若不等式的解集为 x≤−4，在数轴上表示此解集，下列图形中正确的是
A. B.
C. D.

2. 64 的平方根是
A. ±8B. −8C. 8D. ±4

3. 已知 m>n，下列不等式中错误的是
A. m+3>n+3B. m2>n2C. −4m>−4nD. m−n>0

4. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，∠EOD=90∘．若 ∠AOE=2∠AOC，则 ∠DOB 的度数为
A. 25∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘

5. 若点 A−3,y 在第三象限，则点 B−3,−y 在
A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限

6. 下列计算中，正确的是
A. a3+a3=a6B. a2⋅a5=a7C. 2a3=2a3D. 3a8÷a2=3a4

7. 小涵将如图 1 所示学习桌的桌面抽象成了如图 2 所示的多边形，则图 2 中 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于
A. 540∘B. 1080∘C. 900∘D. 720∘

8. 下列四个命题中，正确的是
A. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B. 同旁内角相等，两直线平行
C. 相等的角是对顶角
D. 如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直

9. “共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式．小文对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的统计图．下面有四个推断：
①小文一共抽样调查了 20 人；
②样本中当月使用“共享单车”30∼40 次的人数最多；
③样本中当月使用“共享单车”不足 30 次的人数有 14 人；
④若小文所在小区的居民约有 740 人，估计其中当月使用“共享单车”0∼20 次的人数约为 120 人．
其中合理的是
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④

10. 如图是用 4 个相同的小长方形与 1 个小正方形密铺而成的大正方形图案．已知其中大正方形的面积为 64，小正方形的面积为 9，若用 x，y 分别表示小长方形的长与宽（其中 x>y），则下列关系式中错误的是
A. 4xy+9=64B. x+y=8C. x−y=3D. x2−y2=9

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 327+22= ．

12. 直线 l 外有一定点 A，点 A 到直线 l 的距离是 7 cm，B 是直线 l 上的任意一点，则线段 AB 的长度可能是 cm．（写出一个满足条件的值即可）

13. 费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，在国际数学家大会上颁给有卓越贡献的年龄不超过四十岁的年轻数学家，美籍华人丘成桐 1982 年获费尔兹奖．下面的数据是截至 2014 年 56 名费尔兹奖得主获奖时的年龄：
2939353339283335313137323836313932383734293438323536332932353637393840383739383433403636374031383840403735403937
根据以上信息将下面的频数分布表补充完整：

14. 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．如图，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．若水面和杯底是互相平行的，且 ∠1=45∘，∠2=122∘，则 ∠3= ∘，∠4= ∘．

15. 如图，半径为 1 个单位长度的圆从点 A 沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点 B，则 AB 的长度为 ；若点 A 对应的数是 −1，则点 B 对应的数是 ．

16. 已知 a+b=52，ab=1，则 a2+b2= ．

17. 在数学课上，老师请同学们思考这样一个问题：“已知一个等腰三角形的一边长为 3，周长为 15，求其他两边的长．”小梅回答说：“其他两边的长分别为 3，9 或 6，6．”你认为小梅回答的结果是否正确?答： （填“正确”或“不正确”）．你的理由是 ．

18. 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：一方执黑子，一方执白子，由黑方先行，白方后行．在正方形棋盘中，双方交替下子，每次只能下一子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，最先在棋盘横向、竖向或斜向形成连续的相同颜色五个棋子的一方为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点 O 为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子 A 的坐标为 7,5，则白子 B 的坐标为 ，此时轮到黑方下子，记其此步所下黑子为 C，为了保证不让白方在两步之内（含两步）获胜，黑子 C 的坐标应该为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 解不等式组 2x+3x. ⋯⋯②

20. 下面是小洋同学在笔记上完成课堂练习的解题过程：
2x+12x−1−x−32=2x2−1−x2−3x+9第一步=2x2−1−x2+3x−9第二步=x2+3x−10第三步
老师让同桌互相核对，同桌小宁和小洋的答案不一样．在仔细对比了自己和小洋书写的过程后，小宁说：“你在第一步出现了两个错误，导致最后错了．”小洋自己检查后发现，小宁说的是正确的．
解答下列问题：
（1）请你用标记符号“”在以上小洋解答过程的第一步中分别圈出两个错误之处；
（2）请重新写出完成此题的解答过程．

21. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 0,4，线段 MN 的位置如图所示，其中点 M 的坐标为 −3,−1，点 N 的坐标为 3,−2．
（1）将线段 MN 平移得到线段 AB，其中点 M 的对应点为 A，点 N 的对应点为 B．
①点 M 平移到点 A 的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度；
②点 B 的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点 C 的坐标为 4,0，连接 AC，BC，求 △ABC 的面积．

22. 如图，在 △ABC 中，AD 是角平分线，DE∥AB 交 AC 于点 E．若 ∠DEC=100∘，求 ∠ADH 的度数．

23. 为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车 4S 店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共 20 辆进行销售．这两款电动汽车的成本价和售价如表：
成本价万元/辆售价万元/辆A型1616.8B型2829.4
（1）如果该 4S 店购进 20 辆电动汽车所花费成本恰好为 416 万元，那么其中购进A型电动汽车 辆，B型电动汽车 辆；
（2）如果为了保证该 4S 店将购进的 20 辆电动汽车全部售出后，所得利润要超过 19.3 万元，那么A型电动汽车最多购进多少辆?

24. 阅读下列材料：
近几年，微信红包成为了各种节日甚至是日常生活中表达情感的一种方式．
据调查：2014 年除夕微信红包收发总量为 0.16 亿个，而 2015 年的除夕，微信红包的收发总量比上一年除夕增加了六十多倍，达到了 10.1 亿个．2015 年的中秋节微信红包的收发总量更是达到 22 亿个，其收发红包用户的年龄群体分布大致如图 1 所示．
2016 年的除夕，微信红包的收发总量为上一年除夕的 8 倍．初一的凌晨零时 06 分达到了微信红包收发的最高峰，峰值为每秒 40.9 万个．
2017 年除夕，微信用户总共收发 142 亿个红包，创下新高．24 时前后，微信红包祝福达到峰值，每秒收发达到 76 万个．
根据以上材料解答下列问题：
（1）图 1 中，“1∼17 岁”与“其他”这两个年龄群体所对应扇形的圆心角度数相等，则“1∼17 岁”年龄群体所占百分比 m= ，“41∼50 岁”年龄群体所占百分比 n= ；
（2）将图 2 中的折线图补充完整，并在图中标明相应数据；
（3）根据图 2 提供的信息，预估 2018 年除夕微信红包收发总量约 亿个，你的预估理由是 ．

25. 有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块（如图 1 所示），可以用它们拼出各式各样的图案．该游戏的规则是：每个图形块可以随意平移、翻转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给 6×6 的正方形拼图盒中．例如，图 2 是用“百变方块”拼成的一幅图案．而图 4，图 5 是两幅未完成游戏的图案，每幅图案都缺少图 3 所示的五个图形块．请你挑战以下两个关卡，将图 3 中这五个图形块放入正方形拼图盒中，以完成游戏．要求：模仿图 2 在相应图中的空白处画出图 3 中的五个图形块，补全图形．
（1）第一关：完成图 4 中的图案；
（2）第二关：完成图 5 中的图案．

26. 对于实数 a，b，c，d，我们规定：abcd=ad−bc．例如，234−5=2×−5−3×4=−22．
（1）计算：−1252= ；
（2）若 2x−32x2x−9=30，则 x= ；
（3）若 −1<3m−441−nn<5，其中 m，n 都为整数，求 m+n 的值．

27. 在 △ABC 中，D 是 BC 边上一点，且 ∠CDA=∠CAB．MN 是经过点 D 的一条直线．
（1）若直线 MN⊥AC，垂足为点 E．
①依题意补全图 1；
②若 ∠CAB=70∘，∠DAB=20∘，则 ∠CDE= ∘；
（2）如图 2，若直线 MN 交 AC 边于点 F，且 ∠CDF=∠CAD．求证：∠AFD+∠FAB=180∘；
（3）将图 2 中的直线 MN 绕点 D 旋转，使它与射线 AB 交于点 P（点 P 不与点 A，B 重合）．用等式表示 ∠CAD，∠BDP，∠DPB 这三个角之间的数量关系，并证明你的结论．

四、填空题（共1小题；共5分）
28. 如图 1，平面上两条直线 l1，l2 相交于点 O．对于平面上任意一点 M，若点 M 到直线 l1 的距离为 p，到直线 l2 的距离为 q，则称有序实数对 p,q 为点 M 的“距离坐标”．例如，图 1 中点 O 的“距离坐标”为 0,0，点 N 的“距离坐标”为 3.6,4.2．
（1）如图 2，点 A 的“距离坐标”为 ，点 B 的“距离坐标”为 ．
（2）如图 3，点 C，D 分别在直线 l1，l2 上，则 C，D 两个点中，“距离坐标”为 3,0 的点是 ；
（3）平面上“距离坐标”为 0,5 的点有 个，“距离坐标”为 5,5 的点有 个．

五、解答题（共2小题；共26分）
29. 我们规定：将任意三个互不相等的数 a，b，c 按照由小到大的顺序排列后，把处于中间位置的数叫做这三个数的“中位数”，用符号 mida,b,c 表示．例如，mid3,4,−1=3．
（1）mid30,−2,7= ；
（2）当 x<−4 时，求 mid1+x,1−x,−3= ；
（3）当 x≠0 时，若 mid6,6−2x,2x+2=2x+2，求 x 的取值范围．

30. 如图 1，在 △ABC 中，∠B=90∘，分别作其内角 ∠ACB 与外角 ∠DAC 的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点 E．
（1）∠E= ∘；
（2）分别作 ∠EAB 与 ∠ECB 的平分线，且两条角平分线交于点 F．
①依题意在图 1 中补全图形；
②求 ∠AFC 的度数；
（3）在（2）的条件下，射线 FM 在 ∠AFC 的内部且 ∠AFM=13∠AFC．设 EC 与 AB 的交点为 H，射线 HN 在 ∠AHC 的内部且 ∠AHN=13∠AHC，射线 HN 与 FM 交于点 P．若 ∠FAH，∠FPH 和 ∠FCH 满足的数量关系为 ∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出 m，n 的值．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. C
4. B
5. C
6. B
7. D
8. A
9. C
10. D
第二部分
11. 5
12. 9
13.
14. 45，58
15. 2π，2π−1
16. 174
17. 不正确，三角形两边之和大于第三边，因为 3+3<9，所以边长不能为 3，3，9
18. 5,1，7,3 或 3,7
第三部分
19. 由 ①，得
x<8.
由 ②，得
x>−2.∴
原不等式组的解为
−220. （1）
（2） 2x+12x−1−x−32
解：
=4x2−1−x2−6x+9=4x2−1−x2+6x−9=3x2+5x−10.
21. （1） ①右；3；上；5；
② 6,3
（2） 如图，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D，
则点 D 的坐标为 6,0．
∵ 点 A，B，C 的坐标分别为 0,4，6,3，4,0，
∴S△ABC=S梯形AODB−S△AOC−S△BCD=12AO+BD⋅OD−12AO⋅OC−12CD⋅BD=12×4+3×6−12×4×4−12×6−4×3=10.
22. ∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
∵DE∥AB，
∴∠BAC=∠DEC，∠BAD=∠ADE，
∵∠DEC=100∘，
∴∠BAC=100∘，
∴∠BAD=∠ADE=50∘．
23. （1） 12；8
【解析】设：购进A型电动汽车 x 辆，依题意得 16x+2820−x=416，
解得 x=12．
（2） 设购进A型电动汽车 a 辆，
0.8a+1.420−a>19.3.a<14.5.∵a
为正整数，
∴a 的最大值为 14．
答：最多购进A型汽车 14 辆．
24. （1） 6%；5%
（2）
（3） 189.3；2014 年至 2017 年平均每年约增加 47.3 亿个，142+47.3=189.3（亿）
25. （1）
（2）
26. （1） −62
（2） 17
（3） 由题意，得 n3m−4−41−n>−1,n3m−4−41−n<5, 可得 mn>1,mn<3,
∵m，n 都为整数，
∴m=1,n=2 或 m=2,n=1 或 m=−1,n=−2 或 m=−2,n=−1,
∴m+n=3或−3．
27. （1） ①补图如图：
② 30
（2） ∵∠CDA=∠CAB，∠CDF=∠CAD，
∴∠CDA−∠CDF=∠CAB−∠CAD，
即 ∠ADF=∠DAB，
∴DF∥AB，
∴∠AFD+∠FAB=180∘．
（3） ①点 P 线段 AB 上时，∠CAD+∠BDP+∠DPB=180∘．
设 ∠CAB=∠CDA=x∘，∠CAD=m∘，∠ADP=n∘，
∴∠DAP=x−m∘，
∴∠BPD=∠DAP+∠ADP=x−m+n∘．
∵∠CAB=∠CDA=x∘，
∴∠BDP=180−x−n∘，
∴∠CAD+∠BDP+∠DPB=180∘．
②点 P 在 AB 延长线上时，∠CAD=∠BDP+∠BPD．
设 ∠CAB=∠CDA=x∘，∠CAD=m∘，∠ADP=n∘，
∴∠DAP=x−m∘，∠ADB=180−x∘，
∴∠BDP=n−180+x∘．
∵∠ADM=∠DAP+∠BPD，
∴∠BPD=180−n∘−x−m∘=180+m−n−x∘，
∴∠CAD=∠BDP+∠BPD．
第四部分
28. 1.6,2.5，2.2,1.5，C，2，4
第五部分
29. （1） 30
（2） −3
（3） 由题意，得 6−2x<2x+2,2x+2<6 或 6<2x+2,2x+2<6−2x,
解得 1 ∴130. （1） 45
（2） ①
② ∵FA 平分 ∠EAB，FC 平分 ∠ECB，
∴∠1=12∠EAB，∠2=12∠ECB，
设 ∠2=x∘，
∵EC 平分 ∠ACB，
∴∠3=∠ECB=2∠2=2x∘．
∵EA 平分 ∠DAC，
∴∠4=12∠DAC=12∠B+∠ACB=45∘+2x∘，
∴∠7=∠E+∠3=45∘+2x∘，
∴∠E=45∘，
∴∠1=22.5∘+x∘．
∵∠5=∠6，
∴∠AFC=∠E+∠1−∠2=45∘+22.5∘+x∘−x∘=67.5∘.
（3） m 的值为 2，n 的值为 −3．