2019_2020学年宁波市慈溪市九上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年宁波市慈溪市九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 必然事件发生的概率是
A. 1B. 0
C. 大于 0 且小于 1D. 大于 1

2. 三角形的外心是两条
A. 中线的交点B. 高的交点
C. 角平分线的交点D. 边的中垂线的交点

3. Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，则 sinB 等于
A. 34B. 35C. 45D. 43

4. 下列两个三角形不一定相似的是
A. 两个等边三角形B. 两个全等三角形
C. 两个等腰直角三角形D. 有一个 30∘ 角的两个等腰三角形

5. 二次函数 y=−x2−2x+3 的图象大致是
A. B.
C. D.

6. 下列说法正确的是
A. 天气预报明天下雨的概率是 99%，说明明天一定会下雨
B. 从正方形的四个顶点中，任取三个连成三角形，事件“这个三角形是等腰三角形”是随机事件
C. 某同学连续 10 次投掷质量均匀的硬币，3 次正面向上，因此正面向上的概率是 310
D. 事件 A 发生的概率是 7100，若在相同条件下重复试验，则做 100 次这种实验，事件 A 可能发生 7 次

7. 说明命题“平分弦的直径垂直于弦”是假命题的反例可以是
A. 弦和直径平行B. 弦和直径垂直
C. 两条不垂直的直径D. 两条垂直的直径

8. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 交 CD 于 E，CD=16，EB=4，则 AE=
A. 20B. 18C. 16D. 14

9. 如图，锐角 △ABC 内接于 ⊙O，AO=3，AC=4，则 tanB=
A. 255B. 125C. 43D. 1413

10. AD 是 △ABC 的中线，E 是 AD 上一点，AE:ED=1:3，BE 的延长线交 AC 于 F，AF:FC=
A. 1:3B. 1:4C. 1:5D. 1:6

11. 三条线段 a，b，c 中，b 是 a，c 的比例中项，则 a，b，c
A. 一定能构成三角形B. 一定不能构成三角形
C. 不一定能构成三角形D. 不能构成直角三角形

12. 如图，A，B，C 在 ⊙O 上，AB 是 ⊙O 内接正六边形一边，BC 是 ⊙O 内接正十边形的一边，若 AC 是 ⊙O 内接正 n 边形的一边，则 n 等于
A. 12B. 15C. 18D. 20

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 若 α 是锐角，且 tanα=3，则 α= 度．

14. 在同样的条件下对某种小麦进行发芽试验，统计发芽种子数，获得频数及频率如表：
试验种子数n粒155020050010003000发芽频数m04451884769512850发芽频率
由表估计该麦种的发芽概率是 ．

15. 若点 A−3,y1，B0,y2 是二次函数 y=−2x−12+3 图象上的两点，那么 y1 与 y2 的大小关系是 （填 y1>y2，y1=y2 或 y1
16. 如图，D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC，AD=3，BD=9，DE=2，则 BC= ．

17. 如图，△ABO 中，点 O 是坐标原点，A2,2，B4,2，点 C 在 x 轴正半轴上，O，B，C 三点所构成的三角形与 △ABO 相似，则点 C 的坐标是 ．

18. 如图，点 P1,2，⊙P 经过原点 O，交 y 轴正半轴于点 A，点 B 在 ⊙P 上，∠BAO=45∘，则点 B 的坐标是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 如图，一个转盘被分成 3 等份，每一份上各写有一个数字，随机转动转盘 2 次，第一次转到的数字数字为十位数字，第二次转到的数字为个位数字，2 次转动后组成一个两位数（若指针停在等分线上则重新转一次）．
（1）用画树状图的方法求出转动后所有可能出现的两位数的个数；
（2）甲、乙两人做游戏，约定得到的两位数是偶数时甲胜，否则乙胜，这个游戏公平吗?请说明理由．

20. 已知二次函数 y=x2−2x−3．
（1）求此函数图象与坐标轴的交点坐标．
（2）函数图象向上平移 n 个单位后，与坐标轴恰有两个公共点，求 n 的值．

21. 某校研究性学习小组测量学校旗杆 AB 的高度，如图在教学楼一楼 C 处测得旗杆顶部的仰角为 60∘，在教学楼五楼 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30∘，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知 CD=12 米，求旗杆 AB 的高度．

22. 如图，在 △ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，AE=4，AB=6，AD:AC=2:3，△ABC 的角平分线 AF 交 DE 于点 G，交 BC 于点 F．
（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；
（2）求 AG 与 GF 的比．

23. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 D 是 AC 的中点，CD 与 BA 的延长线交于 E，BD 与 AC 交于点 F．
（1）求证：DC2=DF⋅DB；
（2）若 AE=AO，CD=2，求 ED 的长．

24. 某家禽养殖场，用总长为 80 m 的围栏靠墙（墙长为 20 m）围成如图所示的三块面积相等的矩形区域，设 AD 长为 x m，矩形区域 ABCD 的面积为 y m2．
（1）请直接写出 GH 的长（用含 x 的代数式表示）；
（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（3）当 x 为何值时，y 有最大值?最大值是多少?

25. 定义：如图 1，D，E 在 △ABC 的边 BC 上，若 △ADE 是等边三角形，则称 △ABC 可内嵌，△ADE 叫做 △ABC 的内嵌三角形．
（1）直角三角形 可内嵌．（填写“一定”、“一定不”或“不一定”）
（2）如图 2，在 △ABC 中，∠BAC=120∘，△ADE 是 △ABC 的内嵌三角形，试说明 AB2=BD⋅BC 是否成立?如果成立，请给出证明；如果不一定成立，请举例说明．
（3）在（2）的条件下，如果 AB=1，AC=2，求 △ABC 的内嵌 △ADE 的边长．

26. 如图 1，抛物线 y=−12x2+bx+c 与 x 轴交于点 A4,0 和点 B−1,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点 E 为抛物线在第一象限上的一点，过点 E 作 EF⊥x 轴交 x 轴于点 F，交 AC 于点 H，当线段 EH=FH 时，求点 E 的坐标．
（3）如图 2，若 CE∥x 轴交抛物线于点 E，过点 E 作 ER⊥x 轴，垂足为点 R，G 是线段 OR 上的动点，ES⊥CG，垂足为点 S．
①当 △ESR 是等腰三角形时，求 OG 的长．
②若点 B1 与点 B 关于直线 CG 对称，当 EB1 的长最小时，直接写出 OG 的长．
答案
第一部分
1. A【解析】∵ 必然事件就是一定发生的事件，
∴ 必然事件发生的概率是 1．
2. D【解析】∵ 三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，
∴ 三角形的外心是三角形的两边垂直平分线的交点．
3. B【解析】∵Rt△ABC 中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴sinB=ACAB=35．
4. D【解析】A、两个等边三角形三组角对应相等，所以它们一定相似；
B、两个全等三角形的三组角对应相等，所以它们一定相似；
C、两个等腰直角三角形三组角对应相等，所以它们一定相似；
D、当一个三角形的三个角分为 30∘，30∘，120∘，另一个三角形的三个角为 30∘，75∘，75∘ 时，两个三角形不相似．
5. A
【解析】二次函数 y=−x2−2x+3=−x+12+4 中，a=−1<0，图象开口向下，顶点坐标为 −1,4，符合条件的图象是A．
6. D【解析】∵ 天气预报明天下雨的概率是 99%，说明明天下雨的可能性大，但不是一定会下雨，
∴ 选项A不正确；
∵ 从正方形的四个顶点中，任取三个连成三角形，事件“这个三角形是等腰三角形”是必然事件，
∴ 选项B不正确；
∵ 某同学连续 10 次投掷质量均匀的硬币，3 次正面向上，并不能说明正面向上的概率是 310，
∴ 选项C不正确；
∵ 事件 A 发生的概率是 7100，若在相同条件下重复试验，则做 100 次这种实验，事件 A 可能发生 7 次，
∴ 选项D正确．
7. C【解析】命题“平分弦的直径垂直于弦”是假命题的反例可以是两条不垂直的直径．
8. C【解析】连接 OC，如图，
设 ⊙O 的半径为 R，
∵AB⊥CD，
∴CE=DE=12CD=12×16=8，
在 Rt△OCE 中，OC=R，OE=R−4，
∵OC2=OE2+CE2，
∴R2=R−42+82，解得 R=10，
∴AE=AB−EB=2×10−4=16．
9. A【解析】延长 AO 交 ⊙O 于 D，连接 CD，如图所示，
由圆周角定理得：∠B=∠D，∠ACD=90∘，
∵AC=4，AO=3=OD，
∴ 由勾股定理得：CD=AD2−AC2=62−42=25，
∴tanB=tanD=ACCD=425=255．
10. D
【解析】作 DH∥BF 交 AC 于 H，如图所示：
∵AD 是 △ABC 的中线，
∴FH=HC，
∵DH∥BF，
∴AFFH=AEED=13，
∴AF:FC=1:6．
11. C【解析】由题意，得 b=ac，
当 a=2，c=4 时，b=22，a+b=2+22>4，
即 b 是 a，c 的比例中项，
则 a，b，c 能构成三角形；
当 a=3，c=12 时，b=6，a+b=3+6=9<12，
b 是 a，c 的比例中项，
则 a，b，c 不能构成三角形．
12. B【解析】如图，连接 OC，AO，BO，
∵ AB 是 ⊙O 内接正六边形的一边，
∴ ∠AOB=360∘÷6=60∘，
∵ BC 是 ⊙O 内接正十边形的一边，
∴ ∠BOC=360∘÷10=36∘，
∴ ∠AOC=∠AOB−∠BOC=60∘−36∘=24∘，
∴ n=360∘÷24∘=15．
第二部分
13. 60
【解析】α 是锐角，且 tanα=3，则 α=60∘．
14. 0.95
【解析】∵ 种子粒数 3000 粒时，种子发芽的频率趋近于 0.95，
∴ 估计种子发芽的概率为 0.95．
15. y1【解析】当 x=−3 时，y1=−2x−12+3=−29；
当 x=0 时，y2=−2x−12+3=1；
∵−29<1，
∴y116. 8
【解析】∵AD=3，BD=9，
∴AB=AD+BD=12，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，即 312=2BC，
解得，BC=8．
17. 2,0 或 10,0
【解析】如图，
∵A2,2，B4,2，
∴AB∥x，AB=2，OB=42+22=25，
①当 BC∥OA 时，
∵∠AOB=∠CBO，∠ABO=∠BOC，
∴△BOC∽△OBA，
∵AB∥OC，BC∥OA，
∴ 四边形 OABC 是平行四边形，
∴OC=AB=2，
∴C2,0．
②当 △BOCʹ∽△ABO 时，
OCʹOB=OBAB，
∴OCʹ25=252，
∴OCʹ=10，
∴Cʹ10,0．
18. 3,1 或 −1,3
【解析】如图，
连接 OP，过 P 作 PE⊥x 轴交 x 轴于 E，
∵P1,2，
∴OE=1，PE=2，
由勾股定理得：OP=22+12=5，
过 A 作 MN⊥y 轴，分别作 ∠MAO，∠NAO 的平分线交 ⊙P 于 B1，B2，
则 ∠B1AO=45∘，∠B2AO=45∘，
∴∠B2AB1=90∘，
连接 B1B2，则 B1B2 是 ⊙P 的直径，即过点 P，
∴B1B2=25，
∴∠B2OB1=90∘，
∵∠OB2B1=∠B1AO=45∘，
∴△B1B2O 是等腰直角三角形，
∴OB1=OB2=252=10，
过 B1 作 B1G⊥x 轴交 x 轴于 G，过 B2 作 B2H⊥y 轴交 y 轴于 H，
∴∠OGB1=∠OHB2=90∘，
∵∠GOB1+∠AOB1=90∘，∠B2OH+∠AOB1=90∘，
∴∠GOB1=∠B2OH，
∴△B1OG≌△B2OH，
∴B1G=B2H，OG=OH，
设 B1x,y，则 OG=x，B1G=y，
∵∠B2AO=45∘，
∴△AB2H 是等腰直角三角形，
∴B2H=AH=B1G=y，
∴AO=AH+OH=x+y=4，
则 x+y=4,x2+y2=102,
解得：x=3,y=1 或 x=1,y=3,
∵PB=5，
∴x=1，y=3 不符合题意，舍去，
∴B13,1，B2−1,3，
则点 B 的坐标为 3,1 或 −1,3．
第三部分
19. （1） 树状图如图所示：
两位数有：11，12，13，21，23，22，31，32，33，一共有 9 个两位数．
（2） 两位数是偶数的有：3 种，
故 P甲胜=39=13，P乙胜=69=23，
则这个游戏不公平．
20. （1） 当 y=0 时，x2−2x−3=0，
解得，x1=−1，x2=3，
∴ 抛物线与 x 轴交点坐标为 −1,0，3,0，
当 x=0 时，y=−3，
∴ 抛物线与 y 轴交点坐标为 0,−3；
（2） 当函数图象向上平移 3 个单位后，得到函数解析式为：y=x2−2x，
与坐标轴交于 0,0 和 2,0 两点，
y=x2−2x−3=x−12−4，
函数图象向上平移 4 个单位后，
y=x−12，
与 x 轴、 y 轴各有一个交点，为 1,0 0,1，
故 n=3或4．
21. 如图：过 D 作 DH⊥AB 交 AB 于 H，设 BH=x m，
在 Rt△BDH 中，tan∠BDH=BHDH，
∴ DH=BHtan30∘=3x m，
∴ AC=3x m，
在 Rt△ABC 中，tan∠ACB=ABAC，
∴ AB=AC⋅tan60∘=3x m，
∵ AH=CD=12 m，
∴ 3x−x=12，
解得，x=6，
∴ AB=3x=18 m．
答：旗杆 AB 的高度为 18 m．
22. （1） △ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB．
（2） ∵AEAB=46=23，ADAC=23，
∴AEAB=ADAC，
又 ∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADG=∠C，
∵AF 为角平分线，
∴∠DAG=∠FAE．
∴△ADG∽△ACF，
∴AGAF=ADAC=23，
∴AGGF=2．
23. （1） ∵ 点 D 是 AC 的中点，
∴∠ABD=∠CBD，
而 ∠ABD=∠ACD，
∴∠ACD=∠CBD，
∵∠BDC=∠CDF，
∴△CDF∽△BDC，
∴DCDF=DBDC，
即 DC2=DF⋅DB．
（2） 连接 OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
而 ∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∴EDDC=EOOB，
∵EA=AO=BO，
∴ED2=21，
∴ED=4．
24. （1） GH=23x m．
【解析】∵ 矩形 AEHG 面积与矩形 CDEF 面积以及矩形 BFHG 面积相等，
∴ 矩形 AEFB 面积等于矩形 CDEF 面积的 2 倍，
∴AE=2DE，
∵AD=x m，
∴GH=AE=2DE=23x m．
（2） ∵ 围栏总长为 80 m，故 2x+23x+2CD=80，则 CD=40−43xm，
故 y=x40−43x=−43x2+40x，
自变量 x 的取值范围为：15≤x<30．
（3） 由题意可得：
∵y=−43x2+40x=−43x2−30x=−43x−152+300，
又 ∵15≤x<30，
∴ 当 x=15 时，y 有最大值，最大值为 300 平方米．
25. （1） 不一定
【解析】当直角三角形是等腰直角三角形时可内嵌，
∴ 直角三角形不一定可内嵌．
（2） ∵△ADE 是 △ABC 的内嵌三角形，
∴△ADE 是正三角形，
∴∠ADE=60∘，
在 △BDA 和 △BAC 中，
∠ADB=∠BAC=120∘,∠B=∠B,
∴△BDA∽△BAC，
∴ABBC=BDAB，
即 AB2=BD⋅BC．
（3） 设 BD=x，
∵△BDA∽△BAC，△AEC∽△BAC，
∴△BDA∽△AEC，
∴ABAC=BDAE，
∴12=xDE，
即 DE=2x，
同理 CE=4x，
∴12=x⋅7x，
∴7x2=1，
解得 x=77，
∴DE=277，
∴△ABC 的内嵌 △ADE 的边长是 277．
26. （1） 把 A4,0，B−1,0 代入 y=−12x2+bx+c 得：−12−b+c=0,−162+4b+c=0,
解得：b=32,c=2,
即：y=−12x2+32x+2．
（2） 求得 AC 的解析式为 y=−12x+2，
设 Hn,−12n+2，由 EF⊥x 轴，则 En,−12n2+32n+2，
∵EH=FH 且点 E 为抛物线在第一象限上的点，
∴EF=2FH，即 −12n2+32n+2=2−12n+2 得 n2−5n+4=0，
∴n=1 或 n=4（舍去），
∴E1,3．
（3） ①设 OG=t，则 CG=4+t2，
∵△COG∽△ESC，
∴ESCE=COCG，
∴ES3=24+t2，
∴ES=64+t2，
∵∠SER=∠SCE=∠CGO，
∴cs∠SER=cs∠CGO=t4+t2．
i．如图 1，当 SE=SR 时，过点 S 作 SH⊥ER 垂足为点 H．
∵EH=SE⋅cs∠SER，
∴1=64+t2×t4+t2，
∴t=3±5（t=3+5 舍去）；
ii．如图 2，
当 SE=ER 时，64+t2=2，
∴t=±5（t=−5 舍去）；
iii．如图 3，当 ER=SR 时，过点 R 作 RH⊥SE 垂足为点 H．
∵EH=ER⋅cs∠SER，
∴12×64+t2=2×t4+t2，
∴t=32；
综上，当 △ESR 是等腰三角形时 OG=3−5或5或32．
② OG=5−1．
【解析】② EB1 取最小值时，OG=5−1．
理由如下：如图 4，
CB1=CB，EB1≥CE−CB1=3−5，
当点 C，B1，E 三点共线时，EB1 取到最小值，此时四边形 CBGB1 是菱形，
∴OG=BG−BO=5−1．