2019_2020学年重庆市万盛经开区九上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年重庆市万盛经开区九上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是
A. 3x+12=2x+1B. 1x2+1x=2
C. x2+2x=x2−1D. ax2+bx+c=0

2. 下列图形是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 抛物线 y=x−12+2 的顶点坐标是
A. 1,2B. 1,−2C. −1,2D. −1,−2

4. 反比例函数 y=−2x 的图象位于
A. 第一、二象限B. 第三、四象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限

5. 下列事件是必然事件的是
A. 抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上
B. 打开电视频道，正在播放《十二在线》
C. 射击运动员射击一次，命中十环
D. 方程 x2−2x−1=0 必有实数根

6. 在 △ABC 中，∠C=90∘，以点 B 为圆心，以 BC 长为半径作圆，点 A 与该圆的位置关系为
A. 点 A 在圆外B. 点 A 在圆内C. 点 A 在圆上D. 无法确定

7. 一元二次方程 x2−8x−1=0 配方后可变形为
A. x+42=17B. x+42=15C. x−42=17D. x−42=15

8. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是
A. 5601+x2=315B. 5601−x2=315
C. 5601−2x2=315D. 5601+x2=315

9. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∠CDB=30∘，CD=23，则阴影部分的面积为
A. 2πB. πC. π3D. 2π3

10. 观察下列一组图形，其中图形①中共有 2 颗星，图形②中共有 6 颗星，图形③中共有 11 颗星，图形④中共有 17 颗星，⋯，按此规律，图形⑧中星星的颗数是
A. 43B. 45C. 51D. 53

11. 从 −3，−2，−1，0，1 这五个数中，随机取出一个数，记为 a，若 a 使得关于 x 的不等式组 x−a≤0,x−5<3x−2 无解，且关于 x 的分式方程 x−1x−2−a2−x=3 有整数解的概率为
A. 15B. 25C. 35D. 45

12. 如图，菱形 OABC 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 5,0，对角线 OB=45，反比例函数 y=kx（k≠0，x>0）经过点 C，则 k 的值等于
A. 12B. 8C. 15D. 9

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 方程 x2−2x=0 的根是 ．

14. 如图，正五边形 ABCDE 内接于 ⊙O，则 ∠CAD= 度．

15. 在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积．进行了大量的树木移栽．如表所示记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵树：依此估计这种幼树成活的概率是 ．（结果用小数表示，精确到 0.1）
移栽棵数100100010000成活棵数899109008

16. 反比例函数 y=k+1x 的图象经过 Ax1,y1，Bx2,y2 两点，其中 x1y2，则 k 的取值范围是 ．

17. 如图，某运动员在 2016 年里约奥运会 10 米跳台跳水比赛时，估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线 y=−256x2+103x（图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面的距离为 米．

18. 如图，P 是等边 △ABC 内一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到线段 AQ，连接 BQ．若 PA=6，PB=8，PC=10，则四边形 APBQ 的面积为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，AC 是弦，CD 切 ⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于点 D，∠ACD=120∘，求证：CA=CD．

20. 一个不透明的布袋里装有 2 个白球，1 个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出 1 个球，是白球的概率为 12．
（1）布袋里红球有多少个?
（2）先从布袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球，请用列表法或画树状图的方法求出两次摸到的球都是白球的概率．

21. 已知关于 x 的方程 x2+2x+a−2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围；
（2）当该方程的一个根为 x=1 时，求 a 的值及方程的另一根．

22. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=mx 的图象交于 A−3,1，B2,n 两点，交 x 轴、 y 轴于 D，C 两点．
（1）求上述反比例函数的解析式和点 B 的坐标；
（2）连接 AO，BO，求出 △AOB 的面积；
（3）请由图象直接写出，当 x 满足什么条件时，一次函数的值小于反比例函数的值?

23. 某商场经营一种新型台灯，进价为每盏 300 元．市场调研表明：当销售单价定为 400 元时，平均每月能销售 300 盏；而当销售单价每上涨 10 元时，平均每月的销售量就减少 10 盏．
（1）当销售单价为多少时，该型台灯的销售利润平均每月能达到 40000 元?
（2）临近春节，为了回馈广大顾客，商场部门经理决定在一月份开展降价促销活动，估计分析：若每盏台灯的销售单价在（1）的销售单价基础上降价 m%，则可多售出 2m%．要想使一月份的销售额达到 112000 元，并且销售量尽可能大，求 m 的值．

24. 小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数 y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1 是常数）与 y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2 是常数）满足 a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数 y=−x2+3x−2 的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数 y=−x2+3x−2 可知 a1=−1，b1=3，c1=−2，根据 a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0 求出 a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数 y=−x2+3x−2 的“旋转函数”；
（2）若函数 y=−x2+43mx−2 与 y=x2−2nx+n 互为“旋转函数”，求 m+n2017 的值；
（3）已知函数 y=−12x+1x−4 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A，B，C 关于原点的对称点分别是 A1，B1，C1，试证明经过点 A1，B1，C1 的二次函数与函数 y=−12x+1x−4 互为“旋转函数”．

25. 已知四边形 ABCD 中，AB⊥AD 于 A，BC⊥CD 于 C，AB=BC，∠ABC=120∘，∠MBN=60∘，∠MBN 绕点 B 旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F．
（1）当 ∠MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1），若 AE=1，试求 AB 的长；
（2）当 ∠MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF 时，在图 2 这种情况下，求证 AE+CF=EF；
（3）当 ∠MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF 时，在图 3 这种情况下，（2）中结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF，EF 又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．

26. 如图，已知抛物线 y=−x2+bx+c 的对称轴为直线 x=−1，与 y 轴交于点 C0,3，与 x 轴交于点 A 和点 B．
（1）求抛物线的解析式和点 A，B 的坐标；
（2）在抛物线的对称轴直线 x=−1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标；
（3）设点 P 为抛物线的对称轴直线 x=−1 上的一个动点，求使 △BPC 为直角三角形的点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. A
4. D
5. D
6. A
7. C
8. B【解析】由题意可列方程为 5601−x2=315．
9. D【解析】如图，连接 OD．
因为 CD⊥AB，所以 CE=DE=12CD=3，S△OCE=S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形 BOD 的面积．因为 ∠CDB=30∘，所以 ∠COB=60∘，所以 OC=2，易知 ∠BOD=∠COB=60∘．所以 S扇形BOD=60360π×22=23π．
10. C
【解析】设图形 n 中星星的颗数是 an（n 为自然数），
观察，发现规律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，⋯，
所以 an=2+n−1n+62．
令 n=8，则 a8=2+8−18+62=51．
11. A
12. A
第二部分
13. x1=0，x2=2
14. 36
15. 0.9
16. k>−1
17. 1023
18. 24+93
【解析】如图，连接 PQ，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC=60∘，AB=AC．
∵ 线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到线段 AQ，
∴AP=PQ=6，∠PAQ=60∘，
∴△APQ 是等边三角形，
∴PQ=AP=6．
∵∠CAP+∠BAP=60∘，∠BAP+∠BAQ=60∘，
∴∠CAP=∠BAQ，
∵AC=AB，∠CAP=∠BAQ，AP=AQ，
∴△APC≌△AQB，
∴PC=QB=10．
在 △BPQ 中，
∵PB2+PQ2=BQ2，
∴△BPQ 是直角三角形，∠BPQ=90∘，
∴S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=24+93．
第三部分
19. 连接 OC，
∵ CD 切 ⊙O 于点 C，
∴ ∠OCD=90∘，
∵ ∠ACD=120∘，
∴ ∠ACO=30∘，
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ OA=OC=OB，
∴ ∠A=∠OCA=30∘，
∴ ∠D=180∘−∠ACD−∠A=30∘，
∴ ∠A=∠D，
∴ CA=CD．
20. （1） 设红球的个数为 x，由题意可得：
22+1+x=12,
解得：
x=1,
经检验 x=1 是原分式方程的根，且符合题意，
即红球的个数为 1 个．
（2） 画树状图如下：
这个实验一共有 12 种等可能的结果，其中两个都是白球的有 2 种，
∴ P摸得两白=212=16．
21. （1） ∵b2−4ac=22−4×1×a−2=12−4a>0，
解得：a<3．
∴a 的取值范围是 a<3．
（2） 设方程的另一根为 x1，
由根与系数的关系得：1+x1=−2,1⋅x1=a−2,
解得：a=−1,x1=−3.
则 a 的值是 −1，该方程的另一根为 x=−3．
22. （1） 把 x=−3，y=1 代入 y=mx 得：m=−3，
所以反比例函数的解析式为 y=−3x，
把 x=2，y=n 代入 y=−3x 得 n=−32，
所以点 B 的坐标为 2,−32．
（2） 把 x=−3，y=1 与 x=2，y=−32 分别代入 y=kx+b，
得 −3k+b=1,2k+b=−32,
解得 k=−12,b=−12,
所以一次函数的解析式为 y=−12x−12．
由一次函数的解析式 y=−12x−12 得 C 点的坐标为 0,−12，
所以 OC=12，
则
S△AOB=S△AOC+S△BOC=12OC∣xB∣+∣xA∣=12×12×5=54;
（3） −32．
23. （1） 设当销售单价为 x 元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到 40000 元，
根据题意得
x−300300−x−400=40000,
解得
x1=x2=500.
答：当销售单价为 500 元时，该型台灯的销售利润平均每月能达到 40000 元．
（2） 当 x=500 时，300−x−400=200（盏），
根据题意得
5001−m%×2001+2m%=112000,
整理得
50m%2−25⋅m%+3=0,
解得
m%=0.2舍去或m%=0.3.
所以 m=30．
24. （1） 函数 y=−x2+3x−2 的“旋转函数”为 y=x2+3x+2．
（2） 根据题意得 43m=−2n,−2+n=0,
解得 m=−3,n=2,
∴m+n2017=−3+22017=−1．
（3） 当 x=0 时，y=−12x+1x−4=2，则 C0,2，
当 y=0 时，−12x+1x−4=0，解得 x1=−1，x2=4，
则 A−1,0，B4,0，
∵ 点 A，B，C 关于原点的对称点分别是 A1，B1，C1，
∴A11,0，B1−4,0，C10,−2，
设经过点 A1，B1，C1 的二次函数解析式为 y=a2x−1x+4，把 C10,−2 代入得 a2⋅−1⋅4=−2，解得 a2=12，
∴ 经过点 A1，B1，C1 的二次函数解析式为 y=12x−1x+4=12x2+32x−2，
∵y=−12x+1x−4=−12x2+32x+2，
∴a1+a2=−12+12=0，b1=b2=32，c1+c2=2−2=0，
∴ 经过点 A1，B1，C1 的二次函数与函数 y=−12x+1x−4 互为“旋转函数”．
25. （1） 在 △ABE 和 △CBF 中，
AB=CB,∠A=∠C,AE=CF,
∴ △ABE≌△CBF，
∴ BE=BF，∠ABE=∠CBF．
∵ ∠ABC=120∘，∠MBN=60∘，
∴ ∠ABE=∠CBF=30∘，
∴ AB=3AE=3．
（2） 如图，将 Rt△ABE 绕点 B 顺时针旋转 120∘，
∵AB=BC，∠ABC=120∘，
∴A 点与 C 点重合，
∴BG=BE，AE=CG，∠ABE=∠CBG，
∴FG=CG+CF=AE+CF．
∵∠ABC=120∘，∠MBN=60∘，
∴∠GBF=60∘，
∴∠GBF=∠EBF，
在 △GBF 和 △EBF 中，
BG=BE,∠GBF=∠EBF=60∘,BF=BF,
∴△GBF≌△EBF，
∴FG=EF，
∴EF=AE+CF．
（3） 不成立，新结论为 EF=AE−CF．
26. （1） 根据题意得：−b2×−1=−1,c=3,
解得：b=−2,c=3.
∴ 抛物线的解析式为：y=−x2−2x+3．
当 y=0 时，即 0=−x2−2x+3，
解得：x1=−3，x2=1．
∴A1,0，B−3,0．
（2） 设直线 BC 与对称轴直线 x=−1 的交点为 M，则此时 AM+MC 的值最小．
设直线 BC 的解析式为 y=mx+n，
将点 B 和点 C 的坐标代入得：n=3,−3m+n=0,
解得：m=1,n=3.
∴ 直线 BC 的解析式为 y=x+3．
将 x=−1 代入 y=x+3 得：y=2，
∴M−1,2．
∴ 当点 M 的坐标为 −1,2 时，点 M 到点 A 和点 C 的距离之和最小．
（3） 设 P−1,t．
∵P−1,t，B−3,0，C0,3，
∴CB2=18，PB2=−1+32+t2=t2+4，PC2=−12+t−32=t2−6t+10．
①当点 B 为直角顶点时，则 BC2+PB2=PC2，即 18+t2+4=t2−6t+10，
解得 t=−2．
∴P−1,−2．
②当点 C 为直角顶点时，BC2+PC2=PB2，即 18+t2−6t+10=t2+4，
解得 t=4．
∴P−1,4．
③当点 P 为直角顶点时，PC2+PB2=BC2，即 t2+4+t2−6t+10=18，
解得：t=3+172 或 t=3−172．
∴P−1,3+172 或 −1,3−172．
综上所述，点 P 的坐标为 −1,−2 或 −1,4 或 −1,3+172 或 −1,3−172．