2019_2020学年重庆一中九上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年重庆一中九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 在 14，−1，0，−3.2 这四个数中，属于负分数的是
A. 14B. −1C. 0D. −3.2

2. 下列 4 个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列计算正确的是
A. 5m−2m=3B. 2a⋅3a=6a
C. ab32=ab6D. 2m3n÷mn=2m2

4. 下列说法中，正确的是
A. 不可能事件发生的概率是 0
B. 打开电视机正在播放动画片，是必然事件
C. 随机事件发生的概率是 12
D. 对“梦想的声音”节目收视率的调查，宜采用普查

5. 如图，AB∥CD，CB 平分 ∠ABD，若 ∠C=40∘，则 ∠D 的度数为
A. 90∘B. 100∘C. 110∘D. 120∘

6. 不等式组 x>−2,2x−5≤1 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

7. 在函数 y=x+32x 中，自变量 x 的取值范围是
A. x≥−3 且 x≠0B. x≤3 且 x≠0
C. x≠0D. x≥−3

8. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE，BD，且 AE，BD 交于点 F，S△DEF:S△ABF=4:25，则 DE:EC=
A. 2:5B. 2:3C. 3:5D. 3:2

9. 如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，∠A=22.5∘，OC=4，则 CD 的长为
A. 22B. 4C. 42D. 8

10. 如图所示，是用棋子摆成的“上”字：如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第 20 个“上”字需用 枚棋子?
A. 78B. 82C. 86D. 90

11. 近来爱好跑步的人越来越多，人们对跑步机的需求也越来越大．图①，②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板 CD 长为 1.6 m，CD 与地面 DE 的夹角 ∠CDE 为 12∘，支架 AC 长为 0.8 m，∠ACD 为 80∘，则跑步机手柄的一端 A 的高度 h（四舍五入到 0.1 m）约为 （参考数据：sin12∘=cs78∘≈0.21，sin68∘=cs22∘≈0.93，tan68∘≈2.48）
A. 0.9 mB. 1.0 mC. 1.1 mD. 1.2 m

12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 在第一象限，点 C 在 x 轴上，点 A 在 y 轴上，D，E 分别是 AB，OA 中点．过点 D 的双曲线 y=kxx>0,k>0 与 BC 交于点 G．连接 DC，F 在 DC 上，且 DF:FC=3:1，连接 DE，EF．若 △DEF 的面积为 6，则 k 的值为
A. 163B. 323C. 6D. 10

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 经过十多年的成长，中国城市观众到影院观影的习惯已经逐渐养成：2010 年，某影院观众人次总量才 23400，但到 2016 年已经暴涨至 1350000．其中 1350000 用科学记数法表示为 ．

14. 计算：2tan60∘−∣1−12∣−−13−2= ．

15. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2AD=4，以点 A 为圆心，AB 为半径的圆弧交 CD 于点 E，交 AD 的延长线于点 F，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 π）

16. 从 −1，0，1，2，3 这 5 个数中，随机抽取一个数记为 a，使得二次函数 y=2x2−4x−1．当 x>a 时，y 随 x 的增大而增大，且使关于 x 的分式方程 1−axx−2+2=12−x 有整数解的概率为 ．

17. “欢乐跑中国•重庆站”比赛前夕，小刚和小强相约晨练跑步．小刚比小强早 1 分钟跑步出门，3 分钟后他们相遇．两人寒暄 2 分钟后，决定进行跑步比赛．比赛时小刚的速度始终是 180 米/分，小强的速度是 220 米/分．比赛开始 10 分钟后，因雾霾严重，小强突感身体不适，于是他按原路以出门时的速度返回，直到他们再次相遇．如图所示是小刚、小强之间的距离 y（千米）与小刚跑步所用时间 x（分钟）之间的函数图象．则小刚从家出发到他们再次相遇时，一共用了 分钟．

18. 如图，四边形 ABCD 为正方形，H 是 AD 上任意一点，连接 CH，过 B 作 BM⊥CH 于 M，交 AC 于 F，过 D 作 DE∥BM 交 AC 于 E，交 CH 于 G，在线段 BF 上作 PF=DG，连接 PG，BE，其中 PG 交 AC 于 N 点，K 为 BE 上一点，连接 PK，KG，若 ∠BPK=∠GPK，CG=12，KP:EF=3:5，则 KGEG 的值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 已知：如图，在 △ABC 中，D 为 BC 上的一点，AD 平分 ∠EDC，且 ∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC．

20. 在期末考试来临之际，同学们都进入紧张的复习阶段，为了了解同学们晚上的睡眠情况，现对年级部分同学进行了调查统计，并制成如下两幅不完整的统计图：（其中A代表睡眠时间 8 小时左右，B代表睡眠时间 6 小时左右，C代表睡眠时间 4 小时左右，D代表睡眠时间 5 小时左右，E代表睡眠时间 7 小时左右），其中扇形统计图中“E”的圆心角为 90∘，请你结合统计图所给信息解答下列问题：
（1）共抽取了 名同学进行调查，同学们的睡眠时间的中位数是 小时，并将条形统计图补充完整；
（2）请你估计年级每个学生的平均睡眠时间约多少小时?

21. 计算：
（1）3aa+1−3+a3−a−2a−12；
（2）x2−2x+4x−1−x+2÷x2+4x+41−x．

22. 如图，一次函数 y=ax−2a≠0 的图象与反比例函数 y=kxk≠0 的图象交于 A，B 两点，且与 x 轴、 y 轴分别交于 C，D．已知 tan∠AOC=13，AO=10．
（1）求这个一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点 F 是点 D 关于 x 轴的对称点，求 △ABF 的面积．

23. 冬至过后，昼夜温差逐渐加大，山城的市民们已然感受到了深冬的寒意．在还未普遍使用地暖供暖设备的山城，小型电取暖器仍然深受市民的青睐．某格力专卖店销售壁挂式电暖器和卤素/石英式取暖器（俗称“小太阳”），其中壁挂式电暖器的售价是“小太阳”售价的 5 倍还多 100 元，2016 年 12 月份壁挂式电暖器和“小太阳”共销售 500 台，壁挂式电暖器与“小太阳”销量之比是 4:1，销售总收入为 58.6 万元．
（1）分别求出每台壁挂式电暖器和“小太阳”的售价；
（2）随着“元旦、春节”双节的来临和气温的回升，销售进入淡季，2017 年 1 月份，壁挂式电暖气的售价比 2016 年 12 月下调了 4m%，根据经验销售量将比 2016 年 12 月下滑 6m%，而“小太阳”的销售量和售价都维持不变，预计销售总收入将下降到 16.04 万元，求 m 的值．

24. 阅读下列材料，解决问题：一个能被 17 整除的自然数我们称为“灵动数”．“灵动数”的特征是：若把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 5 倍，如果差是 17 的整倍数（包括 0），则原数能被 17 整除．如果差太大或心算不易看出是否是 17 的倍数，就继续上述的“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止．例如：判断 1675282 能不能被 17 整除．167528−2×5=167518，16751−8×5=16711，1671−1×5=1666，166−6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续 ⋯6×5=30，现在个位 ×5=30> 剩下的 13，就用大数减去小数，30−13=17，17÷17=1；所以 1675282 能被 17 整除．
（1）请用上述方法判断 7242 和 2098754 是否是“灵动数”，并说明理由；
（2）已知一个四位整数可表示为 27mn，其中个位上的数字为 n，十位上的数字为 m，0≤m≤9，0≤n≤9 且 m，n 为整数．若这个数能被 51 整除，请求出这个数．

25. 如图，在等腰直角 △ABC 中，∠ACB=90∘，CA=CB，CD 为斜边 AB 上的中线．
（1）如图 1，AE 平分 ∠CAB 交 BC 于 E，交 CD 于 F，若 DF=2，求 AC 的长；
（2）将图 1 中的 △ADC 绕点 D 顺时针旋转一定角度得到 △ADN，如图 2，P，Q 分别为线段 AN，BC 的中点，连接 AC，BN，PQ，求证：BN=2PQ；
（3）如图 3，将 △ADC 绕点 A 顺时针旋转一定角度到 △AMN，其中 D 的对应点是 M，C 的对应点是 N，若 B，M，N 三点在同一直线上，H 为 BN 中点，连接 CH，猜想 BM，MN，CH 之间的数量关系，请直接写出结论．

26. 如图 1，已知抛物线 y=x2+2x−3 与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，D 为顶点．
（1）求直线 AC 的解析式和顶点 D 的坐标；
（2）已知 E0,12，点 P 是直线 AC 下方的抛物线上一动点，作 PR⊥AC 于点 R，当 PR 最大时，有一条长为 5 的线段 MN（点 M 在点 N 的左侧）在直线 BE 上移动，首尾顺次连接 A，M，N，P 构成四边形 AMNP，请求出四边形 AMNP 的周长最小时点 N 的坐标；
（3）如图 2，过点 D 作 DF∥y 轴交直线 AC 于点 F，连接 AD，Q 点是线段 AD 上一动点，将 △DFQ 沿直线 FQ 折叠至 △D1FQ，是否存在点 Q 使得 △D1FQ 与 △AFQ 重叠部分的图形是直角三角形?若存在，请求出 AQ 的长；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D
2. D
3. D
4. A
5. B
6. C
7. A
8. B
9. C
10. B
11. C
12. B
第二部分
13. 1.35×106
14. −8
15. 8π3−23
16. 15
17. 493
18. 50515
第三部分
19. ∵ AD 平分 ∠EDC，
∴ ∠ADE=∠ADC，
在 △AED 和 △ACD 中，
DE=DC,∠ADE=∠ADC,AD=AD,
∴ △AED≌△ACD，
∴ ∠C=∠E，
∵ ∠E=∠B．
∴ ∠C=∠B，
∴ AB=AC．
20. （1） 20；6
如图所示：
（2） ∵ 平均数为 120×4×8+6×6+2×4+3×5+5×7=6.3（小时），
∴ 估计年级每个学生的平均睡眠时间约 6.3 小时．
21. （1） 原式=3a2+3a−9+a2−4a2−1+4a=7a−10.
（2） 原式=x2−2x+4x−1−x+2÷x2+4x+41−x=x+2x−1×1−xx+22=−1x+2.
22. （1） 过点 A 作 AE⊥x 轴于 E，
因为 tan∠AOC=13，AO=10，
所以 Rt△AOE 中，AE=1，OE=3，
因为点 A 在第二象限，
所以 A−3,1，
因为反比例函数 y=kxk≠0 的图象过点 A，
所以 k=−3×1=−3，
所以反比例函数的解析式为 y=−3x，
因为一次函数 y=ax−2a≠0 的图象过点 A，
所以 1=−3a−2，
解得 a=−1，
所以一次函数的解析式为 y=−x−2．
（2） 一次函数的解析式 y=−x−2 中，令 x=0，则 y=−2，
所以 D0,−2，
因为点 F 是点 D 关于 x 轴的对称点，
所以 F0,2，
所以 DF=2+2=4，
解方程组 y=−x−2,y=−3x, 可得 x=−3,y=1 或 x=1,y=−3.
所以 B1,−3，
因为 △ADF 面积为 12×DF×OE=6，
△BDF 面积为 12×DF×∣xB∣=2，
所以 △ABF 的面积为 6+2=8．
23. （1） 设每台小太阳为 x 元，则每台壁挂式电暖器的售价为 5x+100 元，
因为 2016 年 12 月共销售 500 台，壁挂式电暖器与小太阳销量之比是 4:1，
所以壁挂式电暖器与小太阳销量分别为：400 台和 100 台，
根据题意得出：
4005x+100+100x=586000,
解得：
x=260,
所以 5x+100=1400（元），
答：每台壁挂式电暖器和小太阳的售价分别为 1400 元，260 元；
（2） 因为 2017 年 1 月份每台壁挂式电暖器销量下滑了 6m%，售价下滑了 4m%，小太阳销量和售价都维持不变，
结果销售总收入下降为 16.04 万元，
所以
4001−6m%×1400×1−4m%+100×260=160400,
解得：
m1=10,m2=953不合题意舍去,
答：m 的值为 10．
24. （1） 724−2×5=714，71−4×5=51，51÷17=3，
所以 7242 能被 17 整除，是“灵动数”；
209875−4×5=209855，20985−5×5=20960，2096−0×5=2096，209−6×5=179，179÷17=10⋯9，
所以 209875 不能被 17 整除，不是“灵动数”．
（2） ∵ 51×52<2700，51×55>2800，51×53=2703，51×54=2754，
∴ 这个数是 2703 或 2754．
25. （1） 在等腰直角 △ABC 中，∠ACB=90∘，CA=CB，CD 为斜边 AB 上的中线．
∴CD⊥AB，∠ACD=45∘．
如图 1，过点 F 作 FMʹ⊥AC 于 Mʹ，
∵AE 平分 ∠CAB，
∴FMʹ=FD=2．
在 Rt△CMʹF 中，∠ACD=45∘，
∴CF=2MʹF=22，
∴CD=CF+FD=22+2，
∵CD 是等腰直角三角形斜边的中线，
∴AC=2CD=2×22+2=4+22．
（2） 如图 2，连接 DP，DQ，
∵△ADC 绕点 D 顺时针旋转一定角度得到 △ADN，
∴AN=BC，DN=CD=DB，△ADN 是等腰直角三角形，
∵△BCD 是等腰直角三角形，点 Q 是 BC 中点，
∴DQ=12BC=12×2BD=22DN，
∵ 点 P 是 AN 中点，
∴DP=12AN=12BC=DQ，
∴DNDP=DBDQ=2，
∵∠NDP=∠CDQ=45∘，
∴∠PDQ=∠PDN+∠CDN+∠CDQ=90∘+∠CDN，
∵∠NDB=∠CDN+∠CDB=90∘+∠CDN，
∴∠PDQ=∠NDB，
∵DNDP=DBDQ=2，
∴△PDQ∽△NDB，
∴BNPQ=DNDP=2，
∴BN=2PQ．
（3） BM−MN=2CH．
26. （1） 对于抛物线 y=x2+2x−3，
令 y=0，得 x2+2x−3=0，
解得 x=−3 或 x=1，
∴ A−3,0，B1,0，
令 x=0，得 y=−3，
∴ C0,−3，
∵ 抛物线 y=x2+2x−3=x+12−4，
∴ 顶点 D 的坐标为 −1,−4，
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，
则有 b=−3,−3k+b=0,
解得 k=−1,b=−3.
∴ 直线 AC 的解析式为 y=−x−3．
综上所述：直线 AC 的解析式为 y=−x−3，点 D 坐标 −1,−4．
（2） 如图 1，
设 Pm,m2+2m−3，
由题意，当 PR 最大时，△ACP 的面积最大，
∵ S△ACP=S△AOP+S△POC−S△AOC=12×3×−m2−2m+3+12×3×−m−12×3×3=−32m2−92m=−32m+322+278,
∴ 当 m=−32 时，△ACP 的面积最大，即 PR 最长，
∴ P−32,−154．
将点 P 沿平行 BE 方向平移 5 个单位得到 G−72,−114，作点 A 关于直线 BE 的对称点 K，连接 GK 交 BE 于 M，此时四边形 APNM 的周长最小，
易得直线 BE 的解析式为 y=−12x+12，直线 AK 的解析式为 y=2x+6，
由 y=2x+6,y=−12x+12,
解得 x=−115,y=85,
∴ J−115,85．
∵ AJ=JK，
∴ K−75,165，
可得直线 KG 的解析式为 y=176x+436，
由 y=176x+436,y=−12x+12,
解得 x=−2,y=32,
∴ M−2,32．
∵ MN 的长度为 5，且 M，N 均在直线 BE 上，
∴ N0,12．
（3） 存在．
①如图 2，当 FD1⊥AD 时，重叠部分是 Rt△FKQ，作 QM⊥DF 于 M．
由题意可知 F−1,−2，DF=2，AF=22，AC=32，AD=25，CD=2，
∴ AC2+CD2=AD2，
∴ ∠ACD=∠AKF=90∘，
∵ ∠DAC=∠DAC，
∴ △AKF∽△ACD，
∴ AFAD=FKCD=AKAC，
∴ 2225=FK2=AK32，
∴ FK=255，AK=655，
∴ DK=22−2552=455，
设 QK=QM=x，
在 Rt△QMD 中，x2+2−2552=455−x2，
∴ x=1−55，
∴ AQ=AK+KQ=1+5，
②如图 3，
当 FQ⊥AD 时，重叠部分是 Rt△FQD1，此时 AQ=655．
③如图 4，
当 QD1⊥AC 时，重叠部分是 Rt△QMF．
设 QM=QK=d，在 Rt△AQM 中，
d2+22−2552=655−d2，
∴ d=223−2515，
∴ AQ=AK−QK=655−223−2515=453−223.
综上所述，当 △D1FQ 与 △AFQ 重叠部分的图形是直角三角形时，AQ 的长为 1+5 或 655 或 453−223．