2019_2020学年青岛市李沧区九上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年青岛市李沧区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，以下给出的几何体中，其主视图有可能是矩形，俯视图是三角形的是
A. B.
C. D.

2. 方程 x2−2x=0 的根是
A. x1=x2=0B. x1=x2=2C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=−2

3. 下列命题中，是真命题的是
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

4. 在一个不透明的袋子中有 20 个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于 0.4，由此可估计袋中红球的个数约为
A. 4B. 6C. 8D. 12

5. 若点 A−5,y1，B−3,y2，C2,y3 在反比例函数 y=3x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y1
6. 如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度 BC=10 米，∠B=36∘，则中柱 AD（D 为底边中点）的长是

A. 5sin36∘ 米B. 5cs36∘ 米C. 5tan36∘ 米D. 10tan36∘ 米

7. 抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=cx 在同一平面直角坐标系内的图象大致为
A. B.
C. D.

8. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=10，点 E 在 CD 上，将 △BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰落在边 AD 上的点 F 处；点 G 在 AF 上，将 △ABG 沿 BG 折叠，点 A 恰落在线段 BF 上的点 H 处，有下列结论：
① ∠EBG=45∘；
② △DEF≌△ABG；
③ S△ABG=32S△FGH；
④ AG+DF=FG．
其中正确的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共7小题；共35分）
9. 某同学的身高为 1.4 m，某一时刻他在阳光下的影长为 1.2 m．此时，与他相邻的一棵小树的影长为 3.6 m，这棵树的高度为 m．

10. 反比例函数 y=k−1x 的图象经过点 2,3，则 k= ．

11. 已知点 P 是线段 AB 上的黄金分割点，AP>PB，AB=4 厘米，则线段 AP= 厘米．

12. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了 1 m，另一边减少了 2 m，剩余空地的面积为 18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长 x m，则可列方程 ．

13. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D 都在这些小正方形的顶点上，AB，CD 相交于点 P，则 tan∠APD 的值是 ．

14. 在平面直角坐标系中，直线 l:y=x−1 与 x 轴交于点 A1，如图所示依次作正方形 A1B1C1O，正方形 A2B2C2C1，⋯，正方形 AnBnCnCn−1，使得点 A1，A2，A3⋯ 在直线 l 上，点 C1，C2，C3⋯ 在 y 轴正半轴上，则点 Bn 的坐标是 ．

15. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系．△ABC 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点 O 为位似中心，画 △A1B1C1，使它与 △ABC 的相似比为 2，则点 B 的对应点 B1 的坐标是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
16. 计算：2cs230∘−2sin60∘×cs45∘．

17. 若规定两数 a，b 通过“⋇”运算，得到 4ab，即 a⋇b=4ab，例如 2⋇6=4×2×6=48．求 x⋇x+2⋇x−2⋇4=0 中 x 的值．

18. 在体质监测时，初三某男生推铅球，铅球行进高度 y m 与水平距离 x m 之间的关系是 y=−112x2+x+2．
（1）铅球行进的最大高度是多少?
（2）该男生把铅球推出的水平距离是多少（精确到 0.01 米，15≈3.873）?

19. 甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字 2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）若两人抽取的数字和为 2 的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为 5 的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释．

20. 如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高 BC 是 10 米，坡面 10 米处有一建筑物 HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面 DC 的倾斜角 ∠BDC=30∘，若新坡面下 D 处与建筑物之间需留下至少 3 米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：2=1.414，3=1.732）

21. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 16 m，宽为 6 m，抛物线的最高点 C 离地面 AA1 的距离为 8 m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．
（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为 7 m，宽为 4 m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过?

22. 如图，已知 AC 是矩形 ABCD 的对角线，过 AC 的中点 O 的直线 EF，交 BC 于点 F，交 AD 于点 E，连接 AF，CE．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若 EF⊥AC，试判断四边形 AFCE 是什么特殊四边形?请证明你的结论．

23. 某片果园有果树 80 棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果 y（千克），增种果树 x（棵），它们之间的函数关系如图所示．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实 6750 千克?
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量 w（千克）最大?最大产量是多少?

24. （1）问题
如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=a，AB=b．
填空：当点 A 位于 时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 （用含 a，b 的式子表示）．
（2）应用
点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=3，AB=1，如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE．
①请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段 BE 长的最大值．
（3）拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 2,0，点 B 的坐标为 5,0，点 P 为线段 AB 外一动点，PA=2，PM=PB，∠BPM=90∘，请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，BC=12 cm，AD=8 cm．点 P 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 3 cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB，AC，AD 于 E，F，H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t>0）．
（1）连接 DE，DF，当 t 为何值时，四边形 AEDF 为菱形?
（2）连接 PE，PF，在整个运动过程中，△PEF 的面积是否存在最大值?若存在，试求当 △PEF 的面积最大时，线段 BP 的长．
（3）是否存在某一时刻 t，使点 F 在线段 EP 的中垂线上?若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D
2. C【解析】本题属于基础题，主要考察一元二次方程的解，解得 xx−2=0．
3. A
4. C
5. D
6. C【解析】因为 AB=AC，AD⊥BC，BC=10 米，
所以 DC=BD=5 米，
在 Rt△ADB 中，∠B=36∘，
所以 tan36∘=ADBD，即 AD=BD⋅tan36∘=5tan36∘（米）．
7. B【解析】提示：a>0，b<0，c<0 .
8. B
第二部分
9. 4.2
10. 7
11. 25−2
12. x−1x−2=18
13. 2
【解析】标出图中的点 E ，连接 BE 且与 CD 相交于点 F .
∵ 四边形 BCED 是正方形，
∴DF=CF=12CD，BF=12BE，CD=BE，CD⊥BE．
∴BF=CF．
根据题意得 AC∥BD．
∴△ACP∽△BDP．
∴DP:CP=BD:AC=1:3．
∴DP:DF=1:2．
∴DP=PF=12CF=12BF．
在 Rt△PBF 中，tan∠BPF=BFPF=2．
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2．
14. 2n−1,2n−1（n 为正整数）
15. −4,−2 或 4,2
第三部分
16. 原式=2×322−2×32×22=2×34−62=3−62.
17. 因为 x⋇x+2⋇x−2⋇4=0，
所以
4xx+2⋇x−2⋇4=0.
所以
16xx+2x−2⋇4=0.
所以
256xx+2x−2=0.
所以
x=0,x+2=0或x−2=0.
解得
x=0,x=−2或x=2.
18. （1） ∵ y=−112x2+x+2=−112x−62+5，
∴ 当 x=6 时，y最大=5，
答：铅球行进的最大高度是 5 米．
（2） 当 y=0 时，−112x2+x+2=0，解得：x=6±215，
∴ 铅球推出的水平距离是 6+215≈13.75 米．
19. （1） 所有可能出现的结果如图：
方法一：列表法
\（ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
甲\diagdwn乙&2&3&5\\ \hline
2&\left（2，2\right）&\left（2，3\right）&\left（2，5\right）\\ \hline
3&\left（3，2\right）&\left（3，3\right）&\left（3，5\right）\\ \hline
5&\left（5，2\right）&\left（5，3\right）&\left（5，5\right）\\ \hline
\end{array} \）
【解析】方法二：树状图法：
甲 乙所有可能出现的结果
从上面的表格（或树状图）可以看出，总共有 9 种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有 3 种，所以 P两人抽取相同数字=39=13．
（2） 不公平．
从上面的表格（或树状图）可以看出，两人抽取数字和为 2 的倍数有 5 种，两人抽取数字和为 5 的倍数有 3 种，
所以 P甲获胜=59；P乙获胜=39=13．
因为 59>13，
所以甲获胜的概率大，游戏不公平．
20. 由题意得，AH=10 米，BC=10 米，
在 Rt△ABC 中，∠CAB=45∘，
∴AB=BC=10，
在 Rt△DBC 中，∠CDB=30∘，
∴DB=BCtan∠CDB=103，
∴DH=AH−AD=AH−DB−AB=10−103+10=20−103≈2.7米,
∵2.7 米 <3 米，
∴ 该建筑物需要拆除．
21. （1） 据题意得 A−8,0，B−8,6，C0,8，
设抛物线的解析式为 y=ax2+8a≠0，
把 B−8,6 代入 64a+8=6．
解得：a=−132．
抛物线的解析式为 y=−132x2+8．
（2） 根据题意，把 x=±4 代入解析式，
得 y=7.5 m．
因为 7.5 m>7 m，
所以货运卡车能通过．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD∥BC，
∴ ∠EAO=∠FCO，
∵ O 是 AC 的中点，
∴ AO=CO，
在 △AOE 和 △COF 中，
∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF,
∴ △AOE≌△COFASA．
（2） 四边形 AFCE 是菱形；
理由如下：
由（1）△AOE≌△COF 得：OE=OF，
又 OA=OC，
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形，
又 EF⊥AC
∴ 平行四边形 AFCE 是菱形．
23. （1） 设函数的表达式为 y=kx+b，该一次函数过点 12,74，28,66，
根据题意，得 74=12k+b,66=28k+b.
解得 k=−0.5,b=80.
所以该函数的表达式为 y=−0.5x+80．
（2） 根据题意，得 −0.5x+8080+x=6750．
解这个方程得 x1=10，x2=70．
因为投入成本最低．
所以 x2=70 不满足题意，舍去．
所以增种果树 10 棵时，果园可以收获果实 6750 千克．
（3） 根据题意，得
w=−0.5x+8080+x=−0.5x2+40x+6400=−0.5x−402+7200.
因为 a=−0.5<0，则抛物线开口向下，函数有最大值
所以当 x=40 时，w 最大值为 7200 千克．
所以当增种果树 40 棵时果园的最大产量是 7200 千克．
24. （1） CB 的延长线上；a+b
【解析】因为点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=a，AB=b，
所以当点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 BC+AB=a+b．
（2） ① CD=BE，
理由：因为 △ABD 与 △ACE 是等边三角形，
所以 AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60∘．
所以 ∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即 ∠CAD=∠EAB，
在 △CAD 与 △EAB 中，
AD=AB,∠CAD=∠EAB,AC=AE,
所以 △CAD≌△EABSAS，
所以 CD=BE．
② 4
【解析】因为 线段 BE 长的最大值 = 线段 CD 的最大值，
所以由（1）知，当线段 CD 的长取得最大值时，点 D 在 CB 的延长线上，
所以最大值为 BD+BC=AB+BC=4．
（3） 如图 1，连接 BM，
因为将 △APM 绕着点 P 顺时针旋转 90∘ 得到 △PBN，连接 AN，
则 △APN 是等腰直角三角形，
所以 PN=PA=2，BN=AM，
因为 A 的坐标为 2,0，点 B 的坐标为 5,0，
所以 OA=2，OB=5，
所以 AB=3，
所以 线段 AM 长的最大值 = 线段 BN 长的最大值，
所以当 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值，
最大值 =AB+AN，
因为 AN=2AP=22，
所以最大值为 22+3，
如图 2，过 P 作 PE⊥x 轴于 E，
因为 △APN 是等腰直角三角形，
所以 PE=AE=2，
所以 OE=BO−AB−AE=5−3−2=2−2，
所以 P2−2,2．
25. （1） 如图1，
若四边形 AEDF 为菱形，则 EF 垂直平分 AD，此时，DH=12AD=4 cm，
又因为直线 m 以每秒 2 cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，
所以 t=42=2s，此时，EF 垂直平分 AD，
所以 AE=DE，AF=DF．
因为 AB=AC，AD⊥BC 交 BC 于点 D，
所以 AD⊥BC，∠B=∠C．
所以 EF∥BC，
所以 ∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
所以 ∠AEF=∠AFE，
所以 AE=AF，
所以 AE=AF=DE=DF，即四边形 AEDF 为菱形，
故当 t=2 s 时，四边形 AEDF 为菱形．
（2） 如图2，
因为直线 m 以每秒 2 cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，AD=8 cm，
所以 DH=2t，AH=8−2t，
因为 EF∥BC，
所以 △AEF∽△ABC，
所以 EFBC=AHAD，即 EF12=8−2t8．
解得 EF=12−3t，
所以
S△PEF=12EF⋅DH=1212−3t⋅2t=−3t2+12t=−3t−22+120所以当 t=2 秒时，S△PEF 存在最大值，最大值为 12 cm2，此时 BP=3t=6 cm．
（3） 存在某一时刻 t，使点 F 在线段 EP 的中垂线上．
因为 AB=AC，AD⊥BC，BC=12 cm，AD=8 cm，
所以 AB=AC=10 cm，
若点 F 在线段 EP 的中垂线上，则 FE=FP，
由（2）可得，EF=12−3t=PF，
如图3，过点 F 作 FG⊥BC 交 BC 于 G，
则 FG=HD=2t，FG∥AD，
所以 △FCG∽△ACD，
所以 CGCD=FGAD，即 CG6=2t8，
所以 CG=32t，
又因为 BP=3t，BC=12 cm，
所以 PG=12−3t−32t，
所以 Rt△PFG 中，12−3t−32t2+2t2=12−3t2，
解得 t1=14461 或 t2=0（舍去），
所以当 t=14461 时，点 F 在线段 EP 的中垂线上．