2019_2020学年宁波市鄞州区九上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年宁波市鄞州区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若 3a=4b，则 ab=
A. 34B. 43C. 37D. 47

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=6，csB=23，则 BC 的长为
A. 5B. 4C. 25D. 5

3. 点 P 在半径为 r 的 ⊙A 外，则点 P 到点 A 的距离 d 与 r 的关系是
A. d≤rB. dr

4. 下列事件中：①对于抛物线 y=2x2，y=12x2，任取一条抛物线，当 x≥0 时，y 随 x 的增大而增大；②对于四边形 ABCD 绕 O 点旋转任意角度得到一个新四边形 A1B1C1D1，这两个四边形全等；③对于 ⊙O 的圆周上任意取两点，这两点到 O 点的距离相等；④某同学一分钟跳绳跳了 5000 个．其中是必然事件的是
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④

5. 如图，圆内接四边形 ABCD 中，∠A=80∘，若 ABC，ADC 的长度分别为 7π，11π，则 BAD 的长度为
A. 4πB. 8πC. 10πD. 15π

6. 如图，在 △ABC 中，∠A=78∘，AB=4，AC=6．将 △ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的涂色三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.

7. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧，其中错误的是
A. ①B. ②C. ③D. ④

8. 如图，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点 O，交 x 轴于点 C8,0，交 y 轴于点 D0,6，点 B 为 x 轴下方圆弧上的一点，连接 BO，BD，则 sin∠OBD 的值为
A. 35B. 45C. 34D. 12

9. 如图，把矩形 ABCD 中的 AB 边向上翻折到 AD 边上，当点 B 与点 F 重合时，折痕与 BC 边交于点 E，连接 EF，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 恰好相似，若 AB=1 时，AD 的长为
A. 1+52B. 5−12C. 3−5D. 5−1

10. 如图，二次函数 y=ax2+bx+ca>0 图象的顶点为 D，其图象与 x 轴的交点 A，B 的横坐标分别为 −1 和 3，则下列结论正确的是
A. 2a−b=0
B. a+b+c>0
C. 3a−c=0
D. 当 a=12 时，△ABD 是等腰直角三角形

11. 如图，把两条宽度都是 1 的纸条，交错地叠在一起，相交成角 α，则重叠部分的面积是
A. 2sinαB. 2csαC. 1sinαD. 12csα

12. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 边的中点，BE⊥AC，垂足为点 F，连接 DF，分析下列四个结论：
① △AEF∽△CAB；
② CF=2AF；
③ DF=DC；
④ tan∠CAD=2．
其中正确的结论有
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 在一个不透明的布袋中装有 1 个白球，2 个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是 ．

14. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB=8，M 是弦 AB 上的动点，且 OM 的最小值为 3．则 ⊙O 的半径为 ．

15. 活动楼梯如图所示，∠B=90∘，斜坡 AC 的坡度为 1:1，斜坡 AC 的坡面长度为 8 m，则走这个活动楼梯从 A 点到 C 点上升的高度 BC 为 ．

16. 如图，在 △ABC 中，D，E 分别是 AB，BC 上的点，且 DE∥AC，若 BE:BC=1:4，则 S△BDE:S△ACD 的比为 ．

17. 为纪念长征胜利 80 周年，学校举行纪念活动特定制了一批红军帽徽正五角星．如图，已知 AC=2，则 EF 的长为 ．

18. 如图，一段抛物线：y=−xx−2 0≤x≤2 记为 C1，它与 x 轴交于两点 O，A1；将 C1 绕 A1 旋转 180∘ 得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2 绕 A2 旋转 180∘ 得到 C3，交 x 轴于 A3；…如此进行下去，直至得到 C6，若点 P11,m 在第 6 段抛物线 C6 上，则 m= ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. （1）计算：3sin60∘−2cs45∘+tan230∘；
（2）若 x2=y3=z4≠0，求 2x+3yz 的值．

20. 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 E，且点 B 恰好是 CD 的中点，连接 AC，BD，BC．求证：BD2=AB⋅BE．

21. 有三张正面分别标有数字 0，1，−3 的卡片，它们除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．
（1）请用列表或画树状图的方法，表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；
（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标 x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标 y，求点 x,y 落在抛物线 y=x2+2x−3 上的概率．

22. 某班数字兴趣小组利用数学活动课时间测量一座山顶的雕像高度，已知山坡面 BD 与水平面 DC 的夹角为 30∘，山高 BC 为 285.5 米，组员从山脚 D 处沿山坡向着雕像方向前进 540 米到达 E 点，在点 E 处测得雕像顶端 A 的仰角为 60∘，求雕像 AB 的高度．

23. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接 OA，OB，OC，AC，OB 与 AC 相交于点 E．
（1）求 ∠AOC 的度数；
（2）若 ∠AOB=3∠COB，OC=43，求阴影部分的面积．

24. 课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为 6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大?
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 0.35 m 时，透光面积的最大值约为 1.05 m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为 6 m 利用图3，解答下列问题：
（1）若 AB 为 1 m，求此时窗户的透光面积．
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明．

25. 已知：如图，二次函数 y=−14x2+bx+c 图象经过原点 O，图象顶点为 N，对称轴 ND 为直线 x=3．
（1）求此二次函数表达式；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移到点 M，设平移后的抛物线与 x 轴，y 轴的交点分别为 A，B，C 三点，连接 AC，AB，BC，当 tan∠ABC=12，求证：△ABC 是直角三角形；
（3）在（2）的基础上，试求出以线段 OC，MN 和两抛物线所围成的区域的面积．

26. 定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为 0,8，AB 为半圆的直径，半圆圆心 M 的坐标为 1,0，半圆半径为 3．
（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的函数表达式和自变量 x 的取值范围；
（2）设过点 D 的“蛋圆”切线与 x 轴的交点为 E，请你求出线段 OE 的长；
（3）在（2）的条件下，在 x 轴上是否存在点 P，使得以 O，C，P 为顶点的三角形与 △DOE 相似?若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】∵3a=4b，
∴ab=43．
2. B【解析】∵csB=BCAB，
∴BC=AB⋅csB=6×23=4．
3. D【解析】由点 P 在半径为 r 的 ⊙A 外，得 d>r．
4. A【解析】①对于抛物线 y=2x2，y=12x2，任取一条抛物线，当 x≥0 时，y 随 x 的增大而增大是必然事件；
②对于四边形 ABCD 绕 O 点旋转任意角度得到一个新四边形 A1B1C1D1，这两个四边形全等是必然事件；
③对于 ⊙O 的圆周上任意取两点，这两点到 O 点的距离相等是必然事件；
④某同学一分钟跳绳跳了 5000 个是不可能事件．
5. C
【解析】∵ABC，ADC 的长度分别为 7π，11π，
∴ 圆的周长为 18π，
∵∠A=80∘，
∴∠C=180∘−80∘=100∘，
故 BAD=100∘180∘×18π=10π．
6. C
7. B【解析】①直径是圆中最长的弦，正确；
②经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，错误；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确；
④半径相等的两个半圆是等弧，正确．
其中正确的有①③④，错误的为②．
8. A【解析】如图，连接 CD，
∵∠OBD 与 ∠OCD 是同弧所对的圆周角，
∴∠OBD=∠OCD．
∵C8,0，D0,6，
∴CD=82+62=10，
∴sin∠OBD=ODCD=610=35．
9. A【解析】∵AB=1，
设 AD=x，则 FD=x−1，FE=1，
∵ 四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，
∴EFFD=ADAB，1x−1=x1，
解得 x1=1+52，x2=1−52（不合题意舍去），
经检验 x1=1+52 是原方程的解．
10. D
【解析】∵ 抛物线与 x 轴的交点 A，B 的横坐标分别为 −1，3，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=1，则 −b2a=1，
∴2a+b=0，
∴ 选项A错误；
∴ 当自变量取 1 时，对应的函数图象在 x 轴下方，
∴x=1 时，y<0，则 a+b+c<0，
∴ 选项B错误；
∵a>0，c<0，
∴3a>0，−c>0．
∴3a−c>0，
∴ 选项C错误；
当 a=12，则 b=−1，c=−32，对称轴 x=1 与 x 轴的交点为 E，如图，
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2−x−32，
把 x=1 代入得 y=12−1−32=−2，
∴D 点坐标为 1,−2，
∴AE=2，BE=2，DE=2，
∴△ADE 和 △BDE 都为等腰直角三角形，
∴△ADB 为等腰直角三角形，
∴ 选项D正确．
11. C【解析】由题意可知：重叠部分是菱形，
设菱形 ABCD，则 ∠ABE=α，
如图，过 A 作 AE⊥BC 于 E，
则 AE=1，设 BE=x，
∵∠ABE=α，
∴AB=AEsinα=1sinα，
∴BC=AB=1sinα，
∴ 重叠部分的面积是：1sinα×1=1sinα．
12. B【解析】如图，过点 D 作 DM∥BE 交 AC 于点 N，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90∘，AD=BC，
∵BE⊥AC 于点 F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90∘，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠ACB，
又 ∵∠AFE=∠BFC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AEBC=AFCF，
∵AE=12AD=12BC，
∴AFCF=12，
∴CF=2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴ 四边形 BMDE 是平行四边形，
∴BM=DE=12BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC 于点 F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正确；
设 AD=a，AB=b，
由 △BAE∽△ADC，有 ba=a2b，
∵tan∠CAD=CDAD=ba=22，故④错误．
第二部分
13. 13
【解析】从装有 1 个白球，2 个红球的袋子中摸出一个球，共有 3 种等可能结果，
其中摸出一球是白球的只有 1 种结果，
∴ 从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是 13．
14. 5
【解析】根据垂线段最短知，当 OM⊥AB 时，OM 有最小值，
此时，由垂径定理知，点 M 是 AB 的中点，
如图：连接 OA，
AM=12AB=4，
由勾股定理知，OA2=OM2+AM2．
即 OA2=42+32，解得 OA=5．
∴⊙O 的半径为 5．
15. 42 m
16. 1:12
【解析】∵DE∥AC，
∴△ABC∽△DBE，
∴S△BDE:S△ABC=BE:BC2．
∵BE:BC=1:4，
∴S△BDE:S△ABC=1:16．
设 S△BDE=S，则 S△ABC=16S，
∵BE:BC=1:4，
∴S△BCD=4S△BDE=4S，
∴S△ACD=16S−4S=12S，
∴S△BDE:S△ACD=S:12S=1:12．
17. 3−5
【解析】∵ 五边形 ABCDE 为正五边形，
∴AB=BC=DE，AC=AD=EC，∠CBA=∠BAE=∠AED=108∘，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=36∘，
∴∠ACE=108∘−36∘−36∘=36∘=∠BAC，
∴AB∥CE．
同理，可得：BC∥AD，AC∥DE，
∵AB=BC，
∴ 四边形 ABCF 为菱形．
设 EF=x，则 DE=AB=CF=2−x，
∴x2−x=2−x2，解得：x1=3−5 或 x2=3+5，
∵x<2，
∴x=3−5，经检验，x=3−5 是原分式方程的解．
18. −1
【解析】∵ y=−xx−2=−x−12+1 0≤x≤2，
∴C1 顶点坐标为 1,1，A12,0 .
∵ C2 由 C1 旋转得到，
∴ OA1=A1A2，即 C2 顶点坐标为 3,−1，A24,0；
照此类推可得，C3 顶点坐标为 5,1，A36,0；
C4 顶点坐标为 7,−1，A48,0；
C5 顶点坐标为 9,1，A510,0；
C6 顶点坐标为 11,−1，A612,0；
∴ m=−1．
第三部分
19. （1） 3sin60∘−2cs45∘+tan230=3×32−2×22+332=32−1+13=56.
（2） 设 x2=y3=z4=kk≠0，
则 x=2k，y=3k，z=4k，
所以，2x+3yz=2⋅2k+3⋅3k4k=134．
20. ∵B 是 CD 的中点，
∴BC=BD，
∴∠A=∠BCD，BD=BC，
∵∠CBA=∠EBC，
∴△CEB∽△ACB，
∴EBBC=BCAB，
∴BC2=AB⋅EB，
∵BD=BC，
∴BD2=AB⋅BE．
21. （1） 画树状图如下：
（2） 在所有 9 种等可能结果中，落在抛物线 y=x2+2x−3 上的有 0,−3，1,0，−3,0 这 3 种结果，
∴ 点 x,y 落在抛物线 y=x2+2x−3 上的概率为 39=13．
22. 如图，作 EF⊥AC 于 F，EG⊥DC 于 G．
在 Rt△DEG 中，EG=12DE=270，
∴BF=BC−CF=285.5−270=15.5（米），
EF=BFtan∠BEF=3123 米．
∵∠AEF=60∘，
∴∠A=30∘，
∴AF=EFtanA=46.5 米，
∴AB=AF−BF=31（米）．
答：雕像 AB 的高度为 31 米．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，
∴∠ABC+∠D=180∘，
∵∠ABC=2∠D，
∴∠D+2∠D=180∘，
∴∠D=60∘，
∴∠AOC=2∠D=120∘．
（2） ∵∠AOB=3∠COB，
∴∠AOC=∠COB+3∠COB=120∘，
∴∠COB=30∘，
∴∠AOB=∠AOC−∠COB=90∘，
在 Rt△OAE 中，OC=OA=43，
∴OE=OA⋅tan∠OAE=43⋅tan30∘=43×33=4，
∴S△OEA=12OE⋅OA=12×4×43=83，
∴S扇形OBA=90π432360=12π，
∴S阴影=S扇形OBA−S△OEA=12π−83．
24. （1） 由已知得 AD=6−1−1−1−0.52=54 .
∴S=54 m2．
（2） 设 AB=x m，则 AD=3−74x .
∵3−74x>0，
∴0设窗户面积为 S，由已知得 S=AB⋅AD=x3−74x=−74x2+3x=−74x−672+97，
当 x=67 时，且 x=67 在 01.05 m2 .
∴ 与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．
25. （1） 由图象经过原点，得，
c=0，由对称轴等于 3，得，
x=−b−2×14=3，解得 b=32，
y=−14x2+32x．
（2） 设平移后的抛物线 y=−14x2+32x+c，则 OC=c，tan∠ABC=12，
∴OB=2c，则 B 点坐标为 2c,0，
把点 B 代入上式，得 c=4，
∴ 平移后的抛物线 y=−14x2+32x+4，
∵OA=2，OC=4，OB=8，tan∠ABC=tan∠ACO=12，
∴∠ABC=∠ACO，
∵OC⊥AB，
∴∠ABC+∠BCO=90∘，
∴∠ACO+∠BCO=90∘，
∴∠ACB=90∘，
∴△ABC 是直角三角形．
（3） 如图，连线 CM，ON，
由平移，得，
OC 平行且等于 MN，
∴ 四边形 OCMN 是平行四边形，S四边形OCMN=OC⋅OD=12，
由平移，得，
线段 CM 与平移后的抛物线围成区域和线段 ON 与原抛物线围成的区域面积相等，
则以线段 OC，MN 和两抛物线所围成的区域的面积等于 S四边形OCMN=12．
26. （1） ∵M 的坐标为 1,0，半圆半径为 3，
∴ 点 A，B 坐标分别是 −2,0，4,0，则设“蛋圆”抛物线部分的函数表达式为 y=ax+2x−4，
而点 D 的坐标为 0,8，
∴8=a0+20−4，
∴“蛋圆”抛物线部分的函数表达式 y=−x2+2x+8，
由 A，B 点的横坐标，得自变量的取值范围是 −2≤x≤4．
（2） 设过点 D0,8“蛋圆”切线的解析式为 y=kx+8k≠0，
由题意，得 y=kx+8,y=−x2+2x+8 只有一组解，
即 kx+8=−x2+2x+8 有两个相等的实数根，
化简，得 x2+k−2x=0，
因式分解，得 xx+k−2=0，得 2−k=0，
解得 k=2，
∴ 过点 D“蛋圆”切线的解析式为 y=2x+8，
当 y=0 时，解得 x=−4，
∴OE=4．
（3） 在 x 轴上存在点 P，使得以 O，C，P 为顶点的三角形与 △DOE 相似，如图，
在 △OMC 中由勾股定理，得 OC=22．
当 △OCP∽△ODE 时，OPOE=OCOD，OP4=228，
解得 OP=2，P12,0，P2−2,0，
当 △OCP∽△OED 时，OPOD=OCOE，OP8=224，解得 PO=42，P342,0，P4−42,0．
综上所述：点 P 的坐标是 2,0，−2,0，42,0，−42,0．