2019_2020学年重庆市江津区九上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年重庆市江津区九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 抛物线 y=−x+22−5 的顶点坐标是
A. 2,−5B. 2,5C. −2,−5D. −2,5

2. 风车不能做成轴对称图形，应做成中心对称图形才能在风口处平稳旋转，如图，现有一长条矩形硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车，正确的粘合方法是
A. B.
C. D.

3. 下列说法中不正确的是
A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件
B. 某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩是必然事件
C. 367 人中至少有 2 人生日（公历）相同是必然事件
D. 长分别为 3，5，9 的三条线段不能围成一个三角形是必然事件

4. 方程 x2+6x−5=0 的左边配成完全平方式后所得方程为
A. x+32=14B. x−32=14
C. x+62=12D. 以上答案都不对

5. 下列运动属于旋转的是
A. 扶梯的上升B. 一个图形沿某直线对折过程
C. 气球升空的运动D. 钟表的钟摆的摆动

6. 若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x−1=0 有实数根，则 k 的取值范围是
A. k>−1B. k≥−1
C. k>−1 且 k≠0D. k≥−1 且 k≠0

7. 如图，将直角三角板 60∘ 角的顶点放在圆心 O 上，斜边和一直角边分别与 ⊙O 相交于 A，B 两点，P 是优弧 AB 上任意一点（与 A，B 不重合），则 ∠APB=
A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 60∘

8. 如图，四边形 PAOB 是扇形 MON 的内接矩形，顶点 P 在 MN 上，且不与 M，N 重合，当 P 点在 MN 上移动时，矩形 PAOB 的形状、大小随之变化，则 AB 的长度
A. 变大B. 变小C. 不变D. 不能确定

9. 一次函数 y=ax+b 和反比例函数 y=cx 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数 y=ax2+bx+c 的图象大致为
A. B.
C. D.

10. 小明在做一道正确答案是 2 的计算题时，由于运算符号（“+”、“−”、“×”或“÷”）被墨迹污染，看见的算式是“4■2”，那么小明还能做对的概率是
A. 14B. 13C. 16D. 12

11. 已知 m，n 是方程 x2−2x−1=0 的两根，且 7m2−14m+a3n2−6n−7=8，则 a 的值等于
A. −5B. 5C. −9D. 9

12. 某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为 3 米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同，其中的一个小正方形 ABCD 如图乙所示，AE=AF=x 米，DE=DG，在五边形 EFBCG 区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积 y 与 x 的函数图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 若 y=xm−2 是二次函数，则 m= ．

14. 方程 x2−9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为 ．

15. 如图，在等边 △ABC 中，AB=6，D 是 BC 上一点，且 BC=3BD，△ABD 绕点 A 旋转后得到 △ACE，则 CE 的长度为 ．

16. 如图是某市 1 月 1 日至 10 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 1 月 1 日至 1 月 8 日中的某一天到达该市，并连续停留 3 天，则此人在该市停留期间有且仅有 1 天空气质量是重度污染的概率是 ．

17. 如图，半径为 1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点 M 与圆心 O 重合，则图中阴影部分的面积是 ．

18. 二次函数 y=23x2 的图象如图所示，点 A0 位于坐标原点，点 A1，A2，A3，⋯，A2017 在 y 轴的正半轴上，点 B1，B2，B3，⋯，B2017 在二次函数 y=23x2 位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，⋯，△A2016B2017A2017 都为等边三角形，则等边 △A2016B2017A2017 的高为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. （1）x2−4=0；
（2）x2−4x−3=0．

20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A1,4，B4,2，C3,5（每个方格的边长均为 1 个单位长度）．
（1）请画出将 △ABC 向下平移 5 个单位后得到的 △A1B1C1；
（2）将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘，画出旋转后得到的 △A2B2C2，并直接写出点 B 旋转到点 B2 所经过的路径长．

21. 某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B，E两组发言人数的比为 5:2，请结合图中相关数据回答下列问题：
发言次数nA0≤n<3B3≤n<6C6≤n<9D9≤n<12E12≤n<15F15≤n<18
（1）则样本容量是 ，并补全直方图；
（2）该年级共有学生 500 人，请估计全年级在这天里发言次数不少于 12 的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有 1 位女生，E组发言的学生中有 2 位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．

22. 某服装商场购进一批T恤，每件进价 40 元，出于营销考虑，要求每件售价不得低于 40 元且不得高于 60 元，在销售过程中发现该T恤每周的销售量 y（件）与每件售价 x（元）之间满足一次函数关系，当销售单价为 44 元时，销量是 72 件，当销售单价为 48 元时，销售量为 64 件．
（1）请直接写出 y 与 x 的函数关系式；
（2）当商场每周销售这种T恤获得 350 元的利润时，每件的销售单价是多少元?

23. 如图，四边形 OABC 是平行四边形，以 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AB 于 D，延长 AO 交 ⊙O 于 E，连接 CD，CE，若 CE 是 ⊙O 的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线；
（2）若平行四边形 OABC 的两边长是方程 x2−16x+60=0 的两根，求平行四边形 OABC 的面积．

24. 根据下列要求，解答相关问题：
（1）请补全以下求不等式 x2−2x<0 的解集的过程：
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数 y=x2−2x；并在下面的坐标系中（图 1）画出二次函数 y=x2−2x 的图象（只画出大致图象即可）；
②求得界点，标示所需，当 y=0 时，求得方程 x2−2x=0 的解为 ，并在图 2 中用虚线标示出函数 y=x2−2x 图象中 y<0 的部分；
③借助图象，写出解集：由所标出图象，可得不等式 x2−2x<0 的解集为 ．
（2）请你利用上面求不等式解集的过程，求不等式 x2−2x−3≥0 的解集．

25. 如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中 ∠C=90∘，∠B=∠E=30∘，
（1）操作发现：如图 2，固定 △ABC，使 △DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，
① △ADC 是 三角形；
②设 △BDC 的面积为 S1，△AEC 的面积为 S2，那么 S1 与 S2 的数量关系是 ．
（2）猜想论证当 △DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 △BDC 和 △AEC 中 BC，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究，如图 4，已知 ∠ABC=60∘，点 D 是其平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB 交 BC 于点 E．若在射线 BA 上存在点 F，使 S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的 BF 的长．

26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+6 经过点 A−3,0 和点 B2,0，直线 y=h（h 为常数，且 0（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 AE，求 h 为何值时，△AEF 的面积最大．
（3）已知一定点 M−2,0，问：是否存在这样的直线 y=h，使 △OFM 是等腰三角形?若存在，请求出 h 的值和点 G 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. B
4. A
5. D
6. D
7. A
8. C
9. C【解析】∵ 一次函数 y=ax+b 经过一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∵ 反比例函数 y=cx 的图象在一、三象限，
∴c>0，
∵a<0，
∴ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的开口向下，
∵b>0，
∴−b2a>0，
∵c>0，
∴ 与 y 轴的正半轴相交.
10. D
11. C
12. A
第二部分
13. 4
14. 15
15. 2
【解析】在等边 △ABC 中，AB=6，
∴BC=AB=6，
∵BC=3BD，
∴BD=2，
∵△ABD 绕点 A 旋转后得到 △ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=2．
16. 34
17. 32−π6
【解析】如图，连接 OM 交 AB 于点 C，连接 OA 、 OB，
由题意知，OM⊥AB，且 OC=MC=12 .
在 Rt△AOC 中，∵OA=1，OC=12，
∴cs∠AOC=OCOA=12，AC=OA2−OC2=32 .
∴∠AOC=60∘，AB=2AC=3 .
∴∠AOB=2∠AOC=120∘ .
S弓形ABM=S扇形OAB−S△AOB=120π×12360−12×3×12=π3−34.
S阴影=S半圆−2S弓形ABM=12π×12−2π3−34=32−π6.
18. 201732
第三部分
19. （1）
∵x2=4,∴x=2或x=−2.
（2）
∵x2−4x=3,∴x2−4x+4=3+4,
即
x−22=7,
则
x−2=±7,∴x1=2+7,x2=2−7.
20. （1） 如图，△A1B1C1 为所作；
（2） 如图，△A2B2C2 为所作，
5π．
21. （1） 50；
补图如下：
【解析】∵ B，E两组发言人数的比为 5:2，E占 8%，
∴ B组所占的百分比是 20%，
∵ B组的人数是 10，
∴ 样本容量为：10÷20%=50，
∴ C组的人数是 50×30%=15（人），
F组的人数是：501−6%−20%−30%−26%−8%=5（人），
（2） ∵ F组的人数是 1−6%−8%−30%−26%−20%=10%，
∴ 发言次数不少于 12 的次数所占的百分比是：8%+10%=18%，
∴ 全年级 500 人中，在这天里发言次数不少于 12 的人数为 500×18%=90（人）．
（3） ∵ A组发言的学生为：50×6%=3 人，有 1 位女生，
∴ A组发言的有 2 位男生，
∵ E组发言的学生：4 人，
∴ 有 2 位女生，2 位男生．
∴ 由题意可画树状图为：
∴ 共有 12 种情况，所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有 6 种，
∴ 所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为 612=12．
22. （1） y=−2x+160．
（2） 当商场每周销售这种T恤获得 350 元的利润时，每件T恤的销售单价是 x 元，
根据题意得：
x−40y=350,
即
x−40−2x+160=350,
解得：
x1=45,x2=75不合题意舍去,
答：每件T恤的销售单价是 45 元．
23. （1） ∵ CE 是 ⊙O 的切线，
∴ ∠OEC=90∘，
如图 1，连接 OD，
∵ 四边形 OABC 是平行四边形，
∴ AO=BC，OC=AB，OC∥AB，
∴ ∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∵ OD=OA，
∴ ∠A=∠ODA，
∴ ∠EOC=∠DOC，
在 △EOC 和 △DOC 中，
OE=OD,∠EOC=∠DOC,OC=OC,
∴ △EOC≌△DOC，
∴ ∠ODC=∠OEC=90∘，
∴ OD⊥CD，
∴ CD 是 ⊙O 的切线；
（2） ∵ 平行四边形 OABC 的两边长是方程 x2−16x+60=0 的两根，
解方程 x2−16x+60=0 得，x1=10，x2=6，
∴ OC=10，OA=6，
过 D 作 DF⊥OC 于 F，如图 2，
在 Rt△CDO 中，OC=10，OD=OA=6，由勾股定理得：CD=102−62=8，
由三角形的面积公式得：12×CD×OD=12×OC×DF，
∴ DF=CD×ODOC=8×610=4.8，
∴ 平行四边形 OABC 的面积是 OC×DF=10×4.8=48．
24. （1） ①二次函数 y=x2−2x 的图象如图所示，
② x=0 或 x=2
如图所示：
③ 0 （2） 函数 y=x2−2x−3 的图象如图所示，
∵ A−1,0，B3,0，
∴ 由图象知，不等式 x2−2x−3≥0 的解集为 x≤−1 或 x≥3．
25. （1） ①等边；② S1=S2
（2） ∵△DEC 是由 △ABC 绕点 C 旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90∘，
∠DCM+∠BCN=180∘−90∘=90∘，
∴∠ACN=∠DCM，
在 △ACN 和 △DCM 中，
∠ACN=∠DCM,∠N=∠CMD=90∘,AC=CD,
∴△ACN≌△DCM，
∴AN=DM，
∴△BDC 的面积和 △AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即 S1=S2．
（3） 433 或 833．
26. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+6 经过点 A−3,0 和点 B2,0，
∴ 9a−3b+6=0,4a+2b+6=0,
解得：a=−1,b=−1,
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2−x+6．
（2） 如图把 x=0 代入 y=−x2−x+6，得 y=6，
∴ 点 C 的坐标为 0,6，
设经过点 A 和点 C 的直线的解析式为 y=mx+n，则 −3m+n=0,n=6,
解得 m=2,n=6,
∴ 经过点 A 和点 C 的直线的解析式为：y=2x+6，
∵ 点 E 在直线 y=h 上，
∴ 点 E 的坐标为 0,h，
∴ OE=h，
∵ 点 F 在直线 y=h 上，
∴ 点 F 的纵坐标为 h，
把 y=h 代入 y=2x+6，得 h=2x+6，
解得 x=h−62，
∴ 点 F 的坐标为 h−62,h，
∴ EF=6−h2，
∴ S△AEF=12⋅OE⋅FE=12⋅h⋅6−h2=−14h−32+94，
∵ −14<0 且 0 ∴ 当 h=3 时，△AEF 的面积最大，最大面积是 94．
（3） 存在符合题意的直线 y=h．
∵ 直线 AC 的解析式为 y=2x+6，点 F 的坐标为 h−62,h，
在 △OFM 中，OM=2，OF=h−622+h2，MF=h−62+22+h2，
①若 OF=OM，则 =h−622+h2=2，
整理，得 5h2−12h+20=0，
∵ Δ=−122−4×5×20=−256<0，
∴ 此方程无解，
∴ OF=OM 不成立．
②若 OF=MF，则 h−622+h2=h−62+22+h2，
解得 h=4，
把 y=h=4 代入 y=−x2−x+6，得 −x2−x+6=4，
解得 x1=−2，x2=1，
∵ 点 G 在第二象限，
∴ 点 G 的坐标为 −2,4．
③若 MF=OM，则 h−62+22+h2=2，
解得 h1=2，h2=−65（不合题意，舍去），
把 y=h1=2 代入 y=−x2−x+6，得 −x2−x+6=2．
解得 x1=−1−172，x2=−1+172，
∵ 点 G 在第二象限，
∴ 点 G 的坐标为 −1−172,2．
综上所述，存在这样的直线 y=2 或 y=4，使 △OMF 是等腰三角形，
当 h=4 时，点 G 的坐标为 −2,4；
当 h=2 时，点 G 的坐标为 −1−172,2．