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2019_2020学年青岛市市北区八下期末数学试卷
展开一、选择题(共8小题;共40分)
1. 下列标志是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
2. 不等式 2x+3≥5 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.
3. 下面的多项式中,能因式分解的是
A. m2+nB. m2−m+1C. m2−nD. m2−2m+1
4. 小亮的父亲想购买同一种大小一样、形状相同的地板砖铺设地面,小亮根据所学的知识告诉父亲,为了能够做到无缝隙、不重叠地铺设,购买的地板砖形状不能是
A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形
5. 如图,将 △PQR 向右平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度,则顶点 P 平移后的坐标是
A. −2,−4B. −2,4C. 2,−3D. −1,−3
6. 如图,在平行四边形 ABCD 中,AP 和 BP 分别平分 ∠DAB 和 ∠CBA,PQ∥AD,若 AD=5 cm,AP=8 cm,则 △ABP 的面积等于 cm2.
A. 6B. 10C. 24D. 48
7. 已知在正方形网格中,每个小方格的边长都相等,A,B 两点在小方格的顶点上,位置如图所示,则以 A,B 为顶点的网格平行四边形的个数为
A. 6 个B. 8 个C. 10 个D. 12 个
8. 如图,O 是正 △ABC 内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60∘ 得到线段 BOʹ,下列结论:
① △BOʹA 可以由 △BOC 绕点 B 逆时针旋转 60∘ 得到;
②点 O 与点 Oʹ 的距离为 4;
③ ∠AOB=150∘;
④ S四边形AOBOʹ=6+33.
其中正确的结论是
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②
二、填空题(共8小题;共40分)
9. 若分式 x−3x−3 的值为零,则 x= .
10. 若 4x2+kxy+9y2 是一个完全平方式,则 k 的值为 .
11. 如果等腰三角形的一个内角为 30∘,腰长为 10,那么腰上的高为 .
12. 如图,平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,且 AB≠AD,过 O 作 OE⊥BD 交 BC 于点 E.若 △CDE 的周长为 10,则平行四边形 ABCD 的周长为 .
13. 已知 a≠0,b≠0,且 1a+1b=4,那么 4a+3ab+4b−3a+2ab−3b= .
14. 如图,在 △ABC 中,AB=AC.M,N 分别是 AB,AC 的中点,D,E 为 BC 上的点,连接 DN,EM.若 AB=13 cm,BC=10 cm,DE=5 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.
15. 已知关于 x 的方程 2x+mx−2=3 的解是正数,则 m 的取值范围是 .
16. 若一个多边形截去一个角后,形成的另一个多边形的内角和是 1620∘,则原来的多边形的边数是 .
三、解答题(共8小题;共104分)
17. 用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:线段 c,直线 l 及 l 外一点 A.
求作:Rt△ABC,使直角边为 AC(AC⊥l,垂足为 C)斜边 AB=c.
18. 分解因式:
(1)2a4b2−4a3b;
(2)2m+n2−m−2n2.
19. 计算:
(1)解不等式组 3x+1<5x,13x−1≤7−53x;
(2)化简 1x−y+1x+y÷x2yx2−y2;
(3)解方程 1−xx−2=12−x−2.
20. 某校举行人文知识竞赛,初赛题目共 25 题,每道题都给出 4 个答案,其中只有一个答案正确,每道题选对得 4 分,不选或选错倒扣 2 分,如果初赛分数不低于 70 分就能进入复赛,那么进入复赛的选手至少选对了多少道题?
21. 已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为 a+b2元/千克 和 2aba+b元/千克(a,b 是正数,且 a≠b),请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.
22. 如图,E,F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点,且 BE∥DF.求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)∠1=∠2.
23. 骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱,各种品牌的山地自行车相继投放市场,顺风车行经营的A型车去年 6 月份销售总额为 3.2 万元,今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加 400 元,若今年 6 月份与去年 6 月份卖出的A型车数量相同,则今年 6 月份A型车销售总额将比去年 6 月份销售总额增加 25%.
A,B两种型号车的进货和销售价格表:
A型车B型车进货价格元/辆11001400销售价格元/辆今年的销售价格2400
(1)求今年 6 月份A型车每辆销售价多少元;
(2)该车行计划 7 月份新进一批A型车和B型车共 50 辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,应如何进货才能使这批车获利最多?
24. 已知:如图 1,在平行四边形 ABCD 中,AB=3 cm,AD=5 cm,AB⊥BD,△ABD 沿 BC 的方向匀速平移得到 △AʹBʹDʹ,速度为 1 cm/s,设运动时间为 ts0
(2)设四边形 AʹBʹCD 的面积为 ycm2,求 y 与 t 之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻 t,使 MN∥BC?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由.
答案
第一部分
1. A【解析】A.是中心对称图形,故本选项符合题意;
B.不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C.不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
D.不是中心对称图形,故本选项不符合题意.
2. D【解析】本题考查解一元一次不等式和在数轴上表示解集.由题意得 x≥1.
3. D【解析】m2−2m+1=m−12.
4. C
5. A
6. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD∥CB,AB∥CD,
∴∠DAB+∠CBA=180∘,
又 AP 和 BP 分别平分 ∠DAB 和 ∠CBA,
∴∠PAB+∠PBA=12∠DAB+∠CBA=90∘,
在 △APB 中,∠APB=180∘−∠PAB+∠PBA=90∘,
∵AP 平分 ∠DAB,
∴∠DAP=∠PAB,
∵AB∥CD,
∴∠PAB=∠DPA,
∴∠DAP=∠DPA,
∴AD=DP=5,
同理:PC=CB=5,
即 AB=DC=DP+PC=10,
在 Rt△APB 中,AB=10,AP=8,
∴BP=102−82=6,
∴△ABP 的面积为:12×6×8=24cm2.
7. D【解析】如图所示,
图中除 A,B 外无其它字母,画图时只画线和 A,B 点,
根据平行四边形的定义,以 AB 为边的网格平行四边形有 6 个,以 AB 为对角线的网格平行四边形有 6 个,则共有 12 个.
8. A【解析】如图,
由题意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60∘,
∴∠1=∠3,
在 △BOʹA 和 △BOC 中,
BOʹ=BO,∠1=∠3,AB=BC,
∴△BOʹA≌△BOC,
又 ∠OBOʹ=60∘,
∴△BOʹA 可以由 △BOC 绕点 B 逆时针旋转 60∘ 得到,故结论①正确;
如图,连接 OOʹ,
∵OB=OʹB,且 ∠OBOʹ=60∘,
∴△OBOʹ 是等边三角形,
∴OOʹ=OB=4,故结论②正确;
∵△BOʹA≌△BOC,
∴OʹA=5.
在 △AOOʹ 中,三边长为 3,4,5,这是一组勾股数,
∴△AOOʹ 是直角三角形,∠AOOʹ=90∘,
∴∠AOB=∠AOOʹ+∠BOOʹ=90∘+60∘=150∘,故结论③正确;
S四边形AOBOʹ=S△AOOʹ+S△OBOʹ=12×3×4+34×42=6+43,故结论④错误.
第二部分
9. −3
【解析】分式为 0 应满足分子为 0,分母不为 0,即 x−3=0,x−3≠0, 因此 x=−3.
10. ±12
【解析】∵ 4x2+kxy+9y2 是一个完全平方式,
∴k=±12.
11. 5 或 53
【解析】(1)等腰三角形 ABC 的顶角是 30∘,BD⊥AC 于 D,如图 1 所示:
在 Rt△ABD 中,
∵∠A=30∘,AB=AC=10,
∴BD=5;
(2)等腰三角形 ABC 的底角是 30∘,BD⊥AC 交 AC 的反向延长线于 D,如图 2 所示:
∵AB=AC=10,
∴∠C=∠ABC=30∘,
∴∠BAD=60∘,
∴∠ABD=30∘,
∴AD=5.
由勾股定理得 BD=AB2−AD2=53.
综上所述,这个等腰三角形腰上的高是 5 或 53.
12. 20
【解析】在平行四边形 ABCD 中,OB=OD,OE⊥BD,
∴ BE=DE.
∴ BC+CD=△CDE的周长=10.
13. −1910
【解析】∵1a+1b=4,
∴a+b=4ab,
∴4a+3ab+4b−3a+2ab−3b=4a+b+3ab−3a+b+2ab=19ab−10ab=−1910.
14. 30
【解析】连接 MN,
则 MN 是 △ABC 的中位线,
因此 MN=12BC=5 cm;
过点 A 作 AF⊥BC 于 F,则 AF=132−52=12cm.
∵ 图中阴影部分的三个三角形的底长都是 5 cm,且高的和为 12 cm,
∴S阴影=12×5×12=30cm2.
15. m>−6 且 m≠−4
【解析】解关于 x 的方程 2x+mx−2=3 得 x=m+6,
由题意得:x−2≠0,解得 x≠2,
因为方程的解是正数,
所以 m+6>0 且 m+6≠2,
解得 m>−6 且 m≠−4.
16. 10,11 或 12
【解析】多边形的内角和可以表示成 n−2⋅180∘(n≥3 且 n 是整数),
一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一,也可能不变或减少了一.
根据 n−2⋅180∘=1620∘,
解得:n=11,
则原多边形的边数是 10,11 或 12.
第三部分
17. 如图即为所求.
18. (1) 原式=2a3bab−2.
(2) 原式=2m+n+m−2n2m+n−m−2n=2m+n+m−2n2m+n−m+2n=3m−nm+3n.
19. (1)
3x+1<5x, ⋯⋯①13x−1≤7−53x. ⋯⋯②
由 ① 得:
x>32.
由 ② 得:
x≤4.
则不等式组的解集为
32
(3) 去分母去括号得:
1−x=−1−2x+4.
解得:
x=2.
经检验 x=2 是增根,原分式方程无解.
20. 设应选对 x 道题,则不选或选错的有 25−x 道,
依题意得:
4x−225−x≥70,
解得:
x≥20,∵x
为正整数,
∴x 最小为 20,即至少应选对 20 道题.
答:进入复赛的选手至少选对了 20 道题.
21. ∵a,b 是正数,且 a≠b,
∴a+b2−2aba+b=a+b2−4ab2a+b=a−b22a+b>0,
∴a+b2>2aba+b,
则小丽的价格高,小颖的价格低.
22. (1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF,
∵BE∥DF,
∴∠BEF=∠DFE,
∴∠AEB=∠CFD,
在 △ABE 和 △CDF 中,
∠BAE=∠DCF,∠AEB=∠CFD,AB=CD,
∴△ABE≌△CDFAAS.
(2) 由 △ABE≌△CDF 得,BE=DF,
∵BE∥DF,
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形,
∴∠1=∠2.
23. (1) 设去年 6 月份A型车每辆销售价 x 元,那么今年 6 月份A型车每辆销售 x+400 元,
根据题意得
32000x=32000×1+25%x+400.
解得
x=1600.
经检验,x=1600 是原方程的解,且符合题意,
x=1600 时,x+400=2000.
答:今年 6 月份A型车每辆销售价为 2000 元.
(2) 设今年 7 月份进A型车 m 辆,则进B型车 50−m 辆,获得的总利润为 y 元,
根据题意得
50−m≤2m.
解得
m≥1623.∵y=2000−1100m+2400−140050−m=−100m+50000
,
∴y 随 m 的增大而减小,
∴ 当 m=17 时,可以获得最大利润.
答:进货方案是进A型车 17 辆,B型车 33 辆.
24. (1) 结论:四边形 AʹBʹCD 是平行四边形;
理由:
∵AʹBʹ∥CD,BʹC∥DAʹ,
∴ 四边形 AʹBʹCD 是平行四边形.
(2) 如图 2,
在 Rt△BCD 中,
∵BC=5,CD=3,
∴BD=52−32=4,
∴csB=BDBC=45,
∴y=AʹBʹ⋅DM=34−45t=−125t+12.
(3) ∵DDʹ∥BʹC,
∴∠Dʹ=∠CBʹN,
∵BʹDʹ∥BD,
∴∠CBʹN=∠B,
∴∠Dʹ=∠B,
∴csDʹ=csB=45,
∴DʹN=45t,
∴DN=35t,
由(2)知 DM=4−45t,
当 DMBD=DNDC 时,△DMN∽△DBC,∠DMN=∠B,MN∥BC,
4−45t4=35t3,解得 t=2.5,
∴t=2.5 时,MN∥BC.
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