2019_2020学年济南市槐荫区八上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年济南市槐荫区八上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 25 的平方根是
A. 5B. −5C. ±5D. ±5

2. 下列图形中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 某射击小组有 20 人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是 ．
A. 7,7B. 8,7.5C. 7,7.5D. 8,6.5

4. 如图，两个较大正方形的面积分别为 225，289，则字母A所代表的正方形的面积为
A. 4B. 8C. 16D. 64

5. 化简 2x2−1÷1x−1 的结果是
A. 2x−1B. 2x3−1C. 2x+1D. 2x+1

6. 不等式组 x−1≤0,2x+4>0 的解集在数轴上表示为
A. B.
C. D.

7. 如果关于 x 的不等式 a+1x>a+1 的解集为 x<1，则 a 的取值范围是
A. a<0B. a<−1C. a>1D. a>−1

8. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，则 a−42+a−112 化简后为
A. 7B. −7C. 2a−15D. 无法确定

9. 若方程 Ax−3+Bx+4=2x+1x−3x+4，则 A，B 的值分别为
A. 2，1B. 1，2C. 1，1D. −1，−1

10. 如图，矩形 ABCD 中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 △ABE 的面积为
A. 6B. 8C. 10D. 12

11. 如图，△ABC 绕点 A 顺时针旋转 45∘ 得到 △ABʹCʹ，若 ∠BAC=90∘，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于
A. 2−2B. 1C. 2D. 2−1

12. 如图，∠ACB=90∘，AC>BC，分别以 △ABC 的边 AB，BC，CA 为一边向 △ABC 外作正方形 ABDE，BCMN，CAFG，连接 EF，GM，ND，设 △AEF，△CGM，△BND 的面积分别为 S1，S2，S3，则下列结论正确的是
A. S1=S2=S3B. S1=S2
二、填空题（共6小题；共30分）
13. 化简：8−2= ．

14. 分解因式：x2−6x+9= ．

15. 当 x= 时，分式 x2−9x−1x−3 的值为 0．

16. 已知 a+b=3，a2b+ab2=1，则 ab= ．

17. 如图，一只蚂蚁沿着边长为 2 的正方体表面从点 A 出发，经过 3 个面爬到点 B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为 ．

18. 如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45∘，则 BD 的长为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：
（1）18+22−3；
（2）a+2a−2÷1a2−2a．

20. （1）因式分解：m3n−9mn．
（2）求不等式 x−22≤7−x3 的正整数解．

21. （1）解方程：1−2xx−2=2+32−x；
（2）解不等式组 4x−3>x,x+4<2x−1, 并把解集在数轴上表示出来．

22. 如图，△ABC 是边长为 2 的等边三角形，将 △ABC 沿直线 BC 向右平移，使点 B 与点 C 重合，得到 △DCE，连接 BD，交 AC 于点 F．求线段 BD 的长．

23. 一次环保知识竞赛共有 25 道题，评委会决定：答对一道题得 4 分，答错或不答一题扣 1 分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85 分或 85 分以上），小明至少答对了几道题?

24. 济南与北京两地相距 480 km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前 4 h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的 3 倍，求高铁列车的平均行驶速度．

25. 先化简再求值：x+1−3x−1×x−1x−2，其中 x=−22+2．

26. 某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各项得分如下表：
（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；
（2）该公司规定：笔试、面试、体能分分别不得低于 80 分，80 分，70 分，并按 60%，30%，10% 的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用．

27. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 E，∠BAC=90∘，∠CED=45∘，∠DCE=30∘，DE=2，BE=22．
（1）求 CD 的长；
（2）求四边形 ABCD 的面积．

28. 已知，点 O 是等边 △ABC 内的任一点，连接 OA，OB，OC．

（1）如图 1，已知 ∠AOB=150∘，∠BOC=120∘，将 △BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60∘ 得 △ADC．
① ∠DAO 的度数是 ；
② 用等式表示线段 OA，OB，OC 之间的数量关系，并证明；
（2）设 ∠AOB=α，∠BOC=β．
① 当 α，β 满足什么关系时，OA+OB+OC 有最小值?请在图 2 中画出符合条件的图形，并说明理由；
② 若等边 △ABC 的边长为 1，直接写出 OA+OB+OC 的最小值．
答案
第一部分
1. D
2. D
3. C【解析】射击成绩为 7 环的人数最多，所以这组数据的众数是 7．把这 20 个数据按从小到大的顺序排列，第 10 个数据是 7，第 11 个数据是 8，所以这组数据的中位数是 7+82=7.5．
4. D
5. C
6. B【解析】x−1≤0, ⋯⋯①2x+4>0, ⋯⋯②
解不等式 ① 得，x≤1，
解不等式 ② 得，x>−2，
在数轴上表示如图：
7. B【解析】由题意，得 a+1<0，解得 a<−1．
8. A【解析】由数轴可知 5 ∴a−42+a−112=a−4+11−a=7 .
9. C【解析】通分，得 Ax+4A+Bx−3Bx−3x+4=2x+1x−3x+4．
得 A+Bx+4A−3B=2x+1．
由相等项的系数相等，得 A+B=2,4A−3B=1.
解得 A=1,B=1.
10. A
11. D【解析】因为 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 45∘ 得到 △ABʹCʹ，∠BAC=90∘，AB=AC=2，
所以 BC=2，∠C=∠B=∠CACʹ=∠Cʹ=45∘，
所以 AD⊥BC，BʹCʹ⊥AB，
所以 AD=12BC=1，
AF=FCʹ=sin45∘×ACʹ=22ACʹ=1.
所以图中阴影部分的面积等于：
S△AFCʹ−S△DECʹ=12×1×1−12×2−12=2−1.
12. A【解析】作 ER⊥FA 交 FA 的延长线于点 R，作 DH⊥NB 交 NB 的延长线于点 H，作 NT⊥DB 交 DB 的延长线于点 T，
设 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，
∵ 分别以 △ABC 的边 AB，BC，CA 为一边向 △ABC 外作正方形 ABDE，BCMN，CAFG，
在 △AER 和 △ABC 中，
∠EAR=∠BAC,∠ARE=∠ACB,AE=AB,
∴△AER≌△ABC，
∴ER=BC=a，FA=b，
∴S1=12ab，S2=12ab，
同理可得 HD=AR=AC，
∴S1=S2=S3=12ab．
第二部分
13. 2
【解析】原式=22−2=2.
14. x−32
15. −3
【解析】由题意得：x2−9=0，且 x−1x−3≠0，
解得：x=−3．
16. 13
【解析】∵a+b=3，
∴a2b+ab2=aba+b=3ab=1．
∴ab=13．
17. 210
【解析】将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时 AB 最短，AB=62+22=210．
18. 41
【解析】如图，作 ADʹ⊥AD，且 ADʹ=AD，连接 CDʹ，DDʹ．
∵ ∠BAC+∠CAD=∠DADʹ+∠CAD，即 ∠BAD=∠CADʹ，由 SAS 可得 △BAD≌△CADʹ，
∴ BD=CDʹ．
∵ ∠DADʹ=90∘，由勾股定理得 DDʹ=AD2+ADʹ2=42+42=42，
∵ ∠DʹDA+∠ADC=90∘，由勾股定理得 CDʹ=CD2+DDʹ2=9+32=41，
∴ BD=CDʹ=41．
第三部分
19. （1） 原式=32+22−3=422−3=4−3=1.
（2） 原式=a+2a−2⋅aa−2=aa+2=a2+2a.
20. （1） m3n−9mn=mnm2−9=mnm2−32=mnm+3m−3.
（2）
3x−2≤27−x.3x−6≤14−2x.5x≤20.x≤4.
故这个不等式的正整数解为：1，2，3，4．
21. （1）
1−2xx−2=2+32−x,1−2x=2x−4−3,−4x=−8,x=2,
经检验 x=2 是增根，原方程无解．
（2）
4x−3>x, ⋯⋯①x+4<2x−1, ⋯⋯②
解不等式 ① 得：
x>1,
解不等式 ② 得：
x>5,∴
不等式组的解集为
x>5,
在数轴上表示不等式组的解集为：
22. 因为正 △ABC 沿直线 BC 向右平移得到正 △DCE，
所以 BE=2BC=4，BC=CD，DE=AC=2，∠E=∠ACB=∠DCE=∠ABC=60∘，
所以 ∠DBE=12∠DCE=30∘，
所以 ∠BDE=90∘．
在 Rt△BDE 中，由勾股定理得
BD=BE2−DE2=42−22=23.
23. 设小明答对了 x 道题，则他答错或不答的共有 25−x 道题，由题意得
4x−25−x×1≥85,
解得
x≥22.
答：小明至少答对了 22 道题，由于一共有 25 道题，因而他可能答对了 22 道，23 道，24 道或 25 道题．
24. 设普通快车的速度为 x km/ 时，由题意得
480x−4803x=4,
解得
x=80,
检验：当 x=80 时，3x≠0，符合题意，
所以，原分式方程的解为 x=80，3x=3×80=240．
答：高铁列车的平均行驶速度是 240 km/ 时．
25. x+1−3x−1⋅x−1x−2=x+1x−1x−1−3x−1×x−1x−2=x2−4x−1×x−1x−2=x+2x−2x−2=x+2.
当 x=−22+2=−2×2−22+2×2−2=2−2 时，
原式=2−2+2=2.
26. （1） x甲=83+79+903=84，
x乙=85+80+753=80，
x丙=80+90+733=81，
∴x甲>x丙>x乙，
∴ 排名顺序为甲、丙、乙．
（2） 由题意可知，只有甲不符合规定，
∵x乙ʹ=85×60%+80×30%+75×10%=82.5，
x丙ʹ=80×60%+90×30%+73×10%=82.3，
∴ 录用乙．
27. （1） 过点 D 作 DH⊥AC，
∵∠CED=45∘，
∴∠EDH=45∘，
∴∠HED=∠EDH，
∴EH=DH，
∵EH2+DH2=DE2，DE=2，
∴EH2=1，
∴EH=DH=1，
∵∠DCE=30∘，∠DHC=90∘，
∴DC=2．
（2） ∵ 在 Rt△DHC 中，DH2+HC2=DC2，
∴12+HC2=22，
∴HC=3，
∵∠AEB=∠CED=45∘，∠BAC=90∘，BE=22，
∴AB=AE=2，
∴AC=2+1+3=3+3，
∴S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC=12×2×3+3+12×1×3+3=33+92.
28. （1） ① 90∘．
② 线段 OA，OB，OC 之间的数量关系是 OA2+OB2=OC2.
如图，连接 OD．
∵△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60∘ 得 △ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60∘ .
∴CD=OC,∠ADC=∠BOC=120∘,AD=OB .
∴△OCD 是等边三角形.
∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60∘ .
∵∠AOB=150∘，∠BOC=120∘，
∴∠AOC=90∘．
∴∠AOD=30∘，∠ADO=60∘ .
∴∠DAO=90∘．
在 Rt△ADO 中，∠DAO=90∘，
∴OA2+AD2=OD2．
∴OA2+OB2=OC2．
（2） ① 如图，当 α=β=120∘ 时，OA+OB+OC 有最小值．
将 △AOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60∘ 得 △AʹOʹC，连接 OOʹ．
∴△AʹOʹC≌△AOC，∠OCOʹ=∠ACAʹ=60∘．
∴OʹC=OC，OʹAʹ=OA，AʹC=AC．
∠AʹOʹC=∠AOC．
∴△OCOʹ 是等边三角形．
∴OC=OʹC=OOʹ，∠COOʹ=∠COʹO=60∘ .
∵∠AOB=∠BOC=120∘，
∴∠AOC=∠AʹOʹC=120∘．
∴∠BOOʹ=∠OOʹAʹ=180∘．
∴ 四点 B，O，Oʹ，Aʹ 共线．
∴OA+OB+OC=OʹAʹ+OB+OOʹ=BAʹ 时值最小．
② 当等边 △ABC 的边长为 1 时，OA+OB+OC 的最小值 AʹB=3．