2019_2020学年苏州市吴中区九上期末数学试练习题

这是一份2019_2020学年苏州市吴中区九上期末数学试练习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 2tan60∘ 的值是
A. 3B. 23C. 33D. 233

2. 一元二次方程：x2−9=0 的解是 x=
A. 3B. −3C. ±3D. 9

3. 一组数据 7，8，10，12，13 的平均数是
A. 7B. 9C. 10D. 12

4. 一个扇形的圆心角是 120∘，半径是 3 cm，那么这个扇形的面积是
A. 3π cm2B. 3π cm2C. 6π cm2D. 9π cm2

5. 已知点 2,y1，−3,y2 均在抛物线 y=x2−1 上，则 y1，y2 的大小关系为
A. y1y2C. y1≤y2D. y1≥y2

6. 下列说法错误的是
A. 直径是圆中最长的弦B. 长度相等的两条弧是等弧
C. 面积相等的两个圆是等圆D. 半径相等的两个半圆是等弧

7. 如图，在直角坐标系中，△OAB 和 △OCD 是位似图形，O 为位似中心，若 A 点的坐标为 1,1，B 点的坐标为 2,1，C 点的坐标为 3,3，那么点 D 的坐标是
A. 4,2B. 6,3C. 8,4D. 8,3

8. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利 1250 元，衬衫的单价降了 x 元，那么下面所列的方程正确的是
A. 20+x40−2x=1250B. 20+x40−x=1250
C. 20+2x40−2x=1250D. 20+2x40−x=1250

9. 如图，已知 AB 为 ⊙O 的直径，AB=2，AD 和 BE 是 ⊙O 的两条切线，A，B 为切点，过圆上一点 C 作 ⊙O 的切线 CF，分别交 AD，BE 于点 M，N，连接 AC，CB．若 ∠ABC=30∘，则 AM 等于
A. 0.5B. 1C. 33D. 32

10. 已知二次函数 y=ax2−bx−2a≠0 的图象的顶点在第四象限，且过点 −1,0，当 a−b 为整数时，ab 的值为
A. 34 或 1B. 14 或 1C. 34 或 12D. 14 或 34

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 判别一元二次方程 x2−2x+2=0 的根的情况，该方程 实数根（填“有”或“无”）．

12. 把抛物线 y=2x2 向上平移 1 个单位后得到的抛物线的解析式是： ．

13. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，若 AB=5，AC=4，则 sinB= ．

14. 一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径 OB=10，截面圆圆心 O 到水面的距离 OC 是 6，则水面宽 AB 是 ．

15. 如图，若 △ADE∽△ACB，AB=8，AE=4，DE=3，则 BC= ．

16. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r=2 cm，扇形的圆心角 θ=120∘，则该圆锥的母线长 l 为 cm．

17. 中秋佳节我国有赏月和吃月饼的传统，某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱月饼的情况，随机抽取了 60 名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图．（注：参与问卷调查的每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择），请根据统计图完成下列问题：
（1）扇形统计图中，“很喜欢”的部分所对应的圆心角为 度；
（2）条形统计图中，喜欢“豆沙”月饼的学生有 人；
（3）若该校共有学生 900 人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有 人．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，点 O 是 △ABC 的内心，以 O 为圆心，r 为半径的圆与线段 AB 有公共点，则 r 的取值范围是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：
（1）27÷3+−13−∣−3∣；
（2）2−10−12−1+2cs30∘．

20. 解方程：
（1）x2−3x−4=0；
（2）1−2x2=4x−2．

21. 已知关于 x 的一元二次方程 x−1x−4=p2，p 为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）试说明，方程的根不可能是 x=3．

22. 如图，己知四边形 ABCD 内接于 ⊙O，连接 BD，∠BAD=115∘，∠DBC=65∘．
（1）求证：BD=CD；
（2）若 ⊙O 的半径为 6，求 BC 的长（结果保留 π）．

23. 一只不透明的袋子里共有 4 个球，其中 3 个白球，1 个红球，它们除颜色外均相同：
（1）从袋子中随机摸出一个球是白球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球，不放回袋子，摇匀袋子后再摸一个球，请用列表或画树状图的方法，求出两次摸出的球一个是白球，一个是红球的概率．

24. 海关缉私人员驾艇在 C 处发现正北方向 30 km 的 A 处有一艘可疑船只，并测得它正以 60 km/h 的速度向北偏东 60∘ 的方向航行，缉私艇随即以 90 km/h 的速度在 B 处将可疑船只拦截．缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间?（结果保留根号）

25. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的对称轴为直线 x=−1，且过 A1,0，B0,−3 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴直线 x=−1 上，是否存在点 M，使它到点 A 的距离与到点 B 的距离之和最小，如果存在求出点 M 的坐标，如果不存在请说明理由．

26. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，∠ABC=45∘，OC∥AD，AD 交 BC 的延长线于点 D，AB 交 OC 于点 E．
（1）求证：AD 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AE=23，CE=2．求 ⊙O 的半径和线段 BE 的长．

27. 如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90∘，AC=8 cm，BC=6 cm．点 P 从点 A 出发，以 4 cm/s 的速度在线段 AB 上运动；同时点 Q 也从点 A 出发，沿线段 AC 运动，且始终保持 PQ⊥AB．以点 Q 为圆心，PQ 为半径作 ⊙Q．设运动时间为 ts．
（1）求点 Q 的运动速度；
（2）若 ⊙Q 与 BC 相切，求运动时间 t；
（3）过点 Q 作 QD∥AB 交 ⊙Q 于点 D（点 D 在 AC 所在直线下方），连接 DC．当点 Q 在线段 AC 上运动时，求 △CDQ 面积的最大值．

28. 如图，抛物线 y=−12x2+bx+3，与 x 轴交于点 B−2,0 和 C，与 y 轴交于点 A，点 M 在 y 轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 BM 并延长，交抛物线于 D，过点 D 作 DE⊥x轴 于 E．当以 B，D，E 为顶点的三角形与 △AOC 相似时，求点 M 的坐标；
（3）连接 BM，当 ∠OMB+∠OAB=∠ACO 时，求 AM 的长．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. C【解析】7+8+10+12+13÷5=50÷5=10．
4. A
5. A
6. B
7. B
8. D
9. C
10. A
第二部分
11. 无
12. y=2x2+1
13. 45
14. 16
15. 6
16. 6
17. 126，4，675
18. 1≤r≤10
第三部分
19. （1） 原式=27÷3−1−3=3−1−3=−1.
（2） 原式=1−2+3=3−1.
20. （1） 因为
x−4x+1=0.
所以
x−4=0或x+1=0.
解得：
x=4或x=−1.
（2） 因为
1−2x2+21−2x=0.
所以
1−2x3−2x=0.
则
1−2x=0或3−2x=0.
解得：
x=12或x=32.
21. （1） 方程可化为：x2−5x+4−p2=0，
∴Δ=−52−4×1×4−p2=4p2+9，
∵p 为实数，
∴4p2+9>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
（2） 若方程有一根为 x=3，
则 p2=3−1×3−4=−2，
这与一个实数的平方是非负数矛盾，
因此原方程的根不可能是 x=3．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，
∴∠DCB+∠BAD=180∘，
∵∠BAD=115∘，
∴∠DCB=180∘−115∘=65∘，
∵∠DBC=65∘，
∴∠DCB=∠DBC=65∘，
∴BD=CD．
（2） ∵∠DCB=∠DBC=65∘，
∴∠BDC=180∘−65∘−65∘=50∘，
由圆周角定理，得 BC 的度数为：100∘，
∴ BC 的长为 nπr180=100π×6180=103π，
答：BC 的长为 103π．
23. （1） 34
（2） 设 3 个白球分别为白 1，白 2，白 3，则根据题意画状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中两次摸出的球一个是白球，一个是红球的情况有 6 种，因此 P一个是白球,一个是红球=612=12．
24. 设缉私艇从 C 处到 B 处需航行 x h，
则 AB=60x km，BC=90x km．
如图过 B 作 BD⊥AC 于点 D，
由题意可得 ∠DAB=60∘，
所以 AD=12AB=30x，BD=32AB=303x，
在 Rt△BCD 中有 90x2=30+30x2+303x2，
即 5x2−2x−1=0，
解得 x1=6+15，x2=1−65（舍去）．
答：缉私艇从 C 处到 B 处需航行 6+15 小时．
25. （1） 因为抛物线对称轴为直线 x=1，
所以 −b2a=−1，
再将 A1,0，B0,−3 代入抛物线表达式，综合得 −b2a=−1,a+b+c=0,c=−3,
解得：a=1,b=2,c=−3,
则二次函数的解析式是 y=x2+2x−3；
（2） 存在．
如图，设抛物线与 x 轴的另一个交点是点 C，连接 BC 交抛物线的对称轴于点 M，
则点 M 即为所求．
对 y=x2+2x−3，令 y=0，得 x=−3 或 x=1，
所以点 C 的坐标为 −3,0，
设直线 BC 的解析式是 y=kx+d，
将 B0,−3，C−3,0 代入得
d=−3,−3k+d=0,
解得 k=−1,d=−3,
所以直线 BC 的解析式是 y=−x−3．
当 x=−1 时，y=−2，
所以点 M 的坐标是 −1,−2．
26. （1） 连接 OA，如图，
∵∠ABC=45∘，
∴∠AOC=2∠ABC=2×45∘=90∘，
∵AD∥OC，
∴∠OAD=180∘−90∘=90∘，
∴OA⊥AD，
∵OA 是 ⊙O 的半径，
∴AD 是 ⊙O 的切线；
（2） 设 ⊙O 的半径为 R，连接 OA，则 OA=R，OE=R−2，AE=23，
在 Rt△OAE 中，
∵AO2+OE2=AE2，
∴R2+R−22=232，
解得 R=1+5 或 R=1−5（舍去），
延长 CO 交 ⊙O 于点 F，连接 AF，如图，
∴∠BCE=∠BAF，
∵∠CEB=∠AEF，
∴△CEB∽△AEF，
∴AECE=FEBE，
∵EF=2R−2=25，
∴BE=CE⋅FEAE=2×2523=2153．
27. （1） ∵PQ⊥AB，
∴ ∠QPA=∠ACB=90∘，
∵ ∠A=∠A，
∴Rt△ACB∽Rt△APQ，
∴ACBC=APPQ，
∵ 点 P 在 4 cm/s 的速度在线段 AB 上运动，
∴ AP=4t，
∵AC=8，BC=6，
∴86=4tPQ，
∴PQ=3t，
∴ 根据勾股定理得，AQ=5t，
∴ 点 Q 的速度为 5tt=5cm/s．
（2） ∵⊙Q 与 BC 相切，
∴QC=PQ=3t，
∵AC=AQ+QC=8，
∴5t+3t=8，
∴t=1．
（3） 如图，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，
∵QD∥AB，PQ⊥AB，
∴ ∠DQE=∠A，∠DEQ=∠APQ，
∴Rt△APQ∽Rt△QED，
∴PQAQ=DEDQ，
∵PQ=3t，AQ=5t，DQ=PQ=3t，
∴3t5t=DE3t，
∴DE=95t，
∵QC=8−5t，
∴S△CDQ=12QC⋅DE=128−5t⋅95t=−92t−452+7225，
∵−92<0，
∴ 当 t=45 时，S△CDQ 取得最大值，最大值为 7225，
∴△CDQ 面积的最大值为 7225．
28. （1） 将点 B−2,0 代入抛物线的解析式 y=−12x2+bx+3 得 −12×−22−2b+3=0，
所以 b=12，
所以抛物线的解析式为 y=−12x2+12x+3．
（2） 如图 1 中，
因为抛物线的解析式为 y=−12x2+12x+3，与 x 轴交于 B−2,0，C3,0，A0,3，
所以 OA=OC，
所以 △AOC 是等腰直角三角形，
因为 OM∥DE，
所以 △BMO∽△BDE，
因为要使 B，D，E 为顶点的三角形与 △AOC 相似，
所以只要 △BOM∽△AOC，设 M0,m，
所以 OMOB=OAOC，
所以 ∣m∣2=33，
所以 m=±2，
所以点 M 的坐标为 0,2 或 0,−2．
（3） 如图 2 中，作 AG⊥AC 交 x 轴于 G，BF⊥AG 于 F．
因为 OA=OC，∠AOC=∠GAC=90∘，
所以 ∠OAC=∠ACO=∠OAG=45∘，
因为 ∠OMB+∠OAB=∠ACO=45∘，
所以 ∠FAB=∠OMB，设 M0,n，
因为 ∠AFB=∠BOM=90∘，
所以 △AFB∽△MOB，
所以 OMAF=OBFB，
因为 FB=22，AF=522，OB=2，
所以 ∣n∣522=222，
所以 n=±10，
所以点 M 的坐标为 0,10 或 0,−10．
故 OM 长度为7或者13