2019_2020学年苏州市相城区九上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年苏州市相城区九上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在一副扑克牌（54 张，其中王牌两张）中，任意抽一张是王牌的概率是
A. 154B. 129C. 127D. 113

2. 抛物线 y=x−12+2 的对称轴是
A. 直线 x=−1B. 直线 x=1C. 直线 x=−2D. 直线 x=2

3. 下列方程有实数根的是
A. x2−x−1=0B. x2+x+1=0C. x2−6x+10=0D. x2−2x+1=0

4. 如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知 BC∥PQ，AB:AP=2:5，直线 AQ=20 cm，则 CQ 的长是
A. 8 cmB. 12 cmC. 30 cmD. 50 cm

5. 对于一组数据 −1，−1，4，2，下列结论不正确的是
A. 平均数是 1B. 众数是 −1C. 中位数是 0.5D. 方差是 3.5

6. 如图，第一象限的点 P 的坐标是 3,4，则 tan∠POx 等于
A. 34B. 43C. 35D. 45

7. 如图，若 AB 是 ⊙O 的直径，CD 是 ⊙O 的弦，∠ABD=55∘，则 ∠BCD 的度数为
A. 35∘B. 45∘C. 55∘D. 75∘

8. 如图，直线 y=−x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，点 C 在 x 轴上，∠α=75∘，则点 C 的坐标是
A. −23,0B. −4,0C. −233,2D. −2,0

9. 如图，在 △ABC 中，∠B=90∘，tanC=34，AB=6 cm．动点 P 从点 A 开 始沿边 AB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动．若 P，Q 两点分别从 A，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是
A. 18 cm2B. 12 cm2C. 9 cm2D. 3 cm2

10. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 −1,−2，则 bc 有
A. 最小值 −14B. 最小值 −94C. 最大值 14D. 最大值 94

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 已知圆锥的底面半径为 3，高为 4，则这个圆锥的母线长为 ．

12. 如图，在 △ABC 中，AD⊥BC，垂足为点 D，若 BD=1，tan∠ABC=3，∠C=45∘，则 AC= ．

13. 若两个等边三角形的边长分别为 a 与 3a，则它们的面积之比为 ．

14. 已知 a，b 是一元二次方程 x2−6x+5=0 的两个实数根，则 1a+1b 的值是 ．

15. 某商店设计了一种促销活动来吸引顾客：在一个不透明的箱子里放有 4 个除所标字以外完全相同的乒乓球，乒乓球上分别标有“0 元”、“10 元”、“20 元”、“30 元”的字样．规定：顾客在本超市一次性消费满 200 元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回）．某顾客刚好消费 200 元，则该顾客所获得购物券的金额不低于 30 元的概率是 ．

16. 若二次函数 y=x2+bx 的图象的对称轴是直线 x=2，则关于 x 的方程 x2+bx=5 的解为 ．

17. 如图，为了测得电视塔的高度 AB，在 D 处用高为 1 米的测角仪 CD，测得电视塔顶端 A 的仰角为 30∘，再向电视塔方向前进 100 米达到 F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60∘，则这个电视塔的高度 AB（单位：米）为 米．

18. 抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 D−1,2，与 x 轴的一个交点 A 在点 −3,0 和 −2,0 之间，其部分图象如图，则以下结论：① b2−4ac<0；② a+b+c<0；③ c−a=2；④方程 ax2+bx+c−2=0 有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 个.

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：2sin60∘−3tan45∘+9．

20. 解方程：2x2−x−3=0．

21. 如图，AC=4，BC=6，∠B=36∘，∠D=117∘，△ABC∽△DAC．
（1）求 ∠BAD 的大小；
（2）求 CD 的长．

22. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AC 是 ⊙O 的弦，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，且 ∠A=∠D．
（1）求 ∠ACD 的度数；
（2）若 CD=3，求图中阴影部分的面积．

23. 学校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果（A：特别好；B：好；C：一般；D：较差）绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，D类所占圆心角为 度；
（3）学校想从被调查的A类（1 名男生 2 名女生）和D类（男女生各占一半）中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树形图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率．

24. 为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面 AD 与通道 BC 平行），通道水平宽度 BC 为 8 米，∠BCD=135∘，通道斜面 CD 的长为 6 米，通道斜面 AB 的坡度 i=1:2．
（1）求通道斜面 AB 的长为 米；
（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面 CD 的坡度变缓，修改后的通道斜面 DE 的坡角为 30∘，求此时 BE 的长．（结果保留根号）

25. 某农场去年种植了 10 亩地的南瓜，亩产量为 2000 kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，设南瓜种植面积的增长率为 x．
（1）则今年南瓜的种植面积为 亩；（用含 x 的代数式表示）
（2）如果今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的 12，今年南瓜的总产量为 60000 kg，求南瓜亩产量的增长率．

26. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A1,0，B 两点，与 y 轴交于点 C，其顶点 D 的坐标为 −3,2．
（1）求二次函数的关系式；
（2）求 △BCD 的面积．

27. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，D，E 为 ⊙O 上位于 AB 异侧的两点，连接 BD 并延长至点 C，使得 CD=BD，连接 AC 交 ⊙O 于点 F，连接 AE，DE，DF．
（1）证明：∠E=∠C；
（2）若 ∠E=55∘，求 ∠BDF 的度数；
（3）设 DE 交 AB 于点 G，若 DF=4，csB=23，E 是 AB 的中点，求 EG⋅ED 的值．

28. 如图，二次函数 y=ax2−6ax+4a+3 的图象与 y 轴交于点 A，点 B 是 x 轴上一点，其坐标为 1,0，连接 AB，tan∠ABO=2．
（1）则点 A 的坐标为 ,a= ；
（2）过点 A 作 AB 的垂线与该二次函数的图象交于另一点 C，求点 C 的坐标；
（3）连接 BC，过点 A 作直线 l 交线段 BC 于点 P，设点 B，点 C 到 l 的距离分别为 d1，d2，求 d1+d2 的最大值．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. A
4. B【解析】∵BC∥PQ，
∴ABAP=ACAQ，即 AC20=25，
∴AC=8，
∴CQ=AQ−AC=20−8=12cm．
5. D
【解析】这组数据的平均数是：−1−1+4+2÷4=1；
−1 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 −1；
把这组数据从小到大排列为：−1，−1，2，4，最中间的数是第 2，3 个数的平均数，则中位数是 −1+22=0.5；
这组数据的方差是：14−1−12+−1−12+4−12+2−12=4.5．
6. B【解析】因为第一象限的点 P 的坐标是 3,4，
所以 tan∠POx=43．
7. A【解析】连接 AD，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵∠ABD=55∘，
∴∠A=90∘−∠ABD=35∘，
∴∠BCD=∠A=35∘．
8. A
9. C【解析】∵tanC=34，AB=6，
∴ABBC=6BC=34，
∴BC=8，由题意得：AP=t，BP=6−t，BQ=2t，设 △PBQ 的面积为 S，则 S=12×BP×BQ=12×6−t×2t，S=−t2+6t=−t2−6t+9−9=−t−32+9，P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴ 当 t=3 时，S 有最大值，最大值为 9，即当 t=3 时，△PBQ 的最大面积为 9 cm2．
10. B
第二部分
11. 5
12. 32
13. 1:9
14. 65
15. 23
16. x1=−1，x2=5
17. 503+1
18. 3
第三部分
19. 原式=2×32−3+3=3.
20. 由原方程可得
2x−3x+1=0,∴2x−3=0或x+1=0.∴x1=32,x2=−1.
21. （1） ∵△ABC∽△DAC，
∴∠DAC=∠B=36∘，∠BAC=∠D=117∘，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=153∘．
（2） ∵△ABC∽△DAC，
∴CDAC=ACBC，
又 AC=4，BC=6，
∴CD=4×46=83．
22. （1） 连接 OC，如图，
∵ 过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，
∴ OC⊥CD，
∴ ∠OCD=90∘，
即 ∠D+∠COD=90∘，
∵ AO=CO，
∴ ∠A=∠ACO，
∴ ∠COD=2∠A，
∵ ∠A=∠D，
∴ ∠COD=2∠D，
∴ 3∠D=90∘，
∴ ∠D=30∘=∠A，
∴ ∠ACD=180∘−∠A−∠D=180∘−30∘−30∘=120∘．
（2） 由（1）可知 ∠D=30∘，
在 Rt△COD 中，
∵ CD=3，
∴ OC=3×tan30∘=3×33=3，
∴ 阴影部分的面积为 12×3×3−60π×32360=33−π2．
23. （1） ∵ B有 10 人，占 50%，
∴ 总人数：10÷50%=20（人），A占：3÷20=15%，D占：1−25%−15%−50%=10%，
∴ C类：20×25%=5（人），D类：20×10%=2（人），
补全统计图：
（2） 36
【解析】D类所占圆心角为：10%×360∘=36∘．
（3） 画树状图得：
∵ 共有 6 种等可能的结果，所选的两位同学恰好是一男一女的有 3 种情况，
∴ 所选的两位同学恰好是一男一女的概率为：36=12．
24. （1） 36
（2） 过点 D 作 DM⊥直线BC 于点 M．如图，
∵ ∠BCD=135∘，
∴ ∠MCD=180∘−135∘=45∘，
∴ DM=CM=6×22=32，
∵ 在 Rt△MED 中，∠EMD=90∘，∠DEM=30∘，
∴ EM=3DM=36，
∴ EC=EM−CM=36−32，
∴ BE=BC−EC=8−36−32=8+32−36．
即此时 BE 的长为 8+32−36 米．
25. （1） 101+x
（2） 今年南瓜亩产量为 20001+x2 千克，
根据题意得：
101+x×20001+x2=60000,
整理得：
x2+3x−4=0,
解得：
x=1=100%或x=−4=−400%舍去.
∴x2=100%2=50%,
答：南瓜亩产量的增长率为 50%．
26. （1） 设这个二次函数的解析式为 y=ax+32+2，
∵ 点 A1,0 在此抛物线的图象上，
∴0=1+32a+2，
解得，a=−18，
∴ 此二次函数的解析式为：y=−18x+32+2．
（2） 过点 D 作垂直于 x 轴的直线交 BC 于点 E，如图，
∵y=−18x+32+2，
∴ 当 x=0 时，y=78，当 y=0 时，x=−7 或 x=1，
∴ 点 B 的坐标为 −7,0，点 C 的坐标为 0,78，
设过点 B，C 的直线的解析式为 y=kx+d，将点 B−7,0，点 C0,78 代入得 −7k+d=0,d=78,
解得 k=18,d=78,
∴ 直线 BC 的解析式为 y=18x+78，
∵ 当 x=−3 时，y=12，
∴ 点 E 的坐标为 −3,12，
∴DE=2−12=32，
∴S△BCD=32×−3−−72+32×0−−32=214．
27. （1） 连接 AD，
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ADB=90∘，即 AD⊥BC，
∵ CD=BD，
∴ AD 垂直平分 BC，
∴ AB=AC，
∴ ∠B=∠C，
又 ∵ ∠B=∠E，
∴ ∠E=∠C；
（2） ∵ 四边形 AEDF 是 ⊙O 的内接四边形，
∴ ∠AFD=180∘−∠E，
又 ∵ ∠CFD=180∘−∠AFD，
∴ ∠CFD=∠E=55∘，
又 ∵ ∠E=∠C=55∘，
∴ ∠BDF=∠C+∠CFD=110∘；
（3） 连接 OE．
∵ ∠CFD=∠E=∠C，
∴ FD=CD=BD=4，
在 Rt△ABD 中，csB=23，BD=4，
∴ AB=6，
∵ E 是 AB 的中点，AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠AOE=90∘，
∵ AO=OE=3，
∴ AE=32，
∵ E 是 AB 的中点，
∴ ∠ADE=∠EAB，
∴ △AEG∽△DEA，
∴ AEEG=DEAE，
即 EG⋅ED=AE2=18．
28. （1） 0,2；−14
（2） 如图 1，设直线 AC 交 x 轴于点 D，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90∘，
∴∠DAO+∠OAB=∠OAB+∠ABO=90∘，
∴∠DAO=∠ABO，
∴tan∠DAO=2，即 DOAO=2，
∴DO=2AO=2×2=4，
∴ 点 D 的坐标为 −4,0，
设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，
将点 A0,2，D−4,0 代入得 −4k+b=0,b=2,
解得 k=12,b=2,
∴ 直线 AD 的解析式为 y=12x+2，
由（1）可得抛物线解析式为 y=−14x2+32x+2，
联立直线 AD 和抛物线解析式可得 y=12x+2,y=−14x2+32x+2,
解得 x=0,y=2 或 x=4,y=4,
∴ 点 C 的坐标为 4,4；
（3） ∵A0,2，B1,0，C4,4，
∴AB=12+22=5，AC=42+4−22=25，BC=AB2+AC2=5，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×5×25=5，
如图 2，
∵S△ABC=12AP⋅d1+d2，
∴d1+d2=2S△ABCAP，
∴ 当 AP 最小时，d1+d2 有最大值，
∴ 当 AP⊥BC 时，d1+d2 有最大值，
∵S△ABC=12BC⋅AP，
∴5=12×5⋅AP，解得 AP=2，
∴d1+d2=2S△ABCAP=2×52=5，
即 d1+d2 的最大值为 5．