2019-2020学年江苏省常州市天宁区常州第二十四中学八上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年江苏省常州市天宁区常州第二十四中学八上期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列四个腾讯软件图标中，属于轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 在实数 −25，0，−3，2019，π，−3−27，0.121121112⋯（每相邻两个 1 之间依次增加一个 2）中，无理数的个数是
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

3. 如图，点 E，F 在 AC 上，AD=BC，DF=BE，要使 △ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是
A. ∠A=∠CB. ∠D=∠BC. AD∥BCD. DF∥BE

4. 到 △ABC 的三条边距离相等的点是 △ABC 的
A. 三条中线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条高的交点D. 三条角平分线的交点

5. 由下列条件不能判定 △ABC 为直角三角形的是
A. ∠A+∠B=∠CB. ∠A:∠B:∠C=1:3:2
C. a=13，b=14，c=15D. b+cb−c=a2

6. 如图，在长方形纸片 ABCD 中，AD=4 cm，把纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在 E 处，AE 交 DC 于点 O，若 OC=5 cm，则 CD 的长为
A. 6 cmB. 7 cmC. 8 cmD. 10 cm

7. 如图，△ABC 中，∠BAC=90∘，AB=6，BC=10，BD 是 ∠ABC 的平分线，若 P，Q 分别是 BD 和 AB 上的动点，则 PA+PQ 的最小值是
A. 2.4B. 4.8C. 4D. 5

8. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，AB=8，点 D 为 AB 的中点，若直角 EDF 绕点 D 旋转，分别交 AC 于点 E，交 BC 于点 F，则下列说法正确的个数有
① AE=CF；
② EC+CF=2AD；
③ DE=DF；
④若 △ECF 的面积为一个定值，则 EF 的长也是一个定值．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共10小题；共50分）
9. −27 的立方根是 ；16 的算术平方根是 ．

10. 如图，以直角三角形各边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为 225 和 144，则正方形 A 的面积为 ．

11. 某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 ．

12. 比较大小：39 2（填“>”，“<”或“=”号）．

13. 如图，正方形 OABC 边 OC 落在数轴上，点 C 表示的数为 1，点 P 表示的数为 −1，以 P 点为圆心，PB 长为半径作圆弧与数轴交于点 D，则点 D 表示的数为 ．

14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30∘，则顶角的度数为 ．

15. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是 4 cm，6 cm，则它的面积是 cm2．

16. 下列说法：
①如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成轴对称；
②数轴上的点和实数一一对应；
③若 a2=a，则 a>0；
④两个无理数的和一定为无理数；
⑤ 6.9×103 精确到十分位；
⑥如果一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是 0．
其中正确的说法有 （填序号）．

17. 如图，AE⊥AB，且 AE=AB，BC⊥CD，且 BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 S= ．

18. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，点 D 与点 A，点 C 都不重合，点 F 在边 CB 的延长线上，且 AE=ED=BF，连接 DF 交 AB 于点 G．若 BC=4，则线段 EG 的长为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 求下列各式中的 x．
（1）4x2−9=0；
（2）2x+13=−64．

20. 计算：
（1）−32−3−64+1−3+7−10；
（2）已知实数 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，e 是 13 的整数部分，f 是 5 的小数部分，求代数式 a+b−3cd+e−f 的值．

21. 如图，点 E，C，D，A 在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．试说明：△ABC≌△DEF．

22. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，已知 △ABC 的三个顶点在格点上．
（1）以 C 为顶点，画一个 △CDE，使 △CDE 三边长分别为 2，5，13；
（2）画出 △A1B1C1，使它与 △ABC 关于直线 a 对称；
（3）写出 △A1B1C1 的面积，即 S△A1B1C1= ；
（4）在直线 a 上画出点 P，使 PA+PC 最小，最小值为 ．

23. 中日钓鱼岛争端持续，我国海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45 海里，OB=15 海里，钓鱼岛位于 O 点，我国海监船在点 B 处发现有一不明国籍的渔船自 A 点出发沿着 AO 方向匀速驶向钓鱼岛所在地点 O，我国海监船立即从 B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点 C 处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出 C 处的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求我国海监船行驶的航程 BC 的长．

24. 如图，在 △ACB 和 △DCE 中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90∘，连接 AE，BD 交于点 O，AE 与 DC 交于点 M，BD 与 AC 交于点 N．
（1）试判断 AE，BD 之间的关系，并说明理由；
（2）连接 CO，从下面两个结论中选择你认为正确的一个，并说明理由．
①射线 OC 平分 ∠BOE；
②射线 CO 平分 ∠ACD．

25. 阅读理解题．
（1）阅读理解：如图①，等边 △ABC 内有一点 P，若点 P 到顶点 A，B，C 的距离分别为 3，4，5，求 ∠APB 的大小．
思路点拨：考虑到 PA，PB，PC 不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将 △ABP 绕顶点 A 逆时针旋转 60∘ 到 △ACPʹ 处，此时 △ACPʹ≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出 ∠APB 的度数．请你写出完整的解题过程．
（2）变式拓展：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图②，△ABC 中，∠CAB=90∘，AB=AC，E，F 为 BC 上的点且 ∠EAF=45∘，BE=5，CF=4，求 EF 的大小．
（3）能力提升：如图③，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=1，∠ABC=30∘，点 O 为 Rt△ABC 内一点，连接 AO，BO，CO，且 ∠AOC=∠COB=∠BOA=120∘，请直接写出 OA+OB+OC 的值，即 OA+OB+OC= ．

26. 综合探究题．
在之前的学习中，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是 90∘．如图，长方形 ABCD 中，AD=9 cm，AB=4 cm，E 为边 AD 上一动点，从点 D 出发，以 1 cm/s 向终点 A 运动，同时动点 P 从点 B 出发，以 a cm/s 向终点 C 运动，运动的时间为 t s．
（1）当 t=3 时，
①则线段 CE 的长 = ；
②当 EP 平分 ∠AEC 时，求 a 的值；
（2）若 a=1，且 △CEP 是以 CE 为腰的等腰三角形，求 t 的值；
（3）连接 DP，直接写出点 C 与点 E 关于 DP 对称时 a 与 t 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】A选项：是轴对称图形，故本选项正确；
B选项：不是轴对称图形，注意细微之处，故本选项错误；
C选项：不是轴对称图形，注意五角星的“Z”字图案，故本选项错误；
D选项：不是轴对称图形，故本选项错误；
故选A．
2. B【解析】由题意知：−25，0，2019，−3−27 为有理数；
−3，π，0.121121112⋯（每相邻两个 1 之间依次增加一个 2）为无理数，
∴ 有三个．
3. B【解析】当 ∠D=∠B 时，在 △ADF 和 △CBE 中，
∵AD=BC,∠D=∠B,DF=BE,
∴△ADF≌△CBESAS．
4. D【解析】到 △ABC 的三条边距离相等的点是 △ABC 的三条角平分线的交点．
5. C
【解析】A．∵∠A+∠B=∠C，
∴∠C=90∘，故是直角三角形，正确；
B．∵∠A:∠B:∠C=1:3:2，
∴∠B=36×180∘=90∘，故是直角三角形，正确；
C．∵132+142≠152，故不能判定直角三角形；
D．∵b+cb−c=a2，
∴b2−c2=a2，即 a2+c2=b2，故是直角三角形，正确．
6. C【解析】根据折叠前后角相等可知 ∠BAC=∠EAC，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠EAC=∠ACD，
∴AO=CO=5 cm，
在直角三角形 ADO 中，DO=AO2−AD2=3 cm，
CD=AB=DO+CO=3+5=8 cm．
7. B【解析】如图所示，过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，交 BD 于点 P，过点 P 作 PQ⊥AB 于点 Q．
∵BD 是 ∠ABC 的平分线，得出 PQ=PM，
∴PA+PQ 有最小值，即 AM 的长度．
∵AB=6，BC=10，
∴ 由勾股定理得出 AC=BC2−AB2=8，
∵S△ABC=12×AM×BC=12×AB×AC，
∴AM=AB×ACBC=4810=4.8．
8. D【解析】如图所示：
①：连接 CD，
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，点 D 为 AB 的中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=DB，
在 △ADE 与 △CDF 中，
∠A=∠DCF=45∘,AD=CD,∠ADE=∠CDF,
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，①说法正确；
②：∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，AB=8，
∴AC=BC=42．
由①知 AE=CF，
∴EC+CF=BC=22AB．
∵ 点 D 为 AB 的中点，
∴AB=2AD，即 EC+CF=2AD，故②对．
③：由①知 △ADE≌△CDF，
∴DE=DF，故③对；
④：∵△ECF 的面积 =12×CF×EF，如果这是一个定值，则 CE×CF 是一个定值，
又 ∵EC+CF=42，
∴ 可唯一确定 EC 与 EF 的值，
再由勾股定理知 EF 的长也是一个定值，故④对．
第二部分
9. −3，2
【解析】（1）根据立方根和算术平方根的定义，可以知道：
∵−33=−27，
∴−27 的立方根是 −3；
（2）∵16=4，而 ±22=4，
∴16 的算术平方根是 2．
10. 81
【解析】以直角三角形的两直角边为边长所构成的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
∴ 正方形 A 的面积 =225−144=81．
11. B6395
【解析】根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是 B6395．
12. >
【解析】2=38，
又 ∵38<39，
∴39>2．
13. 5−1
【解析】由勾股定理知：PB=PC2+BC2=22+12=5，
则 PD=PB=5，
∴D 表示的数为 5−1．
14. 60∘ 或 120∘
【解析】如图（1），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠ADB=90∘，
∵∠ABD=30∘，
∴∠A=60∘；
如图（2），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠BDC=90∘，
∵∠ABD=30∘，
∴∠BAD=60∘，
∴∠BAC=120∘；
综上所述，它的顶角度数为：60∘ 或 120∘．
15. 24
【解析】∵ 直角三角形斜边上中线长 6 cm，
∴ 斜边 =2×5=12 cm，
∴ 面积 =12×12×4=24 cm2．
16. ②
【解析】①如果两个三角形关于某直线对称，那么这两个三角形一定全等，
∴ 错误；
②数轴上的点和实数一一对应，本项说法正确；
③若 a=0，则 a2=a 也成立，
∴ 错误；
④两个无理数的和不一定为无理数，比如：−3+3=0，
∴ 错误；
⑤ 6.9×103=6900，
∴ 精确到十分位不正确；
⑥算术平方根等于本身的是 0，1，
∴ 错误．
17. 50
【解析】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，
∴∠F=∠AGB=∠EAB=90∘，
∴∠FEA+∠EAF=90∘，∠EAF+∠BAG=90∘，
∴∠FEA=∠BAG，
在 △FEA 和 △GAB 中，
∠F=∠AGB,∠FEA=∠BAG,AE=AB,
∴△FEA≌△GABAAS，
∴AG=EF=6，AF=BG=2，
同理可证：△CBG≌△DCHAAS，
∴CG=DH=4，BG=CH=2，
∴FH=2+6+4+2=14，
∴ 梯形 EFHD 的面积 =12×EF+DH×FH=12×6+4×14=70，
∴阴影部分的面积=S梯形EFHD−S△EFA−S△ABC−S△DHC=70−12×6×2−12×6+4×2−12×4×2=50.
18. 4
【解析】如图，作 DH∥CB 交 AB 于 H．
∵∠C=90∘，∠A=30∘，
∴∠ABC=60∘，
∵DH∥BC，
∴∠AHD=∠ABC=60∘，∠DHG=∠FBG，
∵EA=ED，
∴∠A=∠EDA=30∘，
∴∠HED=∠A+∠EDA=60∘，
∴△EDH 是等边三角形，
∴ED=EH=EA=DH=BF，
在 △DHG 和 △FBG 中，
∠DHG=∠FBG,∠HGD=∠BGF,DH=FB,
∴△DHG≌△FBG，
∴BG=HG，
∵HE=EA，
∴EG=12AB=BC=4．
第三部分
19. （1）
∵4x2−9=0,∴4x2=9.∴x2=94.
即
x=±32.
（2）
∵−43=−64,∴2x+1=−4.
解得
x=−52.
20. （1） 原式=3−−4+3−1+1=7+3.
（2） 由题意知：a，b 互为相反数，可得 a+b=0；
c，d 互为倒数，可得 cd=1；
e 是 13 的整数部分，可得 e=3；
f 是 5 的小数部分，可得 f=5−2．
则代数式 a+b−3cd+e−f=0−1+3−5−2=4−5．
21. ∵AB∥DF，
∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，
∵∠E=∠CPD．
∴∠E=∠B，
在 △ABC 和 △DEF 中，
∠E=∠B,ED=AB,∠A=∠FDE,
∴△ABC≌△DEFASA．
22. （1） 如图所示：以 2 为边长，和长为 2 宽为 1 的矩形对角线为 5，以长为 3 宽为 2 的矩形对角线为 13 画出如图所示 △CDE．
（2） 如图所示：△A1B1C1 即为所求．
（3） 32
【解析】根据如图所示可得：S△A1B1C1=2×2−12×1×2×2−12×1×1=32．
（4） 如图，连接 C1A（或 A1C）与直线 a 交于点 P 即可，点 P 即为所求；
17
【解析】∴PA+PC=42+1=17，即最小值为 17．
23. （1） 作 AB 的垂直平分线与 OA 交于点 C．
（2） 连接 BC，设 BC 为 x 海里，则 CA 也为 x 海里，OC 为 45−x 海里．
∵∠O=90∘，
∴ 在 Rt△OBC 中，BO2+OC2=BC2，
即：152+45−x2=x2，
解得：x=25，
答：我国渔政船行驶的航程 BC 的长为 25 海里．
24. （1） ∵∠ACB=∠DCE=90∘，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即 ∠BCD=∠ACE．
在 △ACE 和 △BCD 中，
AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC．
又 ∵△OAN，△NBC 的内角和均为 180∘，∠ANO=∠BNC，
∴∠AON=∠BCN=90∘，
∴AE⊥BD．
（2） 如图所示，过点 C 分别作 CP⊥DB，CQ⊥AE．
根据（1）中 △ACE≌△BCD，则 S△ACE=S△BCD．
∵BD=AE，
∴CP=CQ，
∴ 射线 OC 平分 ∠BOE，即①正确．
25. （1） ∵△ACPʹ≌△ABP，
∴APʹ=AP=3，CPʹ=BP=4，∠APʹC=∠APB．
由题意知旋转角 ∠PAPʹ=60∘，
∴△APPʹ 为等边三角形，
∴PPʹ=AP=3，∠APʹP=60∘，
易证 △PPʹC 为直角三角形，且 ∠PPʹC=90∘，
∴∠APB=∠APʹC=∠APʹP+∠PPʹC=60∘+90∘=150∘．
（2） 如图 2，把 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 得到 △ACEʹ．
由旋转的性质得，AEʹ=AE，CEʹ=CE，∠CAEʹ=∠BAE，∠ACEʹ=∠B，∠EAEʹ=90∘．
∵∠EAF=45∘，
∴∠EAF=∠CAEʹ+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC−∠EAF=90∘−45∘=45∘,
∴∠EAF=∠EʹAF，
在 △EAF 和 △EʹAF 中，
AE=AEʹ,∠EAF=∠EʹAF,AF=AF,
∴△EAF≌△EʹAF，
∴EʹF=EF，
∵∠CAB=90∘，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45∘，
∴∠EʹCF=45∘+45∘=90∘，
由勾股定理得 EʹF2=CEʹ2+FC2，
即 EF2=BE2+FC2=25+16=41，
∴EF=41．
（3） 7
【解析】如图 3，将 △AOB 绕点 B 顺时针旋转 60∘ 至 △AʹOʹB 处，连接 OOʹ．
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=1，∠ABC=30∘，
∴AB=2，
∴BC=AB2−AC2=3，
∵△AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60∘，
∴△AʹOʹB 如图所示；
∠AʹBC=∠ABC+60∘=30∘+60∘=90∘，
∵∠C=90∘，AC=1，∠ABC=30∘，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60∘，得到 △AʹOʹB，
∴AʹB=AB=2，BO=BOʹ，AʹO=AO，
∴△BOOʹ 是等边三角形，
∴BO=OOʹ，∠BOOʹ=∠BOʹO=60∘，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120∘，
∴∠COB+∠BOOʹ=∠BOʹAʹ+∠BOʹO=120∘+60∘=180∘，
∴C，O，Aʹ，Oʹ 四点共线，
在 Rt△AʹBC 中，AʹC=BC2+AʹB2=3+4=7，
∴OA+OB+OC=AʹOʹ+OOʹ+OC=AʹC=7．
26. （1） ① 5 cm
②当 EP 平分 ∠AEC 时，根据角平分线的性质可得：
点 P 到 EC 的距离等于点 P 到 AD 距离，
即 S△PCE=12×4×EC=12×PC×CD，
∵EC=5，
∴PC=5，则 PB=BC−PC=9−5=4，
∵PB=at=3a，
∴3a=4，a=43，故 a=43．
【解析】① ∵ 四边形 ABCD 是长方形，
∴AD∥BC，BC=AD=9，CD=AB=4．
当 t=3 时，由运动知，BP=at=3a，DE=t=3，
∴CP=BC−BP=9−3a，
在 Rt△CDE 中，根据勾股定理得 CE=32+42=5．
（2） 当 a=1 时，由运动知，DE=t，BP=t．
∴CP=9−t．
在 Rt△CDE 中，CE=16+t2．
∵△CEP 是以 CE 为腰的等腰三角形，
∴ ① CE=CP，
∴16+t2=9−t2，
∴t=6518；
② CE=PE，
∴12CP=DE，
∴9−t=2t，
∴t=3．
即：t 的值为 3 或 6518．
（3） t=4；a=54．
【解析】如图，
由运动知，BP=at，DE=t．
∴CP=BC−BP=9−at．
∵ 点 C 与点 E 关于 DP 对称，
∴DE=CD，PE=PC．
∴t=4．
∴BP=4a，CP=9−4a．
过点 P 作 PF⊥AD 于 F．
∴ 四边形 CDFP 是长方形．
∴PF=CD=4，DF=CP．
在 Rt△PEF 中，PF=4，EF=DF−DE=5−4a．
根据勾股定理得 PE2=5−4a2+16．
∴5−4a2+16=9−4a2．
∴a=54．