2020-2021学年北京市西城区北京市第四十三中学八下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市西城区北京市第四十三中学八下期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，则下列条件中不能判定 △ABC 是直角三角形的是
A. a=1，b=1，c=2B. a=2，b=3，c=4
C. a=1，b=3，c=2D. a=3，b=4，c=7

2. 下列方程中，一元二次方程是
A. x2−2x+1=0B. x−2y=0C. ax2+bx+c=0D. x2−1x+3=0

3. 如图，一轮船以 12 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 5 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后两船相距
A. 13 海里B. 16 海里C. 20 海里D. 26 海里

4. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC⊥BD，则下列条件能判定四边形 ABCD 为菱形的是
A. AB=CDB. OA=OC，OB=OD
C. AC=BDD. AB∥CD，AD=BC

5. 利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点 A，使 OA=5，过点 A 作直线 l 垂直于 OA，在 l 上取点 B，使 AB=2，以原点 O 为圆心，以 OB 长为半径作弧，弧与数轴的交点为 C，那么点 C 表示的无理数是
A. 21B. 29C. 7D. 29

6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，DE 平分 ∠ADC，AD=6，BE=2，则平行四边形 ABCD 的周长是
A. 16B. 18C. 20D. 24

7. 如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CE=BD，连接 AE，如果 ∠ABD=60∘，那么 ∠BAE 的度数是
A. 40∘B. 55∘C. 75∘D. 80∘

8. 关于 x 的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，则 a 的取值范围是
A. a>1B. a<1C. a≤1 且 a≠0D. a≥1 且 a≠0

9. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018 年销量为 125.6 万辆，销量逐年增加，到 2020 年销量为 130 万辆．设年平均增长率为 x，可列方程为
A. 125.61−x2=130B. 125.61+2x=130
C. 1301−x2=125.6D. 125.61+x2=130

10. 等腰三角形的一边长是 4，方程 x2−6x+m+1=0 的两个根是三角形的两边长，则 m 为
A. 7B. 8C. 4D. 7 或 8

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件 ，使平行四边形 ABCD 是矩形．

12. 方程 x−4x−5=0 的解为 ．

13. 如图，在菱形 ABCD 中，BC=6，点 E 是 AD 的中点，连接 OE，则 OE= ．

14. 若 m 是方程 x2−x−1=0 的一个根，则 m2−m+2021 的值为 ．

15. 如图，网格中的小正方形的边长均为 1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的三个顶点都在格点上，则 AB 边上的高为 ．

16. 如图，矩形 ABCD 中，点 A 坐标是 −1,0，点 C 的坐标是 2,4，则 BD 的长是 ．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，直角边 AC=6，斜边 AB=10，现将 △ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 AD= ．

18. 如图，正方形 ABCD 中，O 是 AC 的中点，E 是 AD 上一点，连接 BE，交 AC 于点 H，作 CF⊥BE 于点 F，AG⊥BE 于点 G，连接 OF，则下列结论中，① AG=BF；② OF 平分 ∠CFG；③ CF−BF=EF；④ GF=2OF；⑤ FH2+HG2=2OH2．正确的有 ．（填序号）

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 计算题．
（1）8−12+27−2．
（2）18−2×12．

20. 解方程：
（1）4x2=16．
（2）x2−3x=0．
（3）x2−4x−1=0（用配方法）．
（4）x2+x=1（用公式法）．

21. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形 ABCD 是平行四边形．
求作：菱形 ABEF（点 E 在 BC 上，点 F 在 AD 上）．
作法：①以 A 为圆心，AB 长为半径作弧，交 AD 于点 F；
②以 B 为圆心，AB 长为半径作弧，交 BC 于点 E；
③连接 EF．
所以四边形 ABEF 为所求的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；
（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴ = ．
在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，
即 AF∥BE．
∴ 四边形 ABEF 为平行四边形．（ ）（填推理的依据）
∵AF=AB，
∴ 四边形 ABEF 为菱形．（ ）（填推理的依据）

22. 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，CE∥BD 交 AD 的延长线于点 E，CE=AC．
（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；
（2）若 AB=4，AD=3，求四边形 BCED 的周长．

23. 如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长 25 m，另外三边木栏围着，木栏长 40 m．
（1）若养鸡场面积为 200 m2，求鸡场靠墙的一边长．
（2）养鸡场面积能达到 250 m2 吗?如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．

24. 定义：有一个内角为 90∘，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）如图 1，准矩形 ABCD 中，∠ABC=90∘，若 AB=2，BC=4，则 BD= ；
（2）如图 2，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，AB 上的点，且 CF⊥BE，求证：四边形 BCEF 是准矩形；
（3）如图 3，准矩形 ABCD 中，∠ABC=90∘，∠BAC=60∘，AB=2，AC=DC，求这个准矩形的面积．

25. 阅读下列材料：已知实数 m，n 满足 2m2+n2+12m2+n2−1=80，试求 2m2+n2 的值．
解：设 2m2+n2=t，则原方程变为 t+1t−1=80，整理得 t2−1=80，即 t2=81，
∴t=±9．
∵2m2+n2≥0，
∴2m2+n2=9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常见的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数 x，y 满足 2x2+2y2+32x2+2y2−3=27，求 x2+y2 的值．
（2）若四个连续正整数的积为 120，求这四个连续正整数．

26. 已知正方形 ABCD，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形 ABCD 的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形 ABCD 的内等边三角形．
（1）若正方形 ABCD 的边长为 10，点 E 在边 AD 上．
①当点 E 为边 AD 的中点时，求作：正方形 ABCD 的内等边 △AEF（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②若 △AEF 是正方形 ABCD 的内等边三角形，连接 BF，DF，则线段 BF 长的最小值是 ，线段 DF 长的取值范围是 ；
（2）△ADP 和 △AMN 都是正方形 ABCD 的内等边三角形，当边 AM 的长最大时，画出 △ADP 和 △AMN，
点 A，M，N 按逆时针方向排序，连接 NP．找出图中与线段 NP 相等的所有线段（不添加字母），并给予证明．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. D
4. B
5. B
6. C
7. C
8. C
9. D
10. D
第二部分
11. ∠ABC=90∘
12. x1=4，x2=5
13. 3
14. 2022
15. 65
16. 5
17. 254
18. ①②④⑤
第三部分
19. （1） 8−12+27−2=22−23+33−2=2+3.
（2） 18−2×12=18×12−2×12=18×12−2×12=9−1=3−1=2.
20. （1） 4x2=16，
两边除以 4 得：
x2=4,
两边开平方得：
x=±2.
（2）
x2−3x=0,xx−3=0,∴ x1=0,x2=3
（3）
x2−4x−1=0,x2−4x=1,x2−4x+4=5,x−22=5,x−2=±5,∴ x1=2+5,x2=2−5.
（4）
x2+x−1=0,∵ Δ=12−4×1×−1=5,∴ x=−1±52,∴ x1=−1+52,x2=−1−52.
21. （1）如图所示，菱形 ABEF 即为所求．
（2）AF；BE；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；邻边相等的平行四边形是菱形
22. （1）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE∥BC．
∵CE∥BD，
∴ 四边形 BCED 是平行四边形，
∴CE=BD．
∵CE=AC，
∴AC=BD．
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形．
（2）∵ 平行四边形 ABCD 是矩形，AB=4，AD=3，
∴∠DAB=90∘，BC=AD=3，
∴BD=AB2+AD2=42+32=5．
∵ 四边形 BCED 是平行四边形，
∴ 四边形 BCED 的周长为 2BC+BD=2×3+5=16．
23. （1）设鸡场垂直于墙的一边长为 x m，则鸡场平行于墙的一边长为 40−2xm．
根据题意得：
x40−2x=200,
解得：
x1=x2=10,
所以 40−2x=20．
答：鸡场平行于墙的一边长为 20 m．
（2）假设能，设鸡场垂直于墙的一边长为 y m，则鸡场平行于墙的一边长为 40−2ym，
根据题意得：
y40−2y=250,
整理得：
y2−20y+125=0.
因为 Δ=−202−4×1×125=−100<0，
所以该方程无解，
所以假设不成立，即养鸡场面积不能达到 250 m2．
24. （1）25
（2）∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90∘，
∴∠EBF+∠EBC=90∘，
∵BE⊥CF，
∴∠EBC+∠BCF=90∘，
∴∠EBF=∠BCF，
∴△ABE≌△BCFASA，
∴BE=CF，
∴ 四边形 BCEF 是准矩形；
（3）作 DF⊥BC，垂足为 F，
∵∠ABC=90∘，∠BAC=60∘，AB=2，
∴∠BCA=30∘，
∴AC=4，BC=23，
∵AC=BD，AC=DC，
∴BD=CD=4，
∴BF=CF=12BC=3，
∴DF=CD2−CF2=42−32=13，
∴S准矩形ABCD=S△DCF+S梯形ABFD=12FC×DF+12AB+DF×BF=12×3×13+122+13×3=1239+3+1239=39+3.
【解析】（1）∵∠ABC=90∘，AB=2，BC=4，
∴AC=AB2+BC2=22+42=25，
∵ 四边形 ABCD 是准矩形，
∴BD=AC=25．
25. （1） 设 2x2+2y2=m，则 m+3m−3=27，
∴m2−9=27，即 m2=36，
∴m=±6，
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2=6，
∴x2+y2=3．
（2） 设最小数为 x，则 xx+1x+2x+3=120，
即：x2+3xx2+3x+2=120，
设 x2+3x=y，则 y2+2y−120=0，
∴y1=−12，y2=10，
∵x>0，
∴y=x2+3x=10，
∴x1=2，x2=−5<0（舍去），
∴ 这四个整数为 2，3，4，5．
26. （1）①如图所示，△AEF 是内等边三角形；
② 5；53≤DF≤10；
（2）△ADP 和 △AMN 如图所示：
∵△AMN 是等边三角形，
∴AM=AN=MN，∠MAN=60∘，
∵ 边 AM 的长最大，
∴ 点 M 在 DC 上，点 N 在 BC 上，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB=CD=BC，∠B=∠C=∠ADC=∠DAB=90∘，
∴Rt△ADM≌Rt△ABNHL，
∴BN=DM，
∵△ADP 和 △AMN 是等边三角形，
∴AD=AP，AM=AN，∠DAP=∠MAN=60∘，
∴∠DAM=∠PAN，
∴△ADM≌△APNSAS，
∴DM=PN，
∴NP=DM=BN，即：与线段 NP 相等的线段有 BN，DM．
【解析】（1）② ∵△AEF 是等边三角形，
∴∠EAF=60∘，
∴ 点 F 在与 AD 成 60∘ 的直线 AF 上移动，
∴ 当 BF⊥AF 时，BF 有最小值，
此时，∵∠FAB=∠DAB−∠EAF=30∘，
∴BF=12AB=5，
∴BF 的最小值为 5，
当 DF⊥AF 时，DF 有最小值，
此时，∠ADF=30∘，
∴AF=12AD=5，DF=102−52=53，
当点 E 与点 D 重合时，DF 有最大值，最大值为 10，
∴ 线段 DF 长的取值范围为 53≤DF≤10，
故答案为：5，53≤DF≤10；